ধারা

আমরা জানি, গড় = (১ ম পদ + শেষ পদ)/২ = (1 + 99)/2 = 50
আবার, পদ সংখ্যা = সমষ্টি/গড় = 2500/50 = 50
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = ((শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর) + ১
⇒ সাধারণ অন্তর = 98/49 = 2

a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে
a = a
b = a+1
c = a+2
d = a+3
এই মান গুলো প্রত্যেকটি অপশানে বসিয়ে দেখা যায়
c = (b+d)/2 এটা সত্য
= (a+1+a+3)/2
= (2a+4)/2
= 2(a+2)/2
= (a+2)
= c

১ম পদ (a) = ৮,
সাধারণ অন্তর (d) = ১৬ - ৮ = ৮
পদসংখ্যা (n) = ১০
∴ (১ম ১০টি পদের) সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - ১)d}
= (১০/২){২.৮ + (১০ - ১) d}
= ৫(১৬ + ৯×৮)
= ৪৪০

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 256 এবং পঞ্চম পদ 4096 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r

তৃতীয় পদ = 256
ar²= 256 ...................(1)

পঞ্চম পদ = 4096
ar⁴ = 4096 ..................(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁴/ar² = 4096/256
বা, r²= 16
∴ r = √16 = 4

∴ সাধারণ অনুপাত = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৮তম পদ, ৭৬ = a + (৮ - ১) ৯
বা, ৭৬ = a + ৬৩
বা, a = ১৩
সুতরাং ১১তম পদ = ১৩ + (১১ - ১) ৯
= ১৩ + ১০ × ৯
= ১৩ + ৯০
= ১০৩

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) +............ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3) / 1 = 1/3

যেহেতু |r| < 1 ,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ S₅ = 1{1 - (1/3)⁵}/(1 - 1/3)
= {1 - (1/243)}/(2/3)
= {(243 - 1)/243}/(2/3)
= (242/243)/(2/3)
= (242/243) × (3/2)
= 121/81

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৫টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৬টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২৫তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

 সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৫টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৬টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৫
সাধারণ অন্তর (d) = ৬
পদ সংখ্যা (n) = ২৫

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ২৫তম পদ = ৫ + (২৫ - ১) × ৬
= ৫ + ২৪ × ৬
= ৫ + ১৪৪
= ১৪৯টি

১ম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত r = (১/২)/১ = ১/২ < ১
পদ সংখ্যা = ৮
ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি = ‍a(1-rⁿ)/(1-r)
= 1(1-(1/2)⁸)/(1-1/2)
= (1-1/256)/(1/2)
= 255/128

ধরি, S = ৫+৫৫+৫৫৫+……………
S/5 = 1+11+111+………..
9S/5 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………..
= (10+10²+10³+………..+10ⁿ) –(1+1+1+………..+n)
= 10(1+10+10²………….10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 5/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 50(10ⁿ-1)/81 – 5n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+……………. n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}
= (5/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}
= 50/81(10ⁿ-1) - 5n/9

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ - 128 হলে, সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে, 
তৃতীয় পদ, ar² = 16 ......(1)
ষষ্ঠ পদ, ar⁵ = - 128 .......(2)

(2) নং কে (1)  নং দ্বারা ভাগ করে পাই, 
ar⁵/ar² = - 128/16
⇒ r³ = - 8 = - 2³
∴ r = - 2

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত - 2। 

প্রশ্ন: x + (x + 1) + (x + 2) + ....... ধারাটির প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
x + (x + 1) + (x + 2) + .......
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= 14/2 {2x + (14 - 1)1}
= 7(2x + 13)
= 14x + 91

প্রশ্ন: 3 + 3/4 + 3/16 + 3/64 + ...... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/4)/3 = 1/4 < 1

∴ অসীমতক সমষ্টি, S = a/(1 - r)
= 3/(1 - 1/4)
= 3/(3/4)
= 3 × (4/3)
= 4

1³ + 2³ + 3³ + .... + n³
= {n(n + 1)/2}²
= {n²(n+1)²}/4

ধারাটির সমষ্টি = 1/6.n(n + 1)(2n + 1)
= 1/6{21(21 + 1)(42 + 1)}
= 3311

প্রশ্ন: 10 + x + y + 640 +.......... গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 10
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
ধারাটির চতুর্থ পদ = 640
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{(4 - 1)} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 640
বা, 10r³ = 640
বা, r³ = 640/10
বা, r³ = 64
বা, r³ = 4³
∴ r = 4

এখন, y হলো ধারাটির তৃতীয় পদ।
∴ y = ar^{(3 - 1)} = ar²
বা, y = 10 × 4²
বা, y = 10 × 16
∴ y = 160

প্রশ্ন: শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে? ২১২, ১৭৯, ১৪৬, ১১৩,...........

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির অন্তর = ৩৩

২১২ - ১৭৯ = ৩৩
১৭৯ - ১৪৬ = ৩৩
১৪৬ - ১১৩ = ৩৩
১১৩ - ৮০ = ৩৩

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12-1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = 77
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

1² + 2² + 3² + …… +n² = {n(n+1)(2n+1)}/6
1² + 2² + 3² + …… +8² = 8(8+1)(16+1)/6
= (8 x 9 x 17)/6
= 204

প্রশ্ন: 3, 9, 27, 81 ,.................. অনুক্রমটির কততম পদ 6561 ?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3
ধরি,
n-তম পদ = 6561

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 6561
⇒ 3 × 3^{n - 1}= 6561
⇒ 3^{n - 1} = 6561/3
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n - 1 = 7
⇒ n = 7 + 1
⇒ n = 8

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

প্রশ্ন: 8 + 4√2 + 4 + 2√2 +...... ধারাটির কততম পদ √2 ? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
যার ১ম পদ, a = 8
সাধারণ অনুপাত, r = 4√2/8 = √2/2 = √2/(√2 × √2) = 1/√2

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = √2
⇒ 8 × (1/√2)^{n - 1} = √2
⇒ (1/√2)^{n - 1} = √2/8
⇒ (1/√2)^{n - 1} = (1/√2)⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
∴ n = 6

১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d = ৪
পদসংখ্যা n হলে,
n তম পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২১/২{২.১ + (২১ - ১)৪}
= ২১/২(২ + ২০ × ৪)
= ২১/২ × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

1+3+5+7+....... +n
এখানে ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 2
এবং পদ সংখ্যা = n
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= n/2 {2.1 + (n- 1) 2}
= n/2 (2+2n-2)
= n/2× 2n
= n²

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ পদটি 128 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ = a 
এবং
সাধারণ অনুপাত = r 

∴ তৃতীয় পদ =16
ar² = 16 ............ (1)
আবার, 
ষষ্ঠ পদ = 128 
ar⁵ = 128 ............ (2)

(2) ÷ (1) নং হতে পাই, 
ar⁵/ar² = 128/16 
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

(1) নং সমীকরণে r -এর মান বসিয়ে পাই, 
a(2)² = 16
⇒ 4a = 16
∴ a = 4 

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 4  । 

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d = ১০
r-তম পদ = a + (r-১)d
৬-তম পদ = a + (৬-১)d
প্রশ্নমতে, a + (৬-১)d = ৫২
বা a + (৫)১০ = ৫২
বা a = ৫২ - ৫০= ২
∴ ১৫-তম পদ = ২ +(১৫-১)১০
= ২ + ১৪০ = ১৪২

এখানে দুইটি ধারা আছে।
১ম ধারা: ৩, ৪, ৫, ৬
২য় ধারা: ৭, ১৪, ২১

প্রশ্ন: ৭ + ১১ + ১৫ +...... ধারাটির কোন পদ ২০৩?

সমাধান:
​এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১১ - ৭ = ৪
মনে করি, ধারাটির n-তম পদ হলো ২০৩।

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = ২০৩
বা, ৭ + (n - 1)৪ = ২০৩
বা, ৭ + ৪n - ৪ = ২০৩
বা, ৪n + ৩ = ২০৩
বা, ৪n = ২০৩ - ৩
বা, ৪n = ২০০
বা, n = ২০০/৪
∴ n = ৫০

সুতরাং, ধারাটির ৫০-তম পদ হলো ২০৩।

প্রশ্ন: a + 2a + 3a + 4a + ..............সমান্তর ধারার n-তম পদ ও সাধারণ অন্তরের অনুপাত কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ, A₁ = a
সাধারণ অন্তর, d = 2a - a = a 

আমরা জানি, 
n তম পদ = A₁ + (n - 1)d
= a + (n - 1)a
= a + na - a
= na

∴ n-তম পদ এবং সাধারণ অন্তরের অনুপাত = na : a = n : 1