ধারা

প্রশ্ন: নিচের প্রশ্নবোধক স্থানে বসবে?
2, 3, 5, 9 ?

সমাধান:
ধারার সংখ্যা: 2, 3, 5, 9

প্যাটার্ন দেখি:
2 থেকে 3 এর ব্যবধান = 1
3 থেকে 5 এর ব্যবধান = 2
5 থেকে 9 এর ব্যবধান = 4
প্রতিবার যোগফল দ্বিগুণ হচ্ছে: 1 থেকে 2, 2 থেকে 4, পরেরটা হবে 8 

এখানে যোগফলের ধারা: 1, 2, 4, …
পরবর্তী যোগফল হবে 8

সুতরাং পরবর্তী সংখ্যা = 9 + 8 = 17 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

তৃতীয় পদ = 24
∴ ar^{3 - 1} = 24
⇒ ar² = 24 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = 192
∴ ar^{6 - 1} = 192
⇒ ar⁵ = 192 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁵/ar² = 192 / 24
⇒ r^{5 - 2} = 8
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 2² = 24
⇒ a × 4 = 24
⇒ a = 6

∴ প্রথম পদ হলো 6

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ ৮ এবং সাধারণ অনুপাত ১/২ হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = ১/২
এবং
চতুর্থ পদ = ৮

প্রশ্নমতে,
a × (১/২)^(৪-১) = ৮
⇒ a × (১/২)^৩ = ৮
⇒ a × (১/৮) = ৮
⇒ a = ৮ × ৮
⇒ a = ৬৪

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 1/√2 এবং সাধারণ অনুপাত√2 হলে, ধারাটির কোন পদটি 16√2?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2

আমরা জানি, 
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = 16√2
⇒ (1/√2) (√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2 × √2 = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, 11-তম পদটি 16√2

প্রশ্ন: ০.৭ + ০.০৭ + ০.০০৭ + ............. অসীম ধারাটির সমষ্টি হচ্ছে: 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৭ 
= ৭/১০ 

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৭/ ০.৭ = = ০.১ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= (৭/১০)/(১ - ১/১০)
= (৭/১০)/(৯/১০)
= ৭/১০ x ১০/৯ 
= ৭/৯ 

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 +............ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি,
সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1 = 135
r³ = 135/5
r³ = 27
∴ r = 3
এখানে, y হলো তৃতীয় পদ
∴ y = ar^n-1 = 5 × 3^3-1 = 45

এখানে,
a = 5,
d = 8 - 5 = 3
n তম পদ = 305
বা, a + (n - 1)d = 305
বা, 5 + (n - 1)3 = 305
বা, (n - 1)3 = 300
বা, n - 1 = 100
∴ n = 101

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৩ + ৯ + ১৫ + ২১ + ....... ধারাটির কোন পদ ২৪৩?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৩ = ৬

আমরা জানি, 
n-তম পদে, a_n = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৩ + (n - ১) × ৬ = ২৪৩
⇒ (n - ১) × ৬ = ২৪৩ - ৩
⇒ (n - ১) × ৬ = ২৪০
⇒ n - ১ = ২৪০/৬
⇒ n - ১ = ৪০
⇒ n = ৪০ + ১ 
∴ n = ৪১

সুতরাং, ধারাটির ৪১তম পদ = ২৪৩

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১০০(১০০+১)/২
= ৫০ × ১০১
= ৫০৫০

প্রশ্ন: ০.১৮ + ০.০০১৮ + ০.০০০০১৮ + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
প্রদত্ত ধারা: ০.১৮ + ০.০০১৮ + ০.০০০০১৮ + ......
এখানে,
প্রথম পদ, a = ০.১৮
সাধারণ অনুপাত, r = ০.০০১৮/০.১৮ = ০.০১

যেহেতু |r| < ১, সেহেতু ধারাটির অসীম সমষ্টি বিদ্যমান।

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(১ - r)
∴ S_∞ = ০.১৮/(১ - ০.০১)
= ০.১৮/০.৯৯
= ১৮/৯৯
= ২/১১

এখানে, a = ১,
d = ৪
∴ n পদের সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= n/২{২.১ + (n - ১)৪}
= n/২(২ + ৪n - ৪)
= n/২(৪n - ২)
∴ n/২(৪n - ২) = ৮৬১
৪n² - ২n = ৮৬১ × ২
বা, ৪n² - ২n - ১৭২২ = ০
বা, ২n² - n - ৮৬১ = ০
বা, ২n² - ৪২n + ৪১n - ৮৬১ = ০
বা, ২n(n - ২১) + ৪১(n - ২১) = ০
বা, (n - ২১)(২n + ৪১) = ০
বা, n - ২১ = ০
∴ n = ২১

a = 1,
d = 5 - 1 = 4,
ধরি,
n-তম পদ,
a + (n - 1)d = 385
বা, 1 + (n - 1)4 = 385
বা, (n - 1)4 = 384
বা, n - 1 = 96
∴ n = 97

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
∴ ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

1 থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1) / 2
∴ 1 থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = n(n+1)/(2×n) = (n+1)/2
∴ (n+1)/2 = 25
বা, n + 1 = 50
∴ n = 49

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ...... + 20² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [20(20 + 1){(2 × 20) + 1}]/6
= (20 × 21 × 41)/6
= 2870

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
সুতরাং ১ হতে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫০(৫০ + ১)/২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

প্রশ্ন: 2a, 4a + 1, 6a + 2, ..... একটি গুণোত্তর অনুক্রম হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
বা, (4a + 1)/2a = (6a + 2)/(4a + 1) 
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 = 12a² + 4a
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 - 12a² - 4a = 0
বা, 4a² + 4a + 1 = 0
বা, (2a)² + 2.2a.1 + 1² = 0
বা, (2a + 1)² = 0
বা, 2a + 1 = 0
বা, 2a = - 1
∴ a = - 1/2

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ............ ধারাটির 11 তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = (9 - 5) = 4
পদসংখ্যা, n = 11 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 11 তম পদ = a + (11 - 1)d
= 1 + (11 - 1)4
= 1 + 10 × 4
= 1 + 40
= 41

প্রশ্ন:  2 + 5 + 8 + 11 + ...…ধারাটির 11 তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a₁ = 2 
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

১১ম পদ a₁₁:
a₁₁​ = 2 + (11 - 1)3
= 2 + 10 × 3
= 2 + 30
= 32

১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d = -5 - 2 = - 7
∴ এগারতম পদ = a + (11 - 1)d = 2 + 10 × (-7) = 2 - 70 = -68

a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 +................ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল:

সমাধান:

এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1 = 0.1 [0.1 <  1]

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(1 - r)
= ০.1/(1 - 0.1) 
= 1/9

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
∴ 13 তম পদ = a + (13 - 1)d
= a + 12d

শর্তমতে,
a + 12d = 77

প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি, S₂₅ = (25/2) × [2a + (25 - 1)d]
= (25/2) × (2a + 24d)
= (25/2) × 2(a + 12d)
= 25 × 77
= 1925

∴ প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি = 1925

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 1/3

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1} 
∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1}
= 27 ×(1/3)⁷
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁴)
= 1/3⁴
= 1/81

১ম পদ (a) = 2,
সাধারণ অন্তর (d) = 4 - 2 = 2
শেষ পদ = 2n
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2n - 2)/2} + 1
= n - 1 + 1 
= n 
∴ সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= (n/2)(2n + 2)
= {n. 2(n + 1)}/2
= n(n + 1)
= n² + n

১ম পদ, a = 1/√3,
সাধারন অনুপাত, r = √3
∴ n তম পদ,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 3³√3
বা, (√3)^n-2 = (√3)⁷
বা, n - 2 = 7
∴ n = 9

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ - 18 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1 )d = a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = - 18 ...... (i)

n পদের সমষ্টি , S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
S₂₃ = (23/2){2a + (23 - 1)d}
=  (23/2) (2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23(a + 11d)
= 23 × (- 18) [ (i) হতে]
= - 414