ধারা

ar² = 20 ..... (1)
ar⁵ = 160 ...... (2)
(2) divided by (1)
r³ = 8
r = 2
So, from (1) we get,
a(2)² = 20
4a = 20
a = 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 128 এবং অষ্টম পদটি 2048 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনেকরি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r
চতুর্থ পদ = 128
∴ ar^{(4 - 1)} = 128
⇒ ar³ = 128 ......(1)
অষ্টম পদ = 2048
∴ ar^{(8 - 1)} = 2048
⇒ ar⁷ = 2048 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar³ = 2048/128
⇒ r^{(7 - 3)} = 16
⇒ r⁴ = 2⁴
∴ r = 2

এখন, r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a × 2³ = 128
⇒ a × 8 = 128
⇒ a = 128/8
∴ a = 16

সুতরাং, প্রথম পদটি হলো 16।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১০০ × (১০০ + ১)/২
= ১০০ × ১০১/২
= ৫০ × ১০০
= ৫০৫০

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ 32 এবং অষ্টম পদ 512 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

চতুর্থ পদ, ar^{4 - 1} = ar³ = 32 .....(1)
অষ্টম পদ, ar^{8 - 1} = ar⁷ = 512 .....(2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
⇒ ar⁷/ar³ = 512/32
⇒ r^{7 - 3} = 16
⇒ r⁴ = 16
⇒ r⁴ = 2⁴
∴ r = 2

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত 2

প্রশ্ন: 2, 2√2, 4, ... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 64?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 2
​∴ সাধারণ অনুপাত, r = (2√2)/2 = √2

আমরা জানি,
​ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 64
⇒ 2 × (√2)^{n - 1} = 64
⇒ ​(√2)^{n - 1} = 64/2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)^{2 × 5}
​⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, প্রদত্ত অনুক্রমটির 11তম পদ হলো 64.

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ......... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
∴ প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ হলো ar^{n - 1}

∴ ধারাটির 10-তম পদ = 2 × 2^{10 - 1}
= 2 × 2⁹ 
= 2 × 512
= 1024

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৮ম পদ ৪২ হলে, তার প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ৮ম পদ = a + (৮ - ১)d
= a + ৭d

প্রশ্নমতে,
a + ৭d = ৪২

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, S_n = (n/২){২a + (n - ১)d}

∴ প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি, S_১৫ = (১৫/২){২a + (১৫ - ১)d}
= (১৫/২)(২a + ১৪d)
= (১৫/২) × ২(a + ৭d)
= ১৫ × (a + ৭d)
= ১৫ × ৪২
= ৬৩০

এখানে, প্রথম পদ = ২০, শেষ পদ = ১৪০ এবং সাধারণ অন্তর = ৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (১৪০-২০)/৫ + ১
= ১২০/৫ + ১
= ২৪ + ১
= ২৫

a = 1/2, r = 1/6 / 1/2 = 1/3
∴ পরবর্তী পদ = 1/54 × 1/3 = 1/162

প্রশ্ন: 3 + x + y + 192 গুনোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
একটি গুণোত্তর ধারা
ধারাটির ১ম পদ a = 5

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1}
= 3 × r³
প্রশ্নমতে,
3 × r³ = 192
⇒ r³ = 192/3
⇒ r³ = 64 = 4³
∴ r = 4

দ্বিতীয় পদ, x = ar = 3 × 4 = 12
তৃতীয় পদ, y = ar² = 3 × 4² = 48

∴ x = 12, y = 48​ 

১৬ তম পদ = ‍a + (n -1)d = -20
= a + 15d = -20
৩১ তম পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n -1)d}
= 31/2 {2a + 30d}
= 31/2 (2 x -20)
= -620

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 7ম পদটি 35 এবং প্রথম 7টি পদের যোগফল 140 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a

দেওয়া আছে, 
7ম পদ = 35
∴ a + (7 - 1)d = 35
⇒ a + 6d = 35

এখন,
7টি পদের যোগফল = 140
⇒ (7/2){2a + (7 - 1)d} = 140
⇒ 2a + 6d = (140 × 2)/7
⇒ a + (a + 6d) = 40
⇒ a + 35 = 40
⇒ a = 40 - 35
∴ a = 5

সুতরাং, প্রথম পদটি 5

ধারাটি একটি গুনোত্তর ধারা
১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = -২/২ = -১ < ১
(2n+2) পদের সমষ্টি = a(1-rⁿ)/(1-r)
= 2(1-(-1)⁽²ⁿ⁺²⁾)/(1-(-1))
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: .3 + .03 + .003 + .0003+ …….. অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = .3 = 3/10
অনুপাত r = .03/.3 = 1/10

যেহেতু, 1/10 < 1
∴  অসীম পদের সমষ্টি S∞ = a/(1 - r) 
= (3/10)/{1 - (1/10)}
= (3/10)/(9/10)
= (3/10) × (10/9)
= 1/3

log 11 + log 121 + log 1331 + .........
= log11 + log11² + log11³ + .........
= log11 + 2log11 + 3log11 + .........
= (1 + 2 + 3 + ......... ) × log11
∴ ১ম ১১টি পদের সমষ্টি = [{11(11+1)}/2] × log11
= 66 log11

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি ২ এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে ৫ বেশি হলে ধারাটির ১৫১ তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ধারার প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৫
পদসংখ্যা, n = ১৫১

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ১৫১ তম পদ = ২ + (১৫১ - ১)৫
= ২ + (১৫০)৫
= ২ + ৭৫০
= ৭৫২

দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম পদ, a = .8 = 8/10
সাধারণত অনুপাত, q = 0.08/0.8
= .08/.8
= 1/10
সুতরাং অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - q)
= 8/10 ÷ (1 - 1/10)
= 8/10 ÷ 9/10
= 8/9

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৮ম পদ ৪২ হলে, তার প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ৮ম পদ = a + (৮ - ১)d
= a + ৭d

প্রশ্নমতে,
a + ৭d = ৪২

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}

∴ প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি, S_১৫ = (১৫/২){২a + (১৫ - ১)d}
= (১৫/২)(২a + ১৪d)
= (১৫/২) × ২(a + ৭d)
= ১৫ × (a + ৭d)
= ১৫ × ৪২
= ৬৩০

১ম পদ (a) = 2, 
সাধারণ অনুপাত (r) = 6/2 = 3
∴ সপ্তম পদ = ar^7-1 = 2.3⁶ = 1458

প্রশ্ন: 0.3 + 0.03 + 0.003 + .................  ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.3 = 3/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.03/0.3
= 3/30
= 1/10

∴ গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r) 
= (3/10)/{1 - (1/10} 
= (3/10)/{(10 - 1)/10}
= (3/10)/(10/9)
 = (3/10)/(9/10)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদটি 6 এবং পঞ্চম পদটি 48 হলে, সধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{n - 1} 
∴ ২য় পদ = a × r^{2 - 1} = 6
বা, ar = 6 .......... (i)

আবার, 
৫ম পদ = a × r^{5 - 1} = 48
∴ ar⁴ = 48 ...........(¡¡)

(ii) ÷ (i) নং হতে পাই, 
ar⁴/ar = 48/6
বা, r³ = 8 
বা, r³ = 2³
∴ r = 2 

∴ সাধারণ অনুপাত = 2 

মনে করি,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে, ar⁴ = 243
r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27 
∴ z = ar³ =  3 × 3³ = 81

∴ x, y, z এর সমষ্টি = 9 + 27 + 81 = 117

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = r,
∴ ৫ম পদ = ar⁴ = 40 ..... (1)
ষষ্ঠ পদ = ar⁵ = 80 ...... (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
⇒ r = 2

এখন,
(1) নং থেকে পাই,
a.2⁴ = 40
বা, 16a = 40
∴ a = 2.5

প্রশ্ন: ১১ + ১৫ + ১৯ + ২৩ + ....................... + ৯১ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ১১
সাধারণ অন্তর, d = ১৫ - ১১ = ৪
শেষ পদ = ৯১

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৯১

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ৯১
⇒ ১১ + (n - ১) × ৪ = ৯১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৯১ - ১১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ n - ১ = ২০
⇒ n = ২০ + ১
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ২১টি।

প্রশ্ন: 6 + 18 + 54 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 4374 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 6
সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = 18/6 = 3 

ধরি, 
n তম পদ = 4374
⇒ ar^{n - 1} = 4374
⇒ 6 × 3^{n - 1} = 4374
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 4374 হবে।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হলে - 
সাধারণ অন্তর = (১৭ - ৫) 
= ১২ 

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর 
= ১৭ + ১২ 
= ২৯। 

= 7², 9², 11², 13², 15² ........
= 49, 81, 121, 169, 225

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 +................ ধারাটির সাধারন পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= (1/2^{- 8}) × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৫ এবং ১৫তম পদ ৭৫ হলে, ধারাটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, সমান্তর ধারার
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে, 
৭ম পদ = ৩৫
১৫তম পদ = ৭৫
∴ ৭ম পদ, a + ৬d = ৩৫  .......(১)
এবং ১৫তম পদ, a + ১৪d = ৭৫  .......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ (a + ১৪d) - (a + ৬d) = ৭৫ - ৩৫ 
⇒ ৮d = ৪০
 ⇒ d = ৪০/৮ 
∴ d = ৫
সমীকরণ (1)-এ d এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ a + ৬ × ৫ = ৩৫
⇒ a = ৩৫ - ৩০ 
∴ a = ৫

প্রথম ২০টি পদের যোগফল S_২০ = (২০/২) × [২a + (২০ - ১)d]
= ১০ × [(২ × ৫) + (১৯ × ৫)]
= ১০ × [১০ + ৯৫]
= ১০ × ১০৫
= ১০৫০

∴ ধারাটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = ১০৫০

প্রশ্ন: x + 3x + 5x + .......... + 149x ধারাটিতে কতটি পদ রয়েছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।  যার
প্রথম পদ, a = x
সাধারণ অন্তর, d = 3x - x = 2x

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = 149x
⇒ x + (n - 1)(2x) = 149x
⇒ x + 2nx - 2x = 149x
⇒ x(2n - 1) = 149x
⇒ 2n - 1 = 149
⇒ 2n = 149 + 1
⇒ n = 150/2
∴ n = 75

সুতরাং, ধারাটিতে 75 টি পদ রয়েছে। 

x = 3/2 হলে ধারাটি,
1/(2.3/2 + 1) + 1/(2.3/2 + 1)² + 1/(2.3/2 + 1)³………
1/4 + 1/4² + 1/4³+ ………………
ধারাটির ১ম পদ a = 1/4; সাধারন অনুপাত r = (1/4²)/1/4 = 1/4 < 1
ধারাটির ৫ম পদ = ar^{5 – 1} = 1/4. (1/4)⁴ = 1/4⁵

প্রশ্ন: রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তাহলে তিনি 18 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 100
n = 18

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18 তম পদ = 1200 + (18 - 1) × 100 
= 1200 + (17 × 100)
= 1200 + 1700
= 2900

∴ 18 তম মাসে রশিদ 2900 টাকা সঞ্চয় করবেন।

১ম পদ a = ১৭,
সাধারণ অন্তর d = ৫
∴ ২৩ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৭ + (২৩ - ১)৫
= ১৭ + ২২ × ৫
= ১২৭

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ২০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a 
​এবং
ধারাটির সাধারন অন্তর = d

∴ চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d 
= a + 3d

​আবার, 
​দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

​প্রশ্নমতে, 
a + 3d + a + 11d = 20
2a + 14d = 20 

∴ প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S₁₅ = 15/2{2a + (15 - 1)d} 
= 15/2 {2a + 14d} 
= 15 × 20/2 
= 150