ধারা

5 + x + y + 135
ধারাটির ১ম পদ a = 5
সাধারন অনুপাত r = x/5 = y/x -----------------(1)
তাহলে, চতুর্থ পদ = ar^4-1
= 5.(x/5)³
প্রশ্নমতে, 5.(x/5)³ = 135
5x³/5³ = 135
x³ = 135 . 5³/5
x = 15
সমীকরণ ১ থেকে পাই, y = 45

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম ২০ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ২০^২ = ৪০০।

সমষ্টি = 50 × (50 + 1) / 2 = 25 × 51 = 1275

a = ২৯,
d = ২৫ - ২৯ = -৪,
n = ১০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১০/২{২ × ২৯ + (১০ - ১)(-৪)}
= ৫(৫৮ - ৩৬)
= ৫ × ২২
= ১১০

a = 1/3,
r = (1/12)/(1/3)
= 1/12 × 3
= 1/4 < 1
∴ সমষ্টি = a.(1 - rⁿ)/(1 - r)
= 1/3.{1 - (1/4)⁶}/(1 - 1/4)
= (1/3){(1 - 1/4096)/(1 - 1/4)}
= 1/3 × (4095/4096)/(3/4)
= 1/3 × 4095/4096 × 4/3
= 455/1024

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে
n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে,7-তম পদ, 60 = a + (7 - 1)9
বা, 60 = a + 54
বা, a = 6
সুতরাং, 21-তম পদ = 6 + (21 - 1)9
= 6 + 20 × 9
= 6 + 180
= 186

প্রশ্ন: সংখ্যা সিরিজের প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?
১৭, ২৪, ১৫, ২২, ১৩, ২০, ১১,?

সমাধান:
প্রদত্ত সিরিজে ২টি ধারা আছে,
১ম ধারা, ১৭, ১৫, ১৩, ১১, ....... অর্থাৎ ২ করে কমছে।
২য় ধার, ২৪, ২২, ২০, ১৮, ....... অর্থাৎ ২ করে কমছে।

∴ সংখ্যা সিরিজের প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে ১৮ বসবে।

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + …………… ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত,
r = 6 ÷ 3 = 2

এখানে r এর মান 1 থেকে বড়, তাই সমষ্টির সূত্র প্রযোজ্য,
প্রথম n টি পদের সমষ্টি,
S_n = a(rⁿ - 1) ÷ (r - 1)

এখন,
S₅ = 3(2⁵ - 1) ÷ (2 - 1)
= 3(32 - 1)
= 3 × 31
= 93

∴ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি = 93

ধারাটিতে আগের পদকে তিন দিয়ে গুণ করে গুণফলের সাথে ১ যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যা পাওয়া যায়।
তাই ১২১ এর পরবর্তী সংখ্যা = (১২১ × ৩) + ১ = ৩৬৪ 

212 - 179 = 33
179 - 146 = 33
146 - 113 = 33
113 - 80 = 33
ধারাটির অন্তর = 33
তাই শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হবে = 80 - 33 = 47

প্রশ্ন: একজন ছাত্র প্রথম দিনে 1 টি, দ্বিতীয় দিনে 2 টি, তৃতীয় দিনে 4 টি এবং চতুর্থ দিনে 8 টি গাছ রোপণ করে। এভাবে গাছ রোপণ করলে ছাত্রটি 10 দিনে মোট কতটি গাছ রোপণ করবে?

সমাধান:
উপর্যুক্ত শর্তে প্রদত্ত ধারাটি হবে, 1, 2, 4, 8, ......... , 10 
যেখানে,
প্রথম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1) [ যেহেতু r > 1]
∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি,
=1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= (2¹⁰ - 1)/1
= 1024 - 1
= 1023

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

তৃতীয় পদ = 24
∴ ar^{3 - 1} = 24
⇒ ar² = 24 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = 192
∴ ar^{6 - 1} = 192
⇒ ar⁵ = 192 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁵/ar² = 192/24
⇒ r^{5 - 2} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 2² = 24
⇒ a = 24/4
⇒ a = 6

∴ প্রথম পদ হলো 6

প্রশ্ন: 7 + 14 + 21 + 28 + ............. + 119 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 7
শেষ পদ বা n তম পদ a_n = 119

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = a + (n - 1)d
⇒ 119 = 7 + (n - 1)7
⇒ 112 =  (n - 1)7
⇒ 16 = (n - 1)
⇒ n = 17 

∴ ধারাটির পদ সংখ্যা 17

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ........... এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
1 + 2 + 3 + 4 + ........... এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম ৩টি পদের যোগফল 
=  1 + 2 + 3
= 6

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 12 এবং ষষ্ঠ পদ 96 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = aq^{(n - 1)}
তৃতীয় পদ = aq² = 12......(1)
ষষ্ঠ পদ = aq⁵ = 96...........(2)

(2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
aq⁵/aq² = 96/12
⇒ q³ = 8
⇒ q³ = 2³
⇒ q = 2

প্রশ্ন: 7 + 11 + 15 + ......... ধারাটির কোন পদ 115 হবে?

সমাধান: 
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 7 = 4

ধরি,
r তম পদ = 115 
⇒ {a + (r - 1)d} = 115
⇒ {7 + (r - 1)4} = 115
⇒ 7 + 4r - 4 = 115
⇒ 4r + 3 = 115
⇒ 4r = 115 - 3
⇒ 4r = 112
⇒ r = 112/4
∴ r = 28

অতএব, ধারাটির 28 তম পদ 115 হবে ।

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) হলে, অনুক্রমের ৬ষ্ঠ পদটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) 
∴ অনুক্রমের ৬ষ্ঠ পদ = ৬/(৬ + ১) 
= ৬/৭

এখানে, ৪র্থ পদ aq^4-1 = 135 বা aq³ = 135 ----------- (i)
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----------- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq³/a = 135/5
q³ = 27
∴ q = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 3
সুতরাং, x = 5×3 = 15
y = 15×3 = 45

প্রশ্ন: রুমানা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 2000 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d = 200

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 2000 + (14 × 200)
= 2000 + 2800
= 4800

∴ রুমানা 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4800 টাকা।

প্রশ্ন: প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
∴ প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = 10²
= 100

গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r হলে অনুক্রমটি হয়-
a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, .......
এখানে, তৃতীয় পদ, ar^২ = ২০ ----(১) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar^৫ = ১৬০ ----(২)
এখন, (২)÷(১) করে পাই,
ar^৫/ar^২ = ১৬০/২০
বা, r^৩ = ৮
বা, r^৩ = ২^৩
বা, r = ২
এখন r এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ar^২ = ২০
বা, a × ২^২ = ২০
বা, a × ৪ = ২০
বা, a = ৫

৩ + ৪ + ৫ + ...... + ৪০
= ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ...... + ৪০ - (১ + ২)
= ৪০(৪০ + ১)/২ - ৩
= ২০ × ৪১ - ৩
= ৮২০ - ৩
= ৮১৭

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = arn - 1

∴ 10 তম পদ = 2 × 210 - 1 
= 2 × 29
= (2 × 512)
= 1024

১, ৩, ৯, ২৭, ৮১ .....
= ৩^০, ৩^১, ৩^২, ৩^৩, ৩^৪, ৩^৫ ..........
∴ ৩^৫ = ২৪৩

প্রশ্ন: 10 + 15 + 20 + 25 + …............... ধারাটির প্রথম 40 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 10
সাধারণ অন্তর, d = 15 - 10 = 5
পদসংখ্যা, n = 40
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদের সমষ্টি:
S_n = n/2 × {2a + (n - 1)d}
∴ S₄₀ = 40/2 × {2 × 10 + (40 - 1) × 5}
= 20 × {20 + (39 × 5)}
= 20 × (20 + 195)
= 20 × 215
= 4300

∴ ধারাটির 40 টি পদের সমষ্টি হলো 4300

a = 16,
r = 32/16 = 2
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 16.(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= 16(2ⁿ - 1)
∴ 16(2ⁿ -1) = 240
বা, 2ⁿ - 1 = 15
2ⁿ = 16 = 2⁴
∴ n = 4

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……. + 20² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [20 × (20 + 1){(2 × 20) + 1}]/6
= (20 × 21 × 41)/6 
= 17220/6
= 2870

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ................. ধারাটির কততম পদ 96?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

মনে করি,
n তম পদ = 96

∴ a + (n - 1)d = 96
⇒ 3 + (n - 1) × 3 = 96
⇒ 3 + 3n - 3 = 96
⇒ 3n = 96
⇒ n = 96/3
⇒ n = 32

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + 21 +..... ধারাটির কোন পদ 125?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর,d = 9 - 5 = 4
ধারাটির n তম পদ = 125
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
5 + (n - 1) × 4 = 125
বা, 4(n - 1) = 125 - 5
বা, 4(n - 1) = 120
বা, n - 1 = 120/4
বা, n - 1 = 30
বা, n = 30 + 1
∴ n = 31

∴ ধারাটির 31 তম পদ = 125