ধারা

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + ...... ধারাটির কোন পদ 169?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

প্রশ্নমতে,
4 + (n - 1) × 5 = 169
⇒ (n - 1) × 5 = 169 - 4
⇒ (n - 1) × 5 = 165
⇒ n - 1 = 165/5
⇒ n - 1 = 33
⇒ n = 33 + 1
∴ n = 34

∴ ধারাটির 34 তম পদ হচ্ছে 169।

প্রশ্ন: ১২ + ২৪ + ৪৮ + .....+ ৭৬৮ ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান:
ধারাটি গুণিতক ধারা
প্রথম পদ a = 12
গুণনীয়ক r = 24/ 12 = 2

পদসংখ্যা, 
l = a × r^{n - 1}  
⇒  768 = 12 × 2^{n - 1}
⇒ 2^{n - 1} = 768/12
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
n = 7

n তম পদের সমষ্টি:
S_n​ = a × (rⁿ - 1/ r - 1)​
⇒ S₇ = 12 × (2⁷ - 1/ 2 - 1)
⇒ S₇ = 12 × (2⁷- 1)
⇒ S₇ = 12 × (128 - 1)
⇒ S₇ = 12 × (127)
= 1524

∴ ১২ + ২৪ + ৪৮ + .....+ ৭৬৮ ধারাটির সমষ্টি = ১৫২৪

প্রশ্ন: রায়হান একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ রায়হান 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
a + (7 - 1)d = 24
a + 6d = 24
আবার, 7/2{2a + (7 - 1)d} = 105
7/2(2a + 6d) = 105
(a + a + 6d) = 30
a + 24 = 30
a = 6
d = 3
দ্বিতীয় পদ = a + d = 6 + 3 = 9

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36? 

সমাধান: 
এখানে, 
​প্রথম পদ, a = 3 
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3 

ধরি, 
​ধারার n তম পদ = 36 
​
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 36
বা, 3 + (n - 1)3 = 36
বা, (n - 1)3 = 33
বা, n - 1 = 11
∴ n = 12
​
​∴ ধারাটির 12 তম পদ 36  । 

ধারাটির ১ম পদ a = 2, সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2
মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 256
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, a + (n - 1)d = 256
বা, 2 + (n - 1)2 = 256
বা, 2 + 2n - 2 = 256
বা, 2n = 256
সুতরাং n= 128

১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৩য় পদ ar² = 40.....(1)
ষষ্ঠ পদ ar⁵ = 320.....(2)
(2)নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
r³ = 8
∴ r = 2

প্রশ্ন: 2, p, q, 54 একটি গুণোত্তর ধারার পরপর চারটি পদ হলে, pq এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
চতুর্থ পদ = 54
⇒ ar³ = 54
⇒ 2 × r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

∴ দ্বিতীয় পদ, p = a × r^{2 - 1} = a × r
= 2 × 3 = 6
∴ তৃতীয় পদ, q = a × r^{3 - 1} = a × r² 
= 2 × 3² = 18

∴ pq = 6 × 18 = 108

প্রশ্ন: 169 + 171 + 173 + ...... + 209 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = 169
সাধারণ অন্তর, d = 171 - 169 = 2

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d 
a + (n - 1)d = 209
⇒ 169 + (n - 1)2 = 209
⇒ (n - 1)2 = 209 - 169
⇒ n - 1 = 40/2
⇒ n - 1 = 20
∴ n = 21

∴ ধারাটির পদ সংখ্যা 21। 

অনুক্রমটি n + 2^n-1
∴ পঞ্চম পদ = 5 + 2^5-1 = 5 + 2⁴ = 21
ষষ্ঠ পদ = 6 +2^6-1 = 6 + 2⁵ = 38
∴ ব্যবধান = 38 - 21 = 17

প্রশ্ন: 6 + 10 + 14 + ... + 98 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 6 = 4
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 98

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 6 + (n - 1) × 4 = 98
⇒ 4(n - 1) = 98 - 6
⇒ 4(n - 1) = 92
⇒ n - 1 = 92 / 4
⇒ n - 1 = 23
∴ n = 24

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ S₂₄ = (24/2){(2 × 6) + (24 - 1) × 4}
= 12{12 + (23 × 4)}
= 12{12 + 92}
= 12 × 104
= 1248

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1248।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অনুপাত (r) = -২,
পদসংখ্যা (n) = ৮
∴  সমষ্টি (s) = a × {(1 - rⁿ)/ (1 - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ৩ × {(১ - (-২)^৮)/(১ - (-২))}
= ৩ × (১ - ২৫৬)/৩
= ১ - ২৫৬
= -২৫৫

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ +........................... ধারাটিতে কততম পদ ১৭৩?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৬৯

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১)৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (13/2){(2 × 5) + (13 - 1)4}
= (13/2){10 + (12 × 4)}
= (13/2)(10 + 48)
= (13/2) × 58 
= 377

প্রশ্ন: সাবিনা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ২০০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে আগের মাসের তুলনায় ২৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। সাবিনা ১৫তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ২০০০
সাধারণ অন্তর, d = ২৫০

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ১৫তম পদ = ২০০০ + (১৫ - ১) × ২৫০
= ২০০০ + ১৪ × ২৫০
= ২০০০ + ৩৫০০
= ৫৫০০

∴ সাবিনা ১৫তম মাসে সঞ্চয় করবেন ৫৫০০ টাকা।

১ম পদ a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত r = (-1) ÷ 1/√2 = -√2
n তম পদ = 8√2
প্রশ্নমতে
বা, 8√2 = (1/√2)(-√2)^(n-1)
বা, 8√2√2 = (-√2)^(n-1)
বা, 16 = (-√2)^(n-1)
বা, (-√2)⁸ = (-√2)^(n-1)
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9
নির্ণেয় প্রদত্ত ধারাটির নবম পদের মান 8√2

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ...... + ২৪^২ = {২৪(২৪ + ১)(২.২৪ + ১)}/৬
= (২৪ × ২৫ × ৪৯)/৬
= ৪ × ২৫ × ৪৯
= ৪৯০০

প্রশ্ন: 7 - 14 + 28 - 56 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = - 14/7 = - 2 ; r < 1
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

9টি পদের সমষ্টি = 7{1 - (- 2)⁹}/{1 - (- 2)}
= 7(1 + 512)/(1 + 2)
= (7 × 513)/3
= 7 × 171
= 1197

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ 12, ২য় পদ 17 হলে 21 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ 12 এবং ২য় পদ 17
সাধারণ অন্তর = 17 - 12 = 5

∴ 21 তম পদ = a + (n - 1) d
= 12 + (21 - 1) 5
= 12 + 20 × 5
= 12 + 100
= 112

৮ + ৩ = ১১
১১ + ৬ = ১৭
১৭ + ১২ = ২৯
২৯ + ২৪ = ৫৩
৫৩ + ৪৮ = ১০১

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ............ + 58 = কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1 
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1
পদসংখ্যা, n = 58

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
= (58/2){2 × 1 + (58 - 1) × 1}
= 29 × (2 + 57) 
= (29 × 59)
= 1711

- এখানে দুটি ধারা আছে,
- একটি ১০, ৮, ৬, ৪, ২ অর্থাৎ পূর্বের সংখ্যা থেকে পরের সংখ্যাটি ২ কমছে।
- আরেকটি ধারা হচ্ছে ৩, ৯, ২৭, ৮১, ২৪৩, ৭২৯ অর্থাৎ পূর্বের সংখ্যাটির সাথে ৩ গুণ করলে পরের সংখ্যাটি পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং সঠিক উত্তর হবে ৭২৯।

৩ × ২ + ১ = ৭
৭ × ২ + ১ = ১৫
১৫ × ২ + ১ = ৩১
৩১ × ২ + ১ = ৬৩
৬৩ × ২ + ১ = ১২৭
অর্থাৎ, প্রদত্ত সংখ্যা × ২ + ১ = পরবর্তী সংখ্যা।

প্রশ্ন: (3/2) + 3 + 6 + ............... ধারাটির কোন পদটি 192 হবে?

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3/2
সাধারণ অনুপাত, r = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 3/2 × 2^{n - 1} = 192
⇒ 2^{n - 1} = (192 × 2) / 3
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
n = 8

সুতরাং 8th তম পদ 192

১ম পদ= ১১
২য় পদ = ১ম পদ + ৪ = ১১+৪ = ১৫;
৩য় পদ = ২য় পদ + ৮ = ১৫+৮ = ২৩;
৪র্থ পদ = ৩য় পদ + ১৬ = ২৩+১৬ = ৩৯;
৫ম পদ = ৪র্থ পদ + ৩২= ৩৯ + ৩২ = ৭১।

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {৩১(৩১ + ১)(২.৩১ + ১)}/৬
= (৩১ × ৩২ × ৬৩)/৬
= ১০,৪১৬

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ..................+ 70 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
এখানে,
 ধারাটির ১ম পদ = 2
 ধারাটির শেষ পদ = 70
 ধারাটির সাধারণ অন্তর = (6 - 2) = 4

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(70 - 2)/4} + 1
= (68/4) + 1
= (17 + 1)
= 18

∴ পদসংখ্যা = 18  ।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r, ধারাটির চতুর্থ পদ - 2 এবং নবম পদ 8√2 হলে ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
৪র্থ পদ, ar³ = - 2 ...... (1)
৯ম পদ, ar⁸ = 8√2​ ......(2)

এখ, (2) ÷ (1) করে পাই, 
⇒ ar⁸/ar³ = 8√2/- 2
⇒ r⁵ = - 4√2 = (- √2)⁵
∴ r = - √2

(1) ⇒ ar³ = - 2
⇒ a(- √2)³ = - 2
⇒ a = - 2/(- 2√2)
∴ a = 1/√2
 
∴ ধারাটির 12 তম পদ = ar^{12 - 1} = ar¹¹
= (1/√2) × (- √2)¹¹
= (1/√2) × (- 32√2)
= - 32

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদ ১৫ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ৭০ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
৫ম পদ = a + (৫ - ১)d
⇒ a + (৫ - ১)d = ১৫ 
∴ a + ৪d = ১৫ ......(১)

আবার, 
৭টি পদের সমষ্টি = ৭০
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d = ৭০ 
⇒ (৭/২)(২a + ৬d) = ৭০
∴ a + ৩d = ১০  ......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ a + ৩d - a - ৪d = ১০ - ১৫
⇒ - d = - ৫  
∴ d = ৫  

d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
a + ৪d = ১৫
a + ২০ = ১৫ 
∴ a = - ৫  

অতএব, ধারাটির প্রথম পদটি - ৫ 

প্রশ্ন: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {11(11 + 1)/2}²
= {(11 × 12)/2}²
= (11 × 6)²
= (66)²
= 4356