ধারা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/(r - 1)

শর্তানুসারে, a. (r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 = 2³ 
∴ r = 2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 5, চতুর্থ পদ 135 হলে, ধারাটির নবম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত = r 
এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 135
⇒ ar^{4 - 1} = 135
⇒ 5 × r³ = 135
⇒ r³ = 135/5
⇒ r³ = 27
∴ r = 3 

∴ নবম পদ = ar^{9 - 1}
= 5 × (3)⁸
= 32805

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1275

প্রশ্ন: প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (5 × 11)²
= (55)²
= 3025

১, ৭, ১৩, ১৯ - এখানে প্রত্যেকটি সংখ্যা পূর্বের সংখ্যা থেকে ৬ বেশি
তালিকার পরবর্তী সংখ্যা হবে ১৯ + ৬ = ২৫

১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d = ৪ - ১ = ৩

∴ ৩৫-পদ = a + (৩৫ - ১)d
= ১ + (৩৪ × ৩)
= ১০৩

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ….... ধারাটির কোন পদ 205 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 205
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
∴ a + (n - 1) d = 205
⇒ 5 + (n - 1). 4 = 205
⇒ 4(n - 1) = 205 - 5 = 200
⇒ n - 1 = 200/4 = 50
∴ n = 50 + 1 = 51

∴ প্রদত্ত ধারার 51 তম পদ = 205

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 + ................. ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়,
তাই,
ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1 × (2⁹ - 1)/(2 - 1)
= (512 - 1)/1
= 511
∴ ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = 511  । 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3 

∴ পঞ্চম পদ = ar^{(5 - 1)}
= ar⁴
= 27 × (1/3)⁴
= 27/81
= 1/3 

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 1/3.

এখানে  ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = -1/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r  < 1 হলে, 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)}
∴ (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - r²ⁿ⁺¹)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)^{2n + 1}) / {1 -(-1)}
= {1 -(-1)} / (1 + 1)
= (1 + 1) / (1 + 1)
= 1

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি 2 এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে 4 বেশি হলে ধারার 200 তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর d = 4

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
200 তম = a + (200 - 1)d
= 2 + (199 × 4)
= 2 + 796
= 798

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 +…........... প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম  12টি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= log21 + log22 + log23 + log24 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
=(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12) log2
= {12(12 + 1)/2}log2 
= 78log2

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +......................... ধারাটির 13 তম পদ কত?

সমাধান: 
5 + 8 + 11 + 14 +......................... এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
এবং সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d 

∴ 13 তম পদ = 5 + (13 - 1). 3
= 5 + 12 × 3
= 5 + 36
= 41

∴ 13 তম পদ = 41

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}^২
সুতরাং, ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ......... + ১০^৩ = {১২(১২+১)/২}^২
= (৬ × ১৩)^২
= ৬০৮৪

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 11 তম পদ 66 হলে, ধারাটির প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = d
∴ 11 তম পদ = a + (11 - 1)d
= a + 10d 

শর্তমতে,
a + 10d = 66

∴ প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি = (21/2){2a + (21 - 1)d} 
= (21/2)(2a + 20d) 
= (21/2) × 2(a + 10d) 
= (21/2) × 2 × 66 
= 21 × 66 
= 1386

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারা যেখানে প্রথম পদ ৮ এবং পরবর্তী প্রতিটি পদ আগের পদ থেকে ৪ বেশি, ধারার ১০০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১০০ তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৪
= ৮ + (৯৯ × ৪)
= ৮ + ৩৯৬
= ৪০৪

∴ ১০০ তম পদ হলো ৪০৪

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ১৫ + . . . ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, 
৭ - ৩ = ৪
১১ - ৭ = ৪
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ৩ = ৪
পদের সংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি,
 সমান্তর ধারার প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/২)[২a + (n - ১)d]
∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি = S_২৫ = (২৫/২)[২(৩) + (২৫ - ১)৪]
= (২৫/২)[৬ + (২৪)৪]
= (২৫/২)(৬ + ৯৬)
= (২৫/২) × ১০২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল ১২৭৫।

প্রশ্ন: প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 27/8 এবং ৫ম পদ 1। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a.r^{n - 1}

দেয়া আছে,
2য় পদ, a₂ = 27/8
⇒ ar = 27/8 …...(1)

5ম পদ, a₅ = 1
⇒ a.r⁴ = 1 …....(2)

এখন, সমীকরণ (2) ÷ সমীকরণ (1) ⇒
(ar⁴)/(ar) = 1/(27/8)
⇒ r³ = 8/27
⇒ r³ = (2/3)³
⇒ r = 2/3

∴ সাধারণ অনুপাত (common ratio) হলো 2/3

প্রশ্ন: একটি ধারা নিম্নরূপ: 1 + 5 + 9 + 13 + ................. এই ধারার n তম পদ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1, 5, 9, 13, .............
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ n তম পদ = 1 + (n - 1)4
= 1 + 4n - 4
= 4n - 3

∴ ধারাটির n তম পদ = 4n - 3

প্রশ্ন: 5,9,13,17........ অনুক্রমটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর অনুক্রমের n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

∴ প্রদত্ত অনুক্রমটির 16 টি পদের সমষ্টি = (16/2){(2 × 5) + (16 - 1)4}
= 8 × {10 + (15 × 4)}
= 8 × (10 + 60)
= 8 × 70 
= 560

প্রশ্ন: 3 + 4 + 5 + 6 +................. এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান:
3 + 4 + 5 + 6 +.................এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম তিনটি পদের যোগফল।
= 3 + 4 + 5
= 12

১ম পদ a = 11
২য় পদ 19
সাধারণ অন্তর d = 19-11=8
19 তম পদ = a + (19 -1) d
= 11 + 18 x 8
= 11 + 144
= 155

১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = ৪/২ = ২
১০ তম পদ = ar^n-1
= 2 x 2^10-1
= 2 x 2⁹
= 2 x 512 = 1024

সমষ্টি S = {n(n+1)/2}
= {19(19+1)/2}
= 190

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি S_n = (n/2)(4n + 2) হলে, প্রথম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,  
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]

এখন, 
n = 1 স্থাপন করলে, প্রথম পদ a হবে,
S₁ = a
= (1/2)(4 × 1 + 2)
= (1/2)(6)
= 3

∴ প্রথম পদ = 3

ধারার প্রথম পদ, a = 8.
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 9
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S =n/2 {2a + (n – 1)d}
S =9/2 {2.8 + (9 - 1)8} [n = 9 বসিয়ে]
= 9/2 {16+ 64}
= 9/2 × 80
= 360
ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি 360

প্রশ্ন: ২ - ৪ + ৮ - ১৬ + ............... ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = ২,
সাধারণ অনুপাত, r = (- ৪)/২ = - ২  [ ∴ r < ১]
পদসংখ্যা, n = ৭

∴ সমষ্টি, S = a(১ - rⁿ)​/(১ - r)
= ২{১ - (- ২)^৭}​/{১ - (- ২)}
= ২{১ - (- ১২৮)}/(১ + ২) 
= ২ (১ + ১২৮)/৩ 
​= (২ × ১২৯)​/৩
= ৮৬ ।

এখানে, n তম পদ = 45
সূত্রমতে,
সমষ্টি, S = {n(n+1)(2n+1)} / 6
= {45(45+1)(2×45 + 1)} / 6
= (45 × 46 × 91) / 6
= 31,395

প্রশ্ন: ৩ + ৮ + ১৩ + ১৮ + ....................... + ৮৩ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৩ = ৫
শেষ পদ = ৮৩

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৮৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ৮৩
⇒ ৩ + (n - ১) ×৫ = ৮৩
⇒ (n - ১) × ৫ = ৮৩ - ৩
⇒ (n - ১) × ৫ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৫
⇒ n - ১ = ১৬
⇒ n = ১৬ + ১
∴ n = ১৭

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ১৭ টি।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ 6 এবং ষষ্ঠ পদ 486 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}

দ্বিতীয় পদ = ar^{2 - 1} = ar¹ = 6 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 486 ......(2)

(2) ÷ (1) দ্বারা পাই,
ar⁵/ar¹ = 486/6
⇒ r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 3⁴
⇒ r = 3

∴ সাধারণ অনুপাত = 3

প্রথম দুটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫
= ০
প্রথম চারটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫
= ০
প্রথম ছয়টি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫ - ৫
= ০
-------------------------
অতএব প্রথম জোড় সংখ্যক পদের যোগফল
= ০
প্রথম তিনটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫
= ৫
প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫
= ৫
প্রথম সাত টি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫
= ৫
-------------------------
অতএব প্রথম বিজোড় সংখ্যক পদের যোগফল
= ৫।
যেহেতু ১০১ বিজোড় তাই ধারাটির প্রথম ১০১ টি পদের যোগফল
= ৫