ধারা

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + …. ধারাটির প্রথম 25 টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, 
9 - 4 = 5 , 14 - 9 = 5
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5
n = 25

∴ ধারাটির প্রথম 25 পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= (25/2){(2 × 4)+ (25 - 1) × 5}
= (25/2){8 + (24 × 5)}
= (25/2)(8 + 120)
= (25/2) × 128
= 25 × 64
= 1600

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + .............. +  ৮৫ = ?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
শেষ পদ, p = ৮৫

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ৮৫ = ৫ + (n - ১)৪
⇒ ৮৫ - ৫ = (n - ১)৪
⇒ ৮০ = (n - ১)৪
⇒ n - ১ = ৮০/৪
⇒ n - ১ = ২০
⇒ n = ২১

সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র অনুযায়ী,
S_n = (n/২){2a + (n - ১)d}
⇒ S_২১ = (২১/২){২ × ৫ + (২১ - ১)৪}
⇒ S_২১ = (২১/২){১০ + ২০ × ৪}
⇒ S_২১ = (২১/২){১০ + ৮০}
⇒ S_২১ = (২১/২) × ৯০
⇒ S_২১ = ২১ × ৪৫

∴ সমষ্টি = ৯৪৫

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 

∴ 10তম পদ,
a + (10 - 1)d = 77
∴ a + 9d = 77

এখন, প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 77
= 1463

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + .......... ধারাটির 90 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 
পদ সংখ্যা, n = 90

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 90 তম পদ = 5 + {(90 - 1) × (3)}
= 5 + (89 × 3)
= 5 + 267
= 272

১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত (r) = 8/4 = 2
ধরি, n-তম পদ = 1024
বা, a.r^{n - 1} = 1024
বা, 4.2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2².2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2^{n + 1} = 2¹⁰
বা, n + 1 = 10
∴ n = 9

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: ৩ + ৮ + ১৩ + ১৮ + ............ + ১৪৮ ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৮

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৮ = ৩ + (n - ১) × ৫
⇒ (n - ১) × ৫ = ১৪৮ - ৩ 
⇒ (n - ১) × ৫  = ১৪৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫ 
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে মোট ৩০টি পদ আছে।

প্রথম পদ a = 1
n তম পদ = 99
s_n = 2500
আমরা জানি, a + (n-1)d = 99
⇒ (n-1)d = 98 ..........(1)

আবার, s_n = n/2 {2a + (n-1)d}
2500 = n/2 . (2+98)
⇒ n = (2500×2)/100
⇒ n = 50
n এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
(50 - 1)d = 98
⇒ d = 98/49
∴ d = 2

প্রশ্ন: 5, 15, 45, …, 3645 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3645
⇒5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 3645/5
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^n-1 = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n= a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {5 ×(3⁷ - 1)}/(3 - 1)}
= 5 × (2187 - 1)/2
= 5 × (2186/2)
= 5 × 1093
= 5465

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
পদসংখ্যা (n) = ২০
∴ সমষ্টি (s) = (২০/২){২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × (১০ + ৭৬)
= ৮৬০

প্রশ্ন: ২৫ + ২৯ + ৩৩ + ৩৭ + ....................... + ১৪১ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ২৫
সাধারণ অন্তর, d = ২৯ - ২৫ = ৪
শেষ পদ = ১৪১

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ১৪১

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) ×d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) ×d = ১৪১
⇒ ২৫ + (n - ১) ×৪ = ১৪১
⇒ (n - ১) ×৪ = ১৪১ - ২৫
⇒ (n - ১) ×৪ = ১১৬
⇒ (n - ১) = ১১৬/৪
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১
∴ n = ৩০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ৩০ টি।

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = {a(rⁿ - 1)} / (r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি S₅ = 4(3⁵ - 1)/(3 - 1)
S₅ = 484

প্রশ্ন: 1/√3, 1, √3, ............... ধারাটির কোন পদ 27√3 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = √3
ধরি, n তম পদ হবে = 27√3
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
বা, (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
বা, (√3)^{n - 1} = 27 × 3
বা, (√3)^{n - 1} = 81
বা, (√3)^{n - 1} = 3⁴
বা, (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ 9 তম পদ = 27√3

১ম পদ a = 1,
সাধারন অন্তর d = 2,
শেষ পদ = 2n + 1
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/d} + 1
= {(2n + 1 - 1)/2} + 1
= n + 1
∴ সমষ্টি = {পদ সংখ্যা (শেষ পদ + ১ম পদ)}/2
= {(n + 1)(2n + 1 + 1)}/2
= {(n + 1)(2n + 2)}/2
= (n + 1)²

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/2 ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদ = arn - 1 

প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 1/2
⇒ 128 × (1/2)n - 1 = 1/2
⇒ (1/2)n - 1 = 1/(2 × 128)
⇒ (1/2)n - 1 = 1/256
⇒ (1/2)n - 1 = (1/2)8
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1 
⇒ n = 9

১ম পদ a = ২৪৩,
r = -(১/৩) < ১
∴ সমষ্টি = a.(১ - r^৬)/(১ - r)
= ২৪৩ × [১ - {-(১/৩)}^৬]/[১ - {-(১/৩)}]
= ২৪৩ × (১ - ১/৭২৯)/(১ + ১/৩)
= ২৪৩ × (৭২৮/৭২৯)/(৪/৩)
= ২৪৩ × ৭২৮/৭২৯ × ৩/৪
= ১৮২

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণত অনুপাত, r = 0.05/0.5
=  1/10 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2) ÷ {1 - (1/10)}
= (1/2) ÷ (9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 5
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 135

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, q
সুতরাং ধারাটির চতুর্থ পদ = aq^(4-1)
= 5. q³
= 5q³
প্রশ্নমতে, 5q³ = 135
বা, q³ = 135/5
বা, q³ = 27
বা, q³ = 3³
বা, q = 3
এখন,
দ্বিতীয় পদ, x = aq^(2-1)
= aq¹
= aq
= 5.3
= 15

এবং তৃতীয় পদ, y = aq^(3-1)
= aq²
= 5.3²
= 5.9
= 45
এখন x এবং y যোগফল = 15+45
= 60

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ - 5 এবং সাধারণ অন্তর 7 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = - 5
সাধারণ অন্তর, d = 7
∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= - 5 + (n - 1)7
= - 5 + 7n - 7
= 7n - 12

প্রথম পদ = ৬
দ্বিতীয় পদ = (৬ × ৩) - ১ = ১৭
তৃতীয় পদ = (১৭ ×৩) – ২ = ৪৯
চতুর্থ পদ = (৪৯×৩) – ৩ = ১৪৪
∴ পঞ্চম পদ = (১৪৪×৩) - ৪ = ৪২৮

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি ৩২ ও অষ্টম পদটি ২৫৬ হলে উক্ত ধারার সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n -1}

দেওয়া আছে, 
৫ম পদ, ar⁴  = 32  .........(১)
৮ম পদ, ar⁷ = 256 .........(২)

এখন, (২) নং কে (১) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar⁴ = 256/32
⇒ r³  = 8 
⇒ r³ = 2³ 
∴ r = 2

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত ২ । 

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 log 8 + log 64 + log 512 +...............
= log (8¹) + log (8²) + log (8³) + ............ 
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8+.......... 
=( 1 + 2 + 3 +......) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +............. ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = {n(n + 1)}/2 
= {9(9 + 1)}/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি = 45 log 8

প্রথম ৬টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ২১

বিকল্প পদ্ধতিঃ
প্রথম ৬টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {৬ × (৬ + ১)}/২
= ৪২/২ = ২১

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +.............  ধারাটির কোন পদের মান 512?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +.............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁹
∴ n = 9

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512.

n তম পদ
= a+(n-1)d
76 = 1+(n-1)3
n = 26
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a+(n-1)d}
= 26/2{2.1 +(26-1)3}
= 13×(2+75)
=1001

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে ২৮ + ৮ = ৩৬
নবম পদ ৩৬ + ৯ = ৪৫
দশম পদ হবে ৪৫ + ১০ = ৫৫

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 -1) 10
⇒ 52 = a + 50
⇒ a = 2
∴ 17-তম পদ = 2 + (17 - 1) 10
= 2 + 160
= 162

a = ১/৪,
r = √২ > ১
∴ সমষ্টি = a.(r^১০ - ১)/(r - ১)
= ১/৪.{(√২)^১০ - ১}/(√২ - ১)
= {(√২)^১০ - ১}/৪(√২ - ১)
= (২^৫ - ১)/৪(√২ - ১)
= ৩১/৪(√২ - ১)
= ৩১(√২ + ১)/{৪ (√২ + ১)(√২ - ১)}
= ৩১(√২ + ১)/৪(২- ১)
= ৩১/৪ × (√২ + ১)

১ম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ ৬ষ্ঠ পদ = a (৬ - ১)d = a + ৫d এবং
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১)d = a + ১৪d
∴ (a + ৫d) + (a + ১৪d) = ৮৫
বা, ২a + ১৯d = ৮৫
∴ প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = (২০/২){২a + (২০ - ১)d}
= ১০(২a + ১৯d)
= ১০ × ৮৫ [২a + ১৯d = ৮৫ বসিয়ে]
= ৮৫০

2² + 3² + 4² + …… + 11²
= (1² + 2² + 3² + 4² + …… + 11²) - 1
= [{11(11 + 1)(2.11+1)}/6] - 1
= {(11 × 12 × 23)/6} - 1
= (22 × 23) - 1
= 506 - 1
= 505

প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ - 5?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 19 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = (17 - 19) = - 2
ধারাটির n তম পদ = - 5 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 5 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 5 = 19 - 2n + 2
বা, - 5 = 21 - 2n
বা, - 5 - 21 = - 2n
বা, - 26 = - 2n
বা, 26 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2n = 26
বা, n = 26/2
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ - 5.

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৭, শেষ পদ ৪৬ এবং সাধারণ অন্তর ৩ হলে ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = ৭
শেষ পদ = ৪৬ 
সাধারণ অন্তর = ৩

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৪৬ - ৭)/৩} + ১
= (৩৯/৩) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + … + 91 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
3 + 7 + 11 + … + 91

এখানে,
প্রথম পদ = 3
শেষ পদ = 91
সাধারণ অন্তর = 7 - 3 = 4

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারণ অন্তর } + 1
= {(91 - 3)/4} + 1
= 22 + 1
= 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

আবার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 4
∴ n তম পদ = a + (n -1)d
= 3 + (n - 1)4
 
ATQ, 
3 + (n - 1)4 = 91
⇒ n - 1 = 88/4
⇒ n = 22 + 1
∴ n = 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

গড় = (১ম পদ+শেষ পদ)/২
= (1+99)/2
= 50
পদ সংখ্যা = (শেষ পদ-১ম পদ) / সাধারণ অন্তর + ১
= (99-1)/1 + 1
=99
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= 50×99
= 4950

এখানে,
a = ১,
d = ৪,
n = ৩৫
∴ ৩৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১ + (৩৫ - ১)৪
= ১ + ১৩৬
= ১৩৭

প্রশ্ন: 5 + 5√3 + 15 + 15√3 + .......... ধারাটির কোন পদ 1215 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ/১ম পদ
= 5√3/5 = √3
১ম পদ a = 5
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × (√3)^{n - 1} = 1215
⇒ (√3)^{n - 1} = 243
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 3⁵
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3⁵
⇒ (n - 1)/2 = 5
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 11

∴ ধারাটির 11তম পদ 1215 হবে।