ধারা

প্রশ্ন: ২৫ + ২১ + ১৭ + …….. - ২৭ = কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ = ২৫
শেষ পদ = - ২৭
সাধারণ অন্তর = ২১ - ২৫ = -৪

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(- ২৭ - ২৫)/- ৪} + ১
= (- ৫২/- ৪) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(- ২৭ + ২৫)/২} × ১৪
=(- ২/২) × ১৪
= - ১৪

সাধারণ অন্তর = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
={(2n - 1 -1)/2} + 1
= n - 1 + 1
= n

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) হলে, অনুক্রমের ৪র্থ পদটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) 
∴ অনুক্রমের ৪র্থ পদ = ৪/(৪ + ১) 
= ৪/৫ । 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 7ম পদ 32 এবং 13তম পদ 62 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
যেখানে, ১ম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
৭ম পদ, a₇ = 32
a + 6d = 32 ...... (১)

এবং,
১৩তম পদ, a₁₃ = 62
a + 12d = 62 ...... (২)

এখন, সমীকরণ ২ থেকে সমীকরণ ১ বিয়োগ করে পাই,
(a + 12d) - (a + 6d)= 62 - 32
⇒ a + 12d - a - 6d = 30
⇒ 6d = 30
⇒ d = 30/6 = 5
∴ d = 5

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর 5

প্রশ্ন: 5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 71?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 5,
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6, 
প্রদত্ত ধারাটি সমান্তর ধারা,
মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 71

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1) d
a + (n - 1) d = 71
বা, 5 + ( n - 1)6 = 71
বা, 6(n - 1 ) = 71 - 5
বা, 6n - 6 = 66
বা, 6n = 72 
 ∴ n = 12

∴ ধারাটির 12 তম পদ 71

এখানে 
১৯ + ১৪ = ৩৩
৩৩ + ১৪ + ৪ = ৫১
৫১ + ১৮ + ৪ = ৭৩
৭৩ + ২২ + ৪ = ৯৯

প্রশ্ন: a + b + c + d + .... একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a + b + c + d + .... একটি গুণোত্তর ধারা হলে,

ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ / ১মপদ 
= ৩য় পদ / ২য় পদ = চতুর্থ পদ / ৩য় পদ
∴ b/a = c/b = d/c

∴ b/a = d/c সম্পর্কটি সঠিক।

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?
 
সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2 × 2 + {(n - 1) × 3}]
= n/2 (4 + 3n - 3)
= n/2 (3n + 1)
= n(3n + 1)/2

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(3n + 1)/2

এটি একটি সমান্তর ধারা যার
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 = 3
আমরা জানি,
n তম পদ = a+(n-1)d
∴ 29 তম পদ = 1+(29-1)3 = 85

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ...... + 62 ধারাটির, 
(i) একটি সসীম ধারা,
(ii) একটি গুণোত্তর ধারা
(iii) এর 19 তম পদ 59

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
শেষ পদ = 62
যেহেতু একটি নির্দিষ্ট পদ আছে, তাই এটি সসীম ধারা।

আবার, 
আমরা জানি, 
n-তম পদে, an = a + (n - 1)d
19-তম পদে, an = 5 + (19 - 1)3
= 5 + 18 × 3
= 5 + 54
= 59

∴ 19তম পদ = 59
এটি সসীম ধারা এবং 19তম পদ = 59

সঠিক উত্তর খ) i ও iii

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে অষ্টম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখন,
তৃতীয় পদ = a + (3 - 1) × 5
⇒ 30 = a + (2 × 5)
⇒ a + 10 = 30
⇒ a = 30 - 10
⇒ a = 20

∴ অষ্টম পদ = a + (8 - 1)d = 20 + (7 × 5) = 20 + 35 = 55

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){(2 × 5) + (17 - 1)4}
= (17/2){10 + (16 × 4)}
= (17/2)(10 + 64)
= (17/2) × 74 
= 629

এখানে,
১ + ৫ = ৬
৬ + ১০ = ১৬
১৬ + ২০ = ৩৬
৩৬ + ৪০ = ৭৬
৭৬ + ৮০ = ১৫৬

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 +.................. ধারাটির 10ম পদ কত? 

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2
n-তম পদ = ar^n-1
∴ 10ম পদ = ar^{(10 - 1)}
= 64 × (1/2)⁹
= 64 × (1/2⁹)
= 2⁶/2⁹
= 1/2³
= 1/8

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

(৪ × ২) + ২ = ১০
(১০ × ২) + ২ = ২২
(২২ × ২) + ২ = ৪৬
(৪৬ × ২) + ২ = ৯৪
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = (৯৪ × ২) + ২ = ১৯০

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৭ = ৬
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1)d
৭ + (১৫-১) × ৬
= ৭ + ১৪ × ৬
= ৯১

n = 1 হলে, ধারাটির ১ম পদ /১ম পদের সমষ্টি = 1(1 + 1) = 2
n = 2 হলে, ধারাটির ১ম দুটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 – 2 = 4
n = 3 হলে, ধারাটির ১ম তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 12
ধারাটির ৩য় পদ = 12 – (2 + 4) = 6
তাহলে, ধারাটি 2 + 4 + 6 +………………………

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ও ২য় পদ যথাক্রমে 81 এবং 27 হলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 81
ধারাটির ২য় পদ = 27
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3 

আমরা জানি,
n তম পদ = ‍ar^{n - 1}
∴ 7 তম পদ = ar^{(7 - 1)}
= 81 × (1/3)⁶
= 3⁴ × (1/3⁶)
= 3⁴/3⁶
= 1/3^{6 - 4}
= 1/3²
= 1/9

প্রশ্ন: 15 + 30 + 60 + ...... + 960 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অনুপাত, r = 30/15 = 2

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
15 × 2^{(n - 1)} = 960
⇒ 2^{(n - 1)} = 960/15
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

যেহেতু r > 1,
∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴ S₇ = 15(2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 15(128 - 1)/1
= 15 × 127
= 1905

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ............ + 24³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 24
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₄ = {24(24 + 1)/2}²
⇒ S₂₄ = {24 × 25/2}²
⇒ S₂₄ = (12 × 25)²
⇒ S₂₄ = (300)²
∴ S₂₄ = 90000

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 90000

1, 2, 3 ...... ধারার n তম পদ = 1 + (n - 1)1 = n
2, 3, 4 ...... ধারার n তম পদ = 2 + (n - 1)1 = n + 1
∴ 1/2, 2/3, 3/4 ...... ধারার n তম পদ = n/(n + 1)

প্রশ্ন: 1/√5, 1, √5, ...... ধারাটির কোন পদ 25√5 হবে?

সমাধান:
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√5) = √5

ধরি, n তম পদ = 25√5

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 25√5
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 25√5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25√5 × √5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25 × 5
⇒ (√5)^{n - 1} = 125 
⇒(√5)^{n - 1} = (√5)⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 7

∴ ৭ম পদ 25√5

2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ..... + (30)³
= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + ...... + (30)³ - 1³
= {(30(30 + 1))/2}² - 1
= (15² × 31²)- 1
= 216224

এখানে জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি = ০
এবং বিজোড়                           = a
∴ (2n + 1) বিজোড় সংখ্যা
∴ সমষ্টি = a

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 1/8 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

​সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 1/8

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 - 1} = 1/8
⇒ a × (1/2)² = 1/8
⇒ a × (1/4) = 1/8
⇒ a = 4/8
∴ a = 1/2
​
​∴ ধারাটির প্রথম পদ​ 1/2.

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 343 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar, এবং ar²
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 343
⇒ a³r³ = 343
⇒ (ar)³ = 343
⇒ b³ = 343 (যেহেতু b = ar)
⇒ b³ = 7³
∴ b = 7

{n(n+1)/2}²
= {20(20+1)/2}²
= 44100

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 11 তম পদ 55 হলে, এর প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

⇒  n তম পদ a_n = a + (n - 1)d
⇒ S_n তম পদের সমষ্টি = (n/2) [2a + (n - 1)d]

11তম পদ:
a_11​ = a + 10d = 55

21টি পদের যোগফল,
S₂₁ = 21/2[2a + 20d]
= 21/2 [2(a + 10d)]
= 21/2 [2 × 55]
= (21 × 2 × 55) / 2
= 21 × 55
= 1155

∴ 21 টি পদের যোগফল 1155

প্রশ্ন: 1/3, 1/√3, 1,............ধারাটির কোন পদ 9 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

দেওয়া আছে
প্রথম পদ, a = 1/3​
অনুপাত, r = (1/√3)/(1/3​) = 3/√3 = (√3 × √3)/√3 = √3

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারা n- তম পদ = ar^{n - 1}
ar^{n - 1} = 9
⇒ (1/3​) × (√3)^{n - 1} = 9
⇒ (√3)^{n - 1} = 27
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে 9.

১ম পদ (a) = 1/2,
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/√2)/(1/2)
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n-তম পদ = ar^n-1 = 8√2
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 8√2
বা, (√2)^n-1 = 16√2
বা, (√2)^n-2 = 16
বা, (√2)^n-2 = 2⁴
বা, (√2)^n-2 = (√2)⁸
বা, n - 2 = 8
∴ n = 10

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে, 
a + 11d = 77 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d} 
= (23/2)(2a + 22d) 
= (23/2) × {2(a + 11d)}
= (23/2) × 2 × 77 [∴ a + 11d = 77]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি = 1771.

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 + ................. 9 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়,
তাই,
ধারাটির সমষ্টি, Sn = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1 × (2⁹ - 1)/(2 - 1)
= (512 - 1)/1
= 511

∴ 9 টি পদের সমষ্টি = 511  ।