ধারা

প্রশ্ন: ২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ...... ধারাটির ১৫ তম পদ নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = - ৫ - ২ = - ৭

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
১৫তম পদ, a_১৫ = ২ + (১৫ - ১) × (- ৭)
= ২ + ১৪ × (- ৭)
= ২ - ৯৮
= - ৯৬

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৪
∴ 11 তম পদ = 85
বা, a + (n - 1)d = 85
বা, a + (11 - 1)8 = 85
বা, a + 80 = 85
∴ a = 5
∴ 16 তম পদ = a + (16 - 1)d
= 5 + 15 × 8
= 5 + 120
= 125

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ aⁿ⁺⁵। যদি 5ম পদ 1024 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ aⁿ⁺⁵
5ম পদ = 1024
n = 5 হলে,
a_{5 ​}= a^{5 + 5} = a¹⁰

প্রশ্নমতে, 
a¹⁰= 1024
⇒ a¹⁰ = 2¹⁰
⇒ a = 2

∴a এর মান 2 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি, প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে, 5ম পদ = 24
⇒ a + (5 - 1) × d = 24
⇒ a + 4d = 24

এখন, 5টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1) × d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40
⇒ a + (a + 4d) = 40
⇒ a + 24 = 40
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16

১ম পদ a = ১৩
সাধারন অন্তর d = ১৭ - ১৩
= ৪
পদ সংখ্যা = (৯৩ - ১৩)/d + ১
= ৮০/৪ + ১
= ২০ + ১
= ২১
∴ সমষ্টি = ২১/২(১৩ + ৯৩)
= (২১ × ১০৬)/২
= ২১ × ৫৩
= ১১১৩

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
১ম পদ, a = 1/4 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4 

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r)  [যেহেতু, r < 1] 
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1} = ar² = 45 ………(1)
ষষ্ঠ পদ, ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1215 ………(2)

(2) ÷ (1) করলে,
ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3

এখন (1)-এ r এর মান বসাই,
a × 3² = 45
⇒ a × 9 = 45
∴ a = 45/9 = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 5 

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12 তম পদ 300 হলে 33 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 33 তম পদ = a + (33 - 1)d
= 135 + 32 × 15
= 135 + 480
= 615

সুতরাং, ধারাটির 33 তম পদ হলো 615

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 2
সাধারণ পদ, d = 5 - 2 = 3
n তম পদ = 299

প্রশ্নমতে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 299 = 2 + (n - 1) × 3
⇒ 3n - 3 + 2 = 299
⇒ 3n - 1 = 299
⇒ 3n = 299 + 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 299

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
=(1+ 50)/2 x50
= 51/2 × 50
= 51 x 25
= 1275

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓   < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
                 = 2+140
                 =142

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/r - 1
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/r - 1

শর্তানুসারে, 
​a. (r⁶ - 1)/(r - 1)= 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 
 ⇒ r³ ​= 2³
∴ r = 2
​
​∴ সাধারণ অনুপাত হবে = 2  । 

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(150 - 10)/5} + 1
= (140/5) + 1
= 28 + 1
= 29

ধারাটির প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে, a = 1 এবং r = 1/2 ÷ 1 = 1/2 যা 1 অপেক্ষা ছোট।
ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি = a(1 - r⁸)/(1 - r)
= {1 - (1/2)8}/(1 - 1/2)
= 255/128

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
5ম পদ = a + 4d = 44
⇒ a + 4 × 8 = 44
⇒ a + 32 = 44
⇒ a = 12

এখন
12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 12 + 11 × 8 
= 12 + 88 
= 100

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
2 + 6 + 18 + 54 + …

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3ⁿ - 1)/(3 - 1) ; [এখানে a = 2, r = 3]
= 2 × (3ⁿ - 1)/2
= (3ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

প্রশ্ন: ২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/২৫৬ = ১/৪
∴ সাধারণ পদ = ar^{(n - 1)}
= ২৫৬ × (১/৪)^(n-1)
= ২৫৬ × ১/৪^(n-1)
= ২৫৬/৪^(n-1)
= ২^(৮)/২^{২(n-1)}
= ২^৮/২^(২n-২)
= ২^{{৮ - (২n - ২)}}
= ২^{{৮ - ২n + ২}}
= ২^{(১০ - ২n)}
= ২^{(১০ - ২n)}

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 92 হলে, তার প্রথম 29টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= a + 14d

প্রশ্নমতে,
a + 14d = 92

আমরা জানি, প্রথম n পদের সমষ্টি:
S_n = (n/2) × [2a + (n - 1)d]
∴ প্রথম 29টি পদের সমষ্টি,
S₃₀ = (29/2) × [2a + (29 - 1)d]
= (29/2) × (2a + 28d)
= (29/2) × [2(a + 14d)]
= 29 × (a + 14d)
= 29 × 92
= 2668

১৩ + ২১ = ৩৪,
২১ + ৩৪ = ৬৫,
৩৪ + ৫৫ = ৮৯

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + .............. + ১০৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৭ - ১২ = ৫
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ৫
শেষপদ = ১০৭

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ১০৭
বা, ৭ + (n - ১) × ৫ = ১০৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০৭ - ৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০০
বা, n - ১ = ১০০ / ৫
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি।

ধারাটির সমষ্টি = 1/6.n(n + 1)(2n + 1)
= 1/6{20(20 + 1)(40 + 1)}
= 2870

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 1 + 4 + 7 +⋯+ 100 পর্যন্ত পদগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ,  a₁ = 1,
শেষ পদ, a_n = 100,  
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3

সমান্তর ধারার এর সাধারণ সূত্র:
S_n = (n/2) × (a₁ + a_n)

প্রথমে পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে: 
a_n = a₁ + (n - 1)d
⇒ 100 = 1 + (n - 1)⋅3
⇒ 100 - 1 = (n - 1)⋅3 
 ⇒ 99 = 3(n - 1)  
⇒ n - 1 = 33  
⇒ n = 34 
 
S₃₄​ = (34/2) × ​(1 + 100)
= 17 × 101
= 1717

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, ‍a = 128
২য় পদ 64
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2

সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁷ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 7} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 7}
= 1/2^{n - 8}

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ................. + 15³ = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি।
এখানে, n = 15

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (15 × 8)²
= (120)²
= 14400

প্রশ্ন: কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/{n(n + 1)} হলে ধারাটির ৫ম পদ কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ = 1/{n(n + 1)} 
∴ অনুক্রমের ৫ম পদ = 1/{5 × (5 + 1)}
= 1/(5 × 6)
= 1/30

প্রশ্ন: ৩ + ৬ + ১২ + ২৪ + ... ধারাটির ৮ম পদটি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অনুপাত r = ৬ ÷ ৩ = ২

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - ১}

∴ ৮ম পদ = ৩ × ২^{৮ - ১}
= ৩ × ২^৭
= ৩ × ১২৮
= ৩৮৪