ধারা

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ........ + ১৬৯ = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৯ - ৫ = ৪
শেষ পদ = ১৬৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৬৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৬৯
⇒ ৫ + (n - ১) × ৪ = ১৬৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৬৪
⇒ n - ১ = ১৬৪/৪
⇒ n - ১ = ৪১
⇒ n = ৪২

∴ সমষ্টি S_n = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (৪২/২) × {২ × ৫ + (৪২ - ১) × ৪}
= ২১ × {১০ + ৪১ × ৪}
= ২১ × {১০ + ১৬৪}
= ২১ × ১৭৪
= ৩৬৫৪

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d.
দেওয়া আছে,
16 তম পদ = -20
বা, a + (16 - 1)d = -20
বা, a + 15d = -20

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
∴ ধারাটির প্রথম 31টি পদের সমষ্টি = (31/2){2a + (31 - 1)d}
                                          = (31/2) × 2(a + 15d)
                                          = 31×(-20)
                                          = -620

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 81 এবং প্রথম পদ 16 হয়, তাহলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 16
পঞ্চম পদ = ar⁴ = 81
যেখানে,
a = প্রথম পদ
r = সাধারণ অনুপাত

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 81
⇒ 16 × r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 81/16 = (3/2)⁴
∴ r = 3/2

∴ চতুর্থ পদ = ar³
= 16 × (3/2)³
= 16 × 27/8
= 2 × 27
= 54

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 85 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 85  
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 85 এবং 
পদসংখ্যা = 85 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(85 + 1) × 85}/2
= (86 × 85)/2 
= 43 × 85 
= 3655  ।

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1= aq = -48
∴ a = -48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ= aq^5-1= aq4 =(-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে] = -48q³

প্রশ্নমতে,
-48q³= 3/4
বা, q³= -3/192
বা, q³= -1/64
বা, q³= (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

৩৩ - ১৯ = ১৪,
৫১ - ৩৩ = ১৮,
৭৩ - ৫১ = ২২,

∴ ১৯, ৩৩, ৫১ এই ধারার প্রথম সংখ্যা হবে ১৯ - ১০ = ৯

প্রশ্ন: ১৫ + ১২ + ৯ + ৬ + ....... - ৪৮ ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ১৫ = - ৩
এবং শেষ পদ, l = - ৪৮

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৫ + (n - ১) × (- ৩) = - ৪৮ 
⇒ (n - ১) × (- ৩) = - ৪৮ - ১৫
⇒ (n - ১) × (- ৩) = - ৬৩
⇒ n - ১ = - ৬৩/- ৩
⇒ n - ১ = ২১
⇒ n = ২১ + ১ 
∴ n = ২২

সুতরাং, ধারাটিতে ২২টি পদ আছে।

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

২৮ + ১১ = ৩৯
৩৯ + ১৯ = ৫৮
৫৮ + ২৭ = ৮৫

এখানে,
১১ + ৮ = ১৯
১৯ + ৮ = ২৭

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7তম পদ কত? 

সমাধান: 
​​দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 7 

∴ 7 তম পদ = a + (n - 1)d 
= 4 + (7 - 1)4 
​= 4 + (6 × 4)
​= 4 + 24 
= 28 

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 2  ; r > 1
শেষ পদ = 448

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = ar^{(n - 1)}
⇒ 7 × 2^{(n - 1)} = 448
⇒ 2^{(n - 1)} = 448/7
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অর্থাৎ ধারাটিতে মোট 7টি পদ আছে।

আবার, 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ্যার সমষ্টি, S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
S₇ = 7 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 7 × (128 - 1)
= 7 × 127
= 889

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণত অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯
চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৯+১২
= ৪১
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণত অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +.......... + 25² = ? 

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 25

∴ S₂₅ = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6
= (25 × 26 × 51)/6
= 33150/6
= 5525

∴ধারাটির যোগফল = 5525 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 125 এবং 25, তাহলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 125
দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 25
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 25/125 = 1/5

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = 125 × (1/5)⁶
= 125 × 1/5⁶
= 5³/5⁶
= 1/5³
= 1/125

সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ 1/125

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1) 
⇒ (2a + 1)² = 81 
​⇒ (2a + 1)² = 9²
⇒ 2a + 1 = 9
​⇒ 2a = 9 - 1
⇒ 2a = 8
​⇒ a = 8/2
∴ a = 4

tan(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = tan(4π/2) = tan(2π) = 0

2² + 4² + 6² + ........ + (50)²
= 2².1² + 2².2² + 2².3² +.....+ 2².(25)²
= 2²{1² + 2² + 3² + ........ + (25)²}
= 4 × [{25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6]
= (4 × 25 × 26 × 51)/6
= 22100

27/-3 = -9;
-9/-3 = 3;
3/-3 = -1
∴ -1/-3 = 1/3

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = 0.05/0.5 = 1/10 
যেহেতু, r = 1/10 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

∴ অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/10)}
 = (1/2)/(9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1 = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ = aq^5-1 = aq⁴ = (-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³ = 3/4
বা, q³ = -3/192
বা, q³ = -1/64
বা, q³ = (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

প্রশ্ন: (2/√5), - 2, 2√5, - 10, ............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ, a = 2/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/(2/√5)
= - 2 × √5/2
= - √5

আমরা জানি n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= (2/√5) × (-√5)⁶
= (2/√5) × {(-√5)²}³
= (2/√5) × (5)³
= (2/√5) × 125
= 250/√5
= (250 × √5)/5
= 50√5

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ১১২ বসবে।

ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar^2-1 = ar = -48 ...... (1)
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 ...... (2)
২নং ÷ ১নং হতে পাই,
r³ = 3/4 × (-1/48) = (-1/64)
r³ = {-(1/4)}³
∴ r = -(1/4)

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ: a = 7
সাধারণ অন্তর: d = 13 - 7 = 6
পদের সংখ্যা: n = 20

প্রথম n পদের যোগফল সূত্র:
S_n = n/2[2a + (n - 1)d]
S₂₀ = 20/2[2 × 7 + (20 - 1)6]
S₂₀ = 10[14 + 19 × 6]
S₂₀ = 10[14 + 114]
S₂₀ = 10[128]
S₂₀ = 1280

∴20 পদের যোগফল 1280

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ - 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

এখানে a = 27 এবং r =:9/ 27 = 1/3, সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1} = 27×(1/3) ^{5 - 1} = 27 × (1/3)⁴ = 27/81 = 1/3

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
দেওয়া আছে,
a₃ = a + 2d = - 13 .......(1)
a₈ = a + 7d = 2 .......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
(a + 7d) - (a + 2d) = 2 - (- 13)
⇒ 5d = 15
⇒ d = 15/5 = 3
∴ d = 3

d এর মান (1) বসিয়ে পাই,
⇒ a + 2 × 3 = - 13
⇒ a + 6 = - 13
⇒ a = - 13 - 6
∴ a = - 19

এখন ১৪তম পদ, a₁₄ = a + 13d
= - 19 + 13 × 3
= - 19 + 39
= 20

সুতরাং, ধারাটির ১৪তম পদ = 20

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৩টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৫টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩
সাধারণ অন্তর (d) = ৫
পদ সংখ্যা (n) = ২০

আমরা জানি,
n-তম পদ= a + (n - 1)d
∴ ২০ তম পদ = ৩ + (২০ - ১) × ৫
= ৩ + ১৯ × ৫
= ৩ + ৯৫
= ৯৮টি

১ম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r হলে
ar^3-1 = 20 এবং ar^6-1 = 160
বা, ar² = 20 ....(1)   ar⁵ = 160.......(2)
(2) নং ÷ (1) নং ⇒ ar⁵/ar² = 160/20 বা, r³ = 8 ∴ r = 2
(1) নং ⇒ a.2² = 20 বা, 4a = 20 ∴ a = 5

ধরি, S = ৭+৭৭+৭৭৭+……………
S/7 = 1+11+111+………
9S/7 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………
= (10+10²+10³+………+10ⁿ) – (1+1+1+………+n)
= 10(1+10+10²…………10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 7/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 70(10n-1)/81 – 7n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}