সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

PrepBank · পাতা ১২ / ১৪ · ১,১০১–১,২০০ / ১,৩৩৪

১,১০১.

f(x) = x² - 4x + 4 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

ক
0
খ
- 1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x² - 4x + 4 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
f(x) = x² - 4x + 4
∴ f(2) = 2² - 4.2 + 4
= 4 - 8 + 4
= 8 - 8
= 0

১,১০২.

S = {1/3 , 1/9, 1/27, 1/81 ............} এর সুপ্রিমাম কত?

ক
0
খ
1/3
গ
1/81
ঘ
1/27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: S = {1/3 , 1/9, 1/27, 1/81 ............} এর সুপ্রিমাম কত?

সমাধান:
দেওয়া সেটটি হলো:

S = { 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, …...... }
S = {1/3, 1/3², 1/3³, 1/3⁴, ...........}

এই সেটটি একটি হ্রাসমান জ্যামিতিক ধারা, যেখানে প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের চেয়ে ছোট।

সেটটির সবচেয়ে বড় উপাদান হলো 1/3 এবং এটি সেটের মধ্যেই রয়েছে।

যেহেতু 1/3 সেটটির সর্বনিম্ন উপরের সীমা, তাই সেটটির সুপ্রিমাম হলো 1/3

সুপ্রিমাম = 1/3

১,১০৩.

A = {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা}, P(A) এর সদস্যা সংখ্যা কত?

ক
0
খ
4
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা}, P(A) এর সদস্যা সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
অর্থাৎ, যে সকল স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যা 13 অপেক্ষা বড় এবং 17 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। কিন্তু প্রদত্ত শর্তানুযায়ী 13 অপেক্ষা বড় এবং 17 অপেক্ষা ছোট কোনো মৌলিক সংখ্যা নেই।
∴ Α = Ø
সুতরাং A এর উপাদান n = 0

∴ P(A) সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁰ = 1

১,১০৪.

A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ - 1 = 63
⇒ 2ⁿ = 63 + 1
⇒ 2ⁿ = 64
⇒ 2ⁿ = 2⁶
∴ n = 6

[• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।]

১,১০৫.

A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A - B হলে, C এর মান কত?

ক
{2, 5}
খ
{3, 5}
গ
{2, 4, 6}
ঘ
{2, 3, 5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A - B হলে, C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}
= {2, 3, 5}
এবং
B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6}
= {2, 4, 6}

∴ C = A - B
= {2, 3, 5} - {2, 4, 6}
= {3, 5} ।

১,১০৬.

যদি n(A ∩ B) = 13, n(A) = 40, n(B) = 64 হয় তাহলে, n(A ∪ B) এর মান কত?

ক
91
খ
98
গ
95
ঘ
89

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি n(A ∩ B) = 13, n(A) = 40 এবং n(B) = 64 হয় তাহলে, n(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
n(A ∩ B) = 13
n(A) = 40
n(B) = 64

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
= 40 + 64 - 13
= 91

১,১০৭.

A = {4, 8, 12, 16} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

ক
A = {x : x, 4 এর গুণনীয়ক এবং x = 16}
খ
A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≥ 16}
গ
A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x < 16}
ঘ
A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {4, 8, 12, 16} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
বস্তু জগতের বা চিন্তাজগতের বস্তু বা ধারণার যে কোন সুনির্ধারিত তালিকা, সংগ্রহ বা শ্রেণিকে সেট বলে।

A = {4, 8, 12, 16}
A সেটের উপাদান গুলো হলো 4, 8, 12, 16
যা 16 এর সমান বা 16 থেকে ছোট এবং 4 এর গুণিতক।

∴ A সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}

১,১০৮.

A = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 9 এর গুণিতকসমূহ এবং x ≤ 18} হলে, n(A) + n(B) =?

ক
4
খ
6
গ
8
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 9 এর গুণিতকসমূহ এবং x ≤ 18} হলে, n(A) + n(B) =?

সমাধান:
18 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 9 এবং 18
A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
n(A) = 6

x ≤ 18 এর জন্য 9 এর গুণিতকসমূহ 9, 18
B = {9, 18}
n(B) = 2

∴ n(A) + n(B) = 6 + 2 = 8

১,১০৯.

A = {1, 3, 5, 7} হলে A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
ক) 4
খ
খ) 8
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {1, 3, 5, 7} হলে A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 এবং উপসেট = 2ⁿ
A সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
A এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

১,১১০.

A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 6} এবং B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

ক
{2, 3, 5}
খ
{4, 6}
গ
{2, 4}
ঘ
Ø

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 6} এবং B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 6}
= {2, 3, 4, 5}

এবং B = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {2, 4, 6, 8}

∴ (A ∩ B) = {2, 3, 4, 5} ∩ {2, 4, 6, 8} = {2, 4}

∴ নির্ণেয় সেট = {2, 4}

১,১১১.

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} হলে এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

ক
16টি
খ
15টি
গ
17টি
ঘ
4টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} হলে এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।
দেওয়া আছে
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
A = {3, 4, 5, 6}

A সেটের উপাদান = 4টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 2⁴ = 16 টি
প্রকৃত উপসেট = 16 - 1= 15টি

১,১১২.

300 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 160 জন ইংরেজিতে, 140 জন গণিতে এবং 120 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
180 জন
খ
145 জন
গ
120 জন
ঘ
160 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 300 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 160 জন ইংরেজিতে, 140 জন গণিতে এবং 120 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী, n = 300
ইংরেজিতে পাস করেছে, n(E) = 160
গণিতে পাস করেছে, n(M) = 140
উভয় বিষয়ে পাস করেছে, n(E ∩ M) = 120

আমরা জানি,
n(E ∪ M) = n(E) + n(M) - n(E ∩ M) = 160 + 140 - 120 = 180
∴ n(E ∪ M) = 180

∴ n(উভয় বিষয়ে ফেল) = মোট শিক্ষার্থী - n(E ∪ M)
= 300 - 180 = 120

১,১১৩.

একটি সেটের সদস্য সংখ্যা 4 হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা কত?

ক
ক) 16
খ
খ) 15
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সেটের সদস্য সংখ্যা 4 হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
একটি সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ - 1

∴ একটি সেটের সদস্য সংখ্যা 4 হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা = 2⁴ - 1
= 16 -1
= 15

১,১১৪.

B = {1, 4, 5} হলে, B এর কতটি উপসেট আছে?

ক
8
খ
16
গ
32
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {1, 4, 5} হলে, B এর কতটি উপসেট আছে?

সমাধান:
B = {1, 4, 5} সেটের উপাদান সংখ্যা 3 টি।
আমরা জানি,
উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ B সেটের উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8

১,১১৫.

A = {x ∈ N : x ≤ 30 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

ক
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
খ
{4, 8, 12, 16, 20, 24}
গ
{6, 9, 12, 15, 18}
ঘ
{5, 10, 15, 20, 25, 30}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 30 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 30 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 5 এর গুণিতক।
5 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 5 = 5
2 × 5 = 10
3 × 5 = 15
4 × 5 = 20
5 × 5 = 25
6 × 5 = 30
∴ নির্ণেয় সেট = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

১,১১৬.

A ∪ (A - B) = ?

ক
ক) A
খ
খ) B
গ
গ) A ∩ B
ঘ
ঘ) A ∪ B

ব্যাখ্যা

ধরি,
A = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}
B = {2, 3, 6, 9, 10}

A – B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9} - {2, 3, 6, 9, 10}
= {1, 4, 5, 7, 8}

A ∪ (A - B) = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9} ∪ {1, 4, 5, 7, 8}
= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9} = A

১,১১৭.

নিচের কোন দুটি সেট পরস্পর সমান?

ক
A = {1, 2} এবং B = {1}
খ
A = {1, 2} এবং B = {1, 2, 3}
গ
A = {1, 2, 3} এবং B = {2, 1, 3}
ঘ
A = {1, 2, 4} এবং B = {1, 2, 3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন দুটি সেট পরস্পর সমান?

সমাধান:
দুটি সেট সমান হবে যদিও কেবল যদি সেটদ্বয়ের একই উপাদান থাকে।
অপশন গ এর
A = {1, 2, 3} এবং B = {2, 1, 3}
A ও B সেটের উপাদান একই তাই তারা পরস্পর সমান।

১,১১৮.

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 4 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত হবে?

ক
ক) 20
খ
খ) 4
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 32

ব্যাখ্যা

এখানে, সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4
∴ পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা 2ⁿ = 2⁴ = 16 [পাওয়ার সেটের উপাদানকে 2n দ্বারা প্রকাশ করা হয়]

১,১১৯.

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই অন্তত দুইটি ভাষার একটি বলতে পারে। বাংলা কতজন বলতে পারে?

ক
20 জন
খ
30 জন
গ
35 জন
ঘ
40 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই অন্তত দুইটি ভাষার একটি বলতে পারে। বাংলা কতজন বলতে পারে?

১,১২০.

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে, A ∩ B = কত?

ক
{3, 5, 7}
খ
{3, 5, 7, 9, 11}
গ
{3, 5, 7, 8}
ঘ
{3, 5, 7, 9}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11}

সুতরাং, A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {3, 5, 7, 9}

১,১২১.

স্কুলের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ১৫ জন ১০০ মিটার দৌড়ে, ১২ জন ২০০ মিটার দৌড়ে এবং ৭ জন দুটিতেই অংশগ্রহণ করে। ৩ জন প্রতিযোগী কোনোটিতেই অংশগ্রহণ না করলে মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত?

ক
ক) ১৯ জন
খ
খ) ১৭ জন
গ
গ) ২১ জন
ঘ
ঘ) ২৩ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্কুলের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ১৫ জন ১০০ মিটার দৌড়ে, ১২ জন ২০০ মিটার দৌড়ে এবং ৭ জন দুটিতেই অংশগ্রহণ করে। ৩ জন প্রতিযোগী কোনোটিতেই অংশগ্রহণ না করলে মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
কোনোটিতেই অংশগ্রহণ করে না = ৩ জন
উভয় খেলায় অংশগ্রহণ করে = ৭ জন
শুধু ১০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১৫ - ৭) জন
= ৮ জন

আবার,
শুধু ২০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১২ - ৭) জন
= ৫ জন

∴ মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা = (৩ + ৭ + ৮ + ৫) জন
= ২৩ জন

১,১২২.

একটি শ্রেণীর ৩০ জন ছাত্রের মধ্যে ২০ জন ফুটবল এবং ১৫ জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। প্রত্যেকে অন্তত একটি খেলা পছন্দ করলে উভয় খেলা পছন্দ করে কত জন ছাত্র?

ক
ক) ১০
খ
খ) ২০
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৮

ব্যাখ্যা

ফুটবল ও ক্রিকেট পছন্দ করে = ২০+১৫ = ৩৫ জন
তাহলে, দুটি খেলাই পছন্দ করে = (৩৫-৩০) জন = ৫ জন

১,১২৩.

যদি f(x) = x + 5 এবং g(x) = x - 5 হয়, তাহলে f(g(x))=?

ক
0
খ
10
গ
2x
ঘ
x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি f(x) = x + 5 এবং g(x) = x - 5 হয়, তাহলে f(g(x))=?

সমাধান:
g(x) = x - 5

f(x) = x + 5
⇒ f(g(x)) = g(x) + 5
= x - 5 + 5
= x

১,১২৪.

x² - 2x - y যদি x - 1 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে y এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

f(x) = x² - 2x - y
f(1) = 1² - 2.1 - y
= - 1 - y
x² - 2x - y যদি x - 1 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে
- 1 - y = 0
∴ y = - 1

১,১২৫.

B = {2, 4, 9} হলে, B এর কতটি উপসেট আছে?

ক
7
খ
15
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {2, 4, 9} হলে, B এর কতটি উপসেট আছে?

সমাধান:
B = {2, 9, 4} সেটের উপাদান সংখ্যা 3 টি।

আমরা জানি,
উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ B সেটের উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8

১,১২৬.

একটি অঞ্চলে সমীক্ষা করে দেখা গেছে যে 70 জন ইংরেজি সংবাদপত্র, 73 জন বাংলা সংবাদপত্র এবং 64 জন উভয় প্রকার সংবাদপত্র পড়েন। যদি 63 জন কোনো প্রকার সংবাদপত্র না পড়েন, তবে মোট কত জনের মধ্যে সমীক্ষাটি চালানো হয়েছিল?

ক
ক) 89
খ
খ) 140
গ
গ) 79
ঘ
ঘ) 142

ব্যাখ্যা

মনে করি, ইংরাজি সংবাদপত্র পড়েন এরকম লোকসংখ্যার সেট = E এবং

বাংলা সংবাদপত্র পড়েন এরকম লোকসংখ্যার সেট = B
এখন, প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, n (E) = 70, n (B) = 73 এবং n (E∩B) = 64

A ও B দুটি সেট হলে, আমরা জানি, n (AUB)= n(A) + n(B) - n(A∩B)
সুতরাং, n (EUB) = n(E)+n(B)-n(E∩B)

= 70 + 73 - 64

= 79

79 জন দুই রকম সংবাদপত্রের মধ্যে একরকম এবং দুইরকমই সংবাদপত্র পড়েন।

আবার, কোনো প্রকার সংবাদপত্র পড়েন না এমন লোকসংখ্যা = 63
সুতরাং, মোট লোকসংখ্যা = (79 + 63) জন = 142 জন।

অতএব, ওই সমীক্ষাটি চালানো হয়েছিল 142 জন লোকের মধ্যে।

১,১২৭.

Q = {3, 4} হলে, P(Q) এর উপাদান কয়টি?

ক
2টি
খ
3টি
গ
4টি
ঘ
5টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Q = {3, 4} হলে, P(Q) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Q = {3, 4}

∴ p(Q) = {{3}, {4}, {3, 4}, Ø}

সুতরাং, p(Q) এর উপাদান সংখ্যা = 4টি

১,১২৮.

১২ জনের একটি পার্টিতে অর্ধেক লোক 'ক' ক্লাবের, এক-তৃতীয়াংশ 'খ' ক্লাবের এবং এক-চতুর্থাংশ উভয় ক্লাবের সদস্য হলে কতজন লোক কোন ক্লাবের সদস্য নয়?

ক
৫ জন
খ
৪ জন
গ
৩ জন
ঘ
২ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২ জনের একটি পার্টিতে অর্ধেক লোক 'ক' ক্লাবের, এক-তৃতীয়াংশ 'খ' ক্লাবের এবং এক-চতুর্থাংশ উভয় ক্লাবের সদস্য হলে কতজন লোক কোন ক্লাবের সদস্য নয়?

সমাধান:
ক ক্লাবের সদস্য সংখ্যা = ১২ × (১/২) = ৬ জন
খ ক্লাবের সদস্য সংখ্যা = ১২ × (১/৩) = ৪ জন
উভয় ক্লাবের সদস্য সংখ্যা = ১২ × (১/৪) = ৩ জন

শুধু ক ক্লাবের সদস্য = ৬ - ৩ = ৩ জন
শুধু খ ক্লাবের সদস্য = ৪ - ৩ = ১ জন

এক বা একাধিক বা উভয় ক্লাবের সদস্য = ৩ + ৩ + ১
= ৭ জন

∴ কোন ক্লাবের সদস্য নয় = ১২ - ৭ = ৫ জন

১,১২৯.

যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {3, 4, 5} হয়, তবে A\B এর মান কত?

ক
{1, 2, 6}
খ
{3, 4, 5}
গ
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
ঘ
{4, 5, 6}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {3, 4, 5} হয়, তবে A\B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {3, 4, 5}

তাহলে A\B অর্থ হলো A তে আছে কিন্তু B তে নেই এমন সব উপাদান।
তাহলে A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4, 5} = {1, 2, 6}

অর্থাৎ,
A\B = {1, 2, 6}

∴ A\B এর মান {1, 2, 6}

১,১৩০.

A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 31 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 31 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ - 1 = 31
⇒ 2ⁿ= 31 + 1
⇒ 2ⁿ= 32
⇒ 2ⁿ = 2⁵
∴ n = 5

[• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।]

১,১৩১.

A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A - B হলে, C এর মান কত?

ক
{2, 4, 6}
খ
{3, 5}
গ
{2, 3, 5}
ঘ
{2, 5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A - B হলে, C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 7}
= {2, 3, 5}
এবং
B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6}
= {2, 4, 6}

∴ C = A - B
= {2, 3, 5} - {2, 4, 6}
= {3, 5} ।

১,১৩২.

P = Ø, Q = {a}, R = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার গুণফল কত?

ক
0
খ
6
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = Ø, Q = {a}, R = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার গুণফল কত?

সমাধান:
এখানে, P(P) = {0}
P সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁰ = 1

আবার,
P(Q) = {{a}, 0}
∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2¹ = 2

এবং P(R) = {{a}, {6}, {a, b}, 0}
∴ R সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2² = 4

∴ সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি = 1 × 2 × 4 = 8

১,১৩৩.

f(x) = x² + kx + 5x - 18 হলে, k এর কোন মানের জন্য f(3) = 0 হবে?

ক
3
খ
- 2
গ
0
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x² + kx + 5x - 18 হলে, k এর কোন মানের জন্য f(3) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x² + kx + 5x - 18
∴ f(3) = (3)² + k(3) + 5(3) - 18
= 9 + 3k + 15 - 18
= 3k + 24 - 18
= 3k + 6

প্রশ্নমতে,
f(3) = 0
বা, 3k + 6 = 0
বা, 3k = - 6
বা, k = - 6/3
∴ k = - 2

১,১৩৪.

যদি n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ⋂ B) = 4, যেখানে U হল সর্বজনীন সেট, A এবং B হল U এর উপসেট হয়, তাহলে n{(A ⋃ B)^c} = কত?

ক
17
খ
9
গ
11
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ⋂ B) = 4, যেখানে U হল সর্বজনীন সেট, A এবং B হল U এর উপসেট হয়, তাহলে n{(A ⋃ B)^c} = কত?

সমাধান:
n(U), n(A), এবং n(B) যথাক্রমে U, A, এবং B সেটে উপাদানের সংখ্যা নির্দেশ করে।
A ⋃ B = A + B - (A ∩ B)
(A ⋃ B)^c = U - (A ⋃ B)

n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9 এবং n(A ∩ B) = 4

সূত্র অনুযায়ী,
n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 9 - 4 = 17

আবার, উপরে উল্লিখিত সূত্র অনুযায়ী,
n(A ⋃ B)^c = n(U) - n(A ⋃ B) = 20 - 17 = 3

১,১৩৫.

'BCS' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

ক
ক) 3
খ
খ) 9
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

• 'BCS' শব্দটির তিনটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
• সুতরাং বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6

১,১৩৬.

কোন পরীক্ষায় ৮৫% পরীক্ষার্থী গণিতে, ৮০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
ক) ১৫%
খ
খ) ১০%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৮৫% পরীক্ষার্থী গণিতে, ৮০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু গণিতে পাশ করে =(৮৫ - ৭৫)% = ১০%
শুধু ইংরেজিতে পাশ করে =(৮০ - ৭৫)% = ৫%
গণিত, ইংরেজি ও উভয় বিষয়ে পাশ করে = (১০ + ৫ + ৭৫)%
= ৯০%
উভয় বিষয়ে ফেল করেছে= (১০০ - ৯০)% = ১০%

১,১৩৭.

স্কুলের কোন ক্লাসের ৪৫ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন ফুটবল খেলে, ২২ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৮ জন দুটিই খেলে। কতজন ছাত্র দুটির কোনটিই খেলে না?

ক
ক) ৫ জন
খ
খ) ৭ জন
গ
গ) ৮ জন
ঘ
ঘ) ৬ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্কুলের কোন ক্লাসের ৪৫ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন ফুটবল খেলে, ২২ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৮ জন দুটিই খেলে। কতজন ছাত্র দুটির কোনটিই খেলে না?

সমাধান:
শুধু মাত্র ফুটবল খেলে ২৫ - ৮ জন = ১৭ জন
শুধু মাত্র ক্রিকেট খেলে ২২ - ৮ জন = ১৪ জন

কোন না কোন খেলা খেলে ১৭ + ১৪ + ৮ জন
= ৩৯ জন

কোনটিই খেলে না ৪৫ - ৩৯ জন
= ৬ জন

১,১৩৮.

Q = {x ∈ N : x ≤ 6} হলে, P(Q) = ?

ক
32
খ
64
গ
128
ঘ
63

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N : x ≤ 6} হলে, P(Q) = ?

সমাধান:
x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 এর সমান বা ছোট।
Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ Q সেটে উপাদান সংখ্যা = 6

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেটে থাকবে 2ⁿ টি উপসেট।
∴ P(Q) = 2⁶ = 64

১,১৩৯.

কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 60 জন বাংলা, 30 জন ইংরেজী এবং 15 জন বাংলা ও ইংরেজী উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে কত জন?

ক
60 জন
খ
75 জন
গ
80 জন
ঘ
90 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 60 জন বাংলা, 30 জন ইংরেজী এবং 15 জন বাংলা ও ইংরেজী উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে কত জন?

সমাধান:
মনে করি,
দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে এমন লোকের সেট = S
তাদের মধ্যে বাংলায় কথা বলতে পারে তাদের সেট = A
এবং ইংরেজীতে কথা বলতে পারে তাদের সেট = B

প্রশ্নানুসারে,
n(A) = 60, n(B) = 30, n(A ∩ B) = 15
আবার, n(S) = n(A ∪ B)
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
= 60 + 30 - 15
= 90 - 15
= 75

∴ দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে = 75 জন।

১,১৪০.

একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন ছাত্র উভয়টিই খেলে?

ক
৩ জন
খ
৫ জন
গ
৭ জন
ঘ
১১ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন ছাত্র উভয়টিই খেলে?

সমাধান:
শুধু ফুটবল খেলে না = (৩০ - ১৮ - ৫) জন
= ৭ জন

আবার,
শুধু ক্রিকেট খেলে না = (৩০ - ১৪ - ৫) জন
= ১১ জন

∴ শুধু ফুটবল বা ক্রিকেট বা কোনো খেলাই খেলে না = (৭ + ১১ + ৫) জন
= ২৩ জন

∴ উভয় খেলা খেলে = (৩০ -২৩) জন
= ৭ জন।

১,১৪১.

যদি n(A∪B) = 61, n(A∩B) = 23, n(A) = 30 হলে n(B) = ?

ক
ক) 53
খ
খ) 54
গ
গ) 55
ঘ
ঘ) 56

ব্যাখ্যা

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
বা, 61 = 30 + n(B) - 23
বা, n(B) = 61 - 30 + 23
= 84 - 30
= 54

১,১৪২.

মূলদ সংখ্যার সেট কিরুপ সেট -

ক
ক) অসীম
খ
খ) সসীম
গ
গ) সার্বিক
ঘ
ঘ) { }

ব্যাখ্যা

মূলদ সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।
এই সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারন করা যায়না, তাই অসীম সেট।

১,১৪৩.

A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² < 25}, B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 25}, এবং C = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} হলে, A ∩ B ∩ C = কত?

ক
Ø
খ
{2}
গ
{1, 3, 6}
ঘ
{2, 6}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² < 25}, B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 25}, এবং C = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} হলে, A ∩ B ∩ C = কত?

সমাধান:
A = {x : x ধনাত্মক সংখ্যা এবং x² < 25}
∴ A = {1, 2, 3, 4}

B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 25}
∴ B = {2, 3}

C = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6}
∴ C = {2, 4, 6, 8}

∴ A ∩ B ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2}

১,১৪৪.

A = {x : x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 24} হলে A\B = কত?

ক
{1, 2, 4}
খ
{1, 2, 3, 6}
গ
{4, 8, 12}
ঘ
{1, 2, 3, 4, 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 24} হলে A\B = কত?

সমাধান:
এখানে, A = {x : x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ}
24 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
∴ A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

B = {x : x, 4 এর গুনিতক এবং x ≤ 24}
4 এর গুনিতকসমূহ = 4, 8, 12, 16, 20, 24, .........
∴ B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}

∴ A\B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}\{4, 8, 12, 16, 20, 24}
= {1, 2, 3, 6}

১,১৪৫.

সেট {2, 3, 4} এর প্রকৃত উপসেট কয়টি:

ক
3
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সেট {2, 3, 4} এর প্রকৃত উপসেট কয়টি:

সমাধান:
প্রকৃত উপসেট (proper subset): কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন, A = {3, 4, 5, 6} এবং B = {3, 5} দুইটি সেট।
এখানে, B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম।
∴ B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊂ A লিখে প্রকাশ করা হয়।

দেওয়া সেট,
A = {2, 3, 4}
A এর উপাদান সংখ্যা, n(A) = 3

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1
= 8 - 1
= 7

সুতরাং, সেট {2, 3, 4} এর প্রকৃত উপসেট 7টি।

১,১৪৬.

f(x) = 3x + 2 হলে, f^-1(x) কী হবে?

ক
(x - 2)/3
খ
(3x + 2)/x
গ
3(x + 2)
ঘ
(2x + 3)/x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = 3x + 2 হলে, f^-1(x) কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x + 2 = y
⇒ 3x = y - 2
∴ x = (y - 2)/3

যেহেতু,
f(x) = y
∴ f^{- 1}(y) = x
⇒ f^{- 1}(y) = (y - 2)/3
∴ f^{- 1}(x) = (x - 2)/3

১,১৪৭.

A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6} হলে, n(A ∩ B) = কত?

ক
1
খ
2
গ
4
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6} হলে, n(A ∩ B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {3, 4, 5}
B = {4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 4, 5} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2

১,১৪৮.

A = {x ∈ N: x³ এবং x < 27} হলে সেটটি তালিকা পদ্ধতি প্রকাশ করুন।

ক
ক) ∅
খ
খ) {0, 1, 2}
গ
গ) {- 2, -1, 0, 1, 2}
ঘ
ঘ) {1, 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ A = {x ∈ N: x³ এবং x < 27} হলে সেটটি তালিকা পদ্ধতি প্রকাশ করুন।

সমাধানঃ
এখানে, x স্বাভাবিক সংখ্যা = 1, 2, 3, 4.........
উপর্যুক্ত শর্তে, x = 1, 2

∴ নির্ণেয় সেট, A = {1, 2}

১,১৪৯.

যদি B = {x : x² = 9, 2x = 4} হয় তবে B = ?

ক
{2}
খ
{3, - 3}
গ
{2, 3, - 3}
ঘ
{ }

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি B = {x : x² = 9, 2x = 4} হয় তবে B = ?

সমাধান:
প্রথম শর্তানুযায়ী,
x² = 9
⇒ x = ±3
∴ x = 3, - 3

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
2x = 4
∴ x = 2
কমা থাকার কারণে x প্রদত্ত দুইটি শর্তকেই মেনে চলতে হবে।

B = {3, - 3} ∩ {2} = Ø বা { }

১,১৫০.

50 টি বলের মধ্যে 35 টির গায়ে লাল দাগ, 20 টির গায়ে নীল দাগ এবং 12 টির গায়ে লাল ও নীল উভয় দাগ আছে। কতটি বলের মধ্যে লাল বা নীল কোনো দাগই নেই?

ক
5 টি
খ
6 টি
গ
7 টি
ঘ
8 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 টি বলের মধ্যে 35 টির গায়ে লাল দাগ, 20 টির গায়ে নীল দাগ এবং 12 টির গায়ে লাল ও নীল উভয় দাগ আছে। কতটি বলের মধ্যে লাল বা নীল কোনো দাগই নেই?

সমাধান:
শুধু লাল দাগ আছে = (35 - 12) টি বলে
= 23 টি বলে

আবার,
শুধু নীল দাগ আছে = (20 - 12) টি বলে
= 8 টি বলে

∴ দাগ আছে = (23 + 8 + 12) টি বলে
= 43 টি বলে

∴ কোনো দাগ নেই = (50 - 43) টি বলে
= 7 টি বলে ।

১,১৫১.

বাংলায় অথবা ইংরেজিতে কথা বলতে পারে এমন 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজিতে 40 জন বাংলায় কথা বলতে পারে। উভয় ভাষায় কত জন কথা বলতে পারে?

ক
25
খ
30
গ
35
ঘ
40

ব্যাখ্যা

বাংলায় কথা বলতে পারে n(B) = 40 জন
ইংরেজিতে কথা বলতে পারে n(E) = 35 জন
যেকোন একটিতে কথা বলতে পারে n(B∪E) = 50 জন
∴ উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে n(B∩E) = ?
n(B∪E) = n(B) + n(E) - n(B∩E)
বা, n(B∩E) = n(B) + n(E) - n(B∪E)
= 40 + 35 - 50 = 25

১,১৫২.

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A = {2,3,5,7}, B = {1,3,5,7,9} হলে, n(A ∩ B^c) = কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {2,3,5,7}
B = {1,3,5,7,9}

B^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {1,3,5,7,9}
= {0,2,4,6,8}

A ∩ B^c= {2,3,5,7} ∩ {0,2,4,6,8}
= {2}

n(A ∩ B^c) = 1

১,১৫৩.

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 5 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 16
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 64

ব্যাখ্যা

সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 5
∴ পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা 2ⁿ = 2⁵ = 32

১,১৫৪.

প্রদত্ত ভেনচিত্রে U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 হলে, x এর মান কত?

ক
8
খ
12
গ
10
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত ভেনচিত্রে U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50

এখন
2x + 2 + 3 + x + 1 + x - 1 + 0 + x + 5 = 50
⇒ 5x + 10 = 50
⇒ 5x = 50 - 10
⇒ 5x = 40
∴ x = 8

১,১৫৫.

{x ∈ N; x² > 15 এবং x³ < 36} সেটটির তালিকা রূপ কোনটি?

ক
∅
খ
{4, 5, 6}
গ
{3}
ঘ
{1, 2, 3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {x ∈ N; x² > 15 এবং x³ < 36} সেটটির তালিকা রূপ কোনটি?

সমাধান:
প্রথম শর্ত:
x² > 15
x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N = {1, 2, 3, ...})
x² > 15 ⇒ x > √15 ≈ 3.872
অর্থাৎ, x ≥ 4 (যেহেতু x ∈ N)

আবার,
দ্বিতীয় শর্ত:
x³ < 36
x³ < 36 ⇒ x < ∛36 ≈ 3.301
অর্থাৎ, x ≤ 3 (যেহেতু x ∈ N)

উভয় শর্ত হতে পাই,
x ≥ 4 এবং x ≤ 3
এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা x নেই যা একই সাথে 4-এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 3-এর চেয়ে ছোট বা সমান হতে পারে।
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা x উপরের উভয় শর্ত পূরণ করে না।
সুতরাং, সেটটি ফাঁকা

১,১৫৬.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5} হলে, A^c এর মান কত?

ক
ক) {2, 4, 6}
খ
খ) {1, 2, 3, 8}
গ
গ) {2, 4, 6, 7, 8}
ঘ
ঘ) ∅

ব্যাখ্যা

A^c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}-{1, 3, 5} = {2, 4, 6, 7, 8}

১,১৫৭.

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। বাংলা বলতে পারে কতজন?

ক
ক) 40
খ
খ) 35
গ
গ) 45
ঘ
ঘ) 30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। বাংলা বলতে পারে কতজন?

সমাধান:
এখানে,
ইংরেজি বলতে পারে n(E) = 35
বাংলা বলতে পারে n(B) = ?
ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে n(E ∩ B) =25
যেকোন একটিতে কথা বলতে পারে n(E∪B) = 50
এখন,
n(E ∪ B)= n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
⇒ 50 = 35 + n(B) - 25
⇒ 50 =10 + n(B)
⇒ n(B)= 50 - 10
∴ n(B) = 40

১,১৫৮.

A = {2, 3, 7} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
৫ টি
খ
৬ টি
গ
৭ টি
ঘ
৮ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {2, 3, 7} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = ৩ টি
A এর প্রকৃত উপসেট = ২^৩
= ৮ টি

∴ প্রকৃত উপসেট = ৮ - ১
= ৭ টি

১,১৫৯.

মৌলিক সংখ্যার সেট কিরূপ হবে?

ক
ক) সসীম
খ
খ) অসীম
গ
গ) সংযোগ
ঘ
ঘ) ছেদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মৌলিক সংখ্যার সেট কিরূপ হবে?

সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
মৌলিক সংখ্যার সেট অসীম হয়।

১,১৬০.

80 জন লোকের মধ্যে 65 জন ইংরেজি, 55 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। শুধুমাত্র বাংলায় কথা বলতে পারেন কতজন?

ক
10 জন
খ
15 জন
গ
25 জন
ঘ
70 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 80 জন লোকের মধ্যে 65 জন ইংরেজি, 55 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। শুধুমাত্র বাংলায় কথা বলতে পারেন কতজন?

সমাধান:
ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষায় কথা বলতে পারেন = 55 জন
শুধু ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = (65 - 55) জন = 10 জন
∴ শুধু বাংলায় কথা বলতে পারেন = {80 - (55 + 10)} জন
= (80 - 65) জন
= 15 জন

১,১৬১.

যদি A, B এবং C তিনটি সেট হয়, তবে A × (B ∪ C) নিচের কোনটি সমান হবে?

ক
(A × B) ∩ (A × C)
খ
(A ∪ B) × (A ∪ C)
গ
(A × B) ∪ (A × C)
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A, B এবং C তিনটি সেট হয়, তবে A × (B ∪ C) নিচের কোনটি সমান হবে?

সমাধান:
যেকোন সেট A, B, C এর জন্য,
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

১,১৬২.

A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে (A - B) এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে (A - B) এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : x ≤9 এবং x, 9 এর গুণনীয়ক}
∴ A = {1, 3, 9}
B = {x ∈ N : 2 < x < 6}
∴ B = {3, 4, 5}

এখন,
A - B = {1, 3, 9} - {3, 4, 5}
= {1, 9}
(A - B) এর উপাদান সংখ্যা = 2
(A - B) এর প্রকৃত উপসেট = 22 - 1 = 4 - 1 = 3

১,১৬৩.

A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে (A - B) এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
ক) 4
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে (A - B) এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক}
∴ A = {1, 3, 9}
B = {x ∈ N : 2 < x < 6}
∴ B = {3, 4, 5}

এখন,
A - B = {1, 3, 9} - {3, 4, 5}
= {1, 9}
(A - B) এর উপাদান সংখ্যা = 2
(A - B) এর উপসেট = 2² = 4

∴ (A - B) এর প্রকৃত উপসেট = 4 - 1 = 3

১,১৬৪.

৭-এর গুণিতকের সেট একটি-

ক
অসীম সেট
খ
সসীম সেট
গ
সার্বিক সেট
ঘ
সবগুলোই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭-এর গুণিতকের সেট একটি-

সমাধান:
অসীম সেট: যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
৭ এর গুণিতকসমূহ = ৭, ১৪, ২১, ২৮, . . . ইত্যাদি
∴ ৭ এর গুণিতকের সেট = {৭, ১৪, ২১, ২৮, . . .....}

অর্থাৎ, ৭ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।

১,১৬৫.

A = { x ∈ N : 1 < x < 13 } এবং B = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x < 13 } হলে, A ∩ B = কত?

ক
A
খ
A\B
গ
B
ঘ
B\A

ব্যাখ্যা

A = { x ∈ N : 1 < x < 13 }
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
B = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x < 13 }
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}
A ∩ B
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12}
= {2, 4, 6, 8, 10 12}
= B

১,১৬৬.

M = {a, b, c} এবং N = {b} হলে (M - N) এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কয়টি?

ক
4 টি
খ
7 টি
গ
8 টি
ঘ
3 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: M = {a, b, c} এবং N = {b} হলে (M - N) এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে
M = {a, b, c}
N = {b}

প্রদত্ত রাশি,
M - N
= {a, b, c} - {b}
= {a, c}

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2² - 1
= 4 - 1
= 3
প্রকৃত উপসেটগুলো হলো- ∅, {a}, {c}

১,১৬৭.

নিচের কোনটি দ্বারা (A ∩ B) কে প্রকাশ করা যায়?

ক
{x : x ∉ A এবং x ∈ B}
খ
{x : x ∈ A এবং x ∉ B}
গ
{x : x ∈ A অথবা x ∈ B}
ঘ
{x : x ∈ A এবং x ∈ B}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা (A ∩ B) কে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
ছেদ অপারেশন ∩ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। A ∩ B -পড়ুন " A ছেদ বি " বা " A এবং B এর ছেদ " -কে A এবং B উভয়ের অন্তর্গত সমস্ত উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
(A ∩ B) = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}

১,১৬৮.

যদি f(x)=x² হয় তবে, f(a + b) + f(a - b) এর মান কত?

ক
ক) a² + b²
খ
খ) a² - b²
গ
গ) 2a² + 2b²
ঘ
ঘ) 2a² - 2b²

ব্যাখ্যা

f(x) = x²
∴ f(a + b) = (a + b)²
এবং, f(a - b) = (a - b)²
এখন, f(a + b) + f(a - b)
= (a + b)² + (a - b)²
= 2a² + 2b²

১,১৬৯.

নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যার সেট বুঝায়?

ক
{x : - 1 < x < 1}
খ
{x : 0 < x < ∞}
গ
{x : - ∞ < x < ∞}
ঘ
{x : - Z < x < + Z}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যার সেট বুঝায়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়। যেমন: -1, -2, -3,.....1, 2, 3, .....1/2, 2/3, 3/4,.......√2, √3, √5,......., 1.23, 1.333,...... ইত্যাদি।
বাস্তব সংখ্যার সেট R = {x : - ∞ < x < ∞}

{x : - Z < x < + Z} এই সেট দ্বারা শুধুমাত্র পূর্ণ সংখ্যার সেট বুঝায়।

১,১৭০.

A U (A ∩ B) = কত?

ক
Ø
খ
A
গ
B ∩ A
ঘ
B

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A U (A ∩ B) = কত?

সমাধান:
ধরি,
A = {2, 3, 5, 7}
এবং B = {1, 3, 5, 7}

এখন,
A ∩ B = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 3, 5, 7}
= {3, 5, 7}

প্রদত্ত রাশি,
A U (A ∩ B) = {2, 3, 5, 7} U {3, 5, 7}
= {2, 3, 5, 7}
= A

১,১৭১.

স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন গান পছন্দ করে, ১৬ জন কবিতা পছন্দ করে এবং ৭ জন দুটিই পছন্দ করে। কত জন কোনোটিই পছন্দ করে না?

ক
৭ জন
খ
৫ জন
গ
৮ জন
ঘ
৯ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন গান পছন্দ করে, ১৬ জন কবিতা পছন্দ করে এবং ৭ জন দুটিই পছন্দ করে। কত জন কোনোটিই পছন্দ করে না?

সমাধান:
শুধু গান পছন্দ করে = (১৮ - ৭) জন = ১১ জন
শুধু কবিতা পছন্দ করে = (১৬ - ৭) জন = ৯ জন
∴ এক বা উভয়টি পছন্দ করে = (১১ + ৯ + ৭) জন = ২৭ জন

∴ কোনটিই পছন্দ করে না = (৩২ - ২৭) জন
= ৫ জন।

১,১৭২.

Q = {x ∈ N : x³ ≤ 125} হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক
6
খ
8
গ
7
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N : x³ ≤ 125} হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে
N = স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,......}

ধরি,
Q = {x ∈ N : x³ ≤ 125}
এখন,
x = 1 হলে, 1³ = 1 ≤ 125
x = 2 হলে, 2³ = 8 ≤ 125
x = 3 হলে, 3³ = 27 ≤ 125
x = 4 হলে, 4³ = 64 ≤ 125
x = 5 হলে, 5³ = 125 ≤ 125
x = 6 হলে, 6³ = 216 ≤ 125 ; যা সত্য নয় ।

নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 5

১,১৭৩.

f(x) = x² + (2/x) + 1 হলে, কোনটি সঠিক?

ক
f(1) = 1
খ
f(0) = - 1
গ
f(- 1) = 0
ঘ
f(1/2) = 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x² + (2/x) + 1 হলে, কোনটি সঠিক?

সমাধান:
f(x) = x² + (2/x) + 1

∴ f(1) = 1² + 2/1 + 1 = 4

f(0) = 0² + (2/0) + 1 = অসংজ্ঞায়িত

f(- 1) = (- 1)² + 2/(- 1) + 1 = 0

f(1/2) = (1/2)² + {2/(1/2)} +1 = (1/4) + 4 + 1 = 21/4

∴ f(x) = x² + (2/x) + 1 হলে f(- 1) = 0

১,১৭৪.

A = {x ∈ N : 1 < x < 10} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}, হলে A ∩ B এর মান কত?

ক
{3, 6}
খ
{3, 6, 12}
গ
{3, 6, 9}
ঘ
{3, 6, 9, 12}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 < x < 10} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}, হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N 1 < x < 10}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

এবং B = {x ∈ N x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
= {3, 6, 9, 12, 15, 18}

A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} ∩ {3, 6, 9, 12, 15, 18}
= {3, 6, 9}

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {3, 6, 9}

১,১৭৫.

A = {2, 3, 4, 6} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
12 টি
খ
15 টি
গ
16 টি
ঘ
18 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {2, 3, 4, 6} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, 3, 4, 6}
উপাদানের সংখ্যা, n = 4

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

∴ A এর প্রকৃত উপসেট 15 টি

১,১৭৬.

যদি n(A) = 16, n(B) = 18 এবং n(A ∩ B) = 7 হয়, তাহলে n(A ∪ B) এর মান কত?

ক
9
খ
15
গ
27
ঘ
41

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি n(A) = 16, n(B) = 18 এবং n(A ∩ B) = 7 হয়, তাহলে n(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
= 16 + 18 - 7
= 27

১,১৭৭.

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 4 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত হবে?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4
∴ পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
= 2⁴
= 16

১,১৭৮.

A = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 2 এর গুণিতক} এবং B = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 3 এর গুণিতক} হলে A - B এর মান কত?

ক
ক) {2, 3, 4, 8}
খ
খ) {3, 6, 9}
গ
গ) {2, 4, 8}
ঘ
ঘ) {4, 6, 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 2 এর গুণিতক} এবং B = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 3 এর গুণিতক} হলে A - B এর মান কত?

সমাধান:
A = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 2 এর গুণিতক}
B = {x : x ∈ N, x < 10 এবং x, 3 এর গুণিতক}

A ={2, 4, 6, 8}
B = {3, 6, 9}

A - B ={2, 4, 6, 8} - {3, 6, 9}
= {2, 4, 8}

১,১৭৯.

যদি P = {x : x এর গুণিতক 2 এবং x ≤৪} এবং Q = {x : x এর গুণিতক 4 এবং x ≤ 12}. P ∩ Q এর মান কত?

ক
{4, 8}
খ
{ }
গ
{2 , 4, 8}
ঘ
{4, 6, 8, 12}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P = {x : x এর গুণিতক 2 এবং x ≤৪} এবং Q = {x : x এর গুণিতক 4 এবং x ≤ 12}. P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
P = {x : x এর গুণিতক 2 এবং x ≤৪}
Q = {x : x এর গুণিতক 4 এবং x ≤ 12}

P = {2, 4, 6, 8}
Q = {4, 8, 12}

P ∩ Q = {2, 4, 6, 8} ∩ {4, 8, 12}
= {4, 8}

১,১৮০.

B = {x : x জোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x < 10} হলে, সেট B-এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?

ক
শূন্য
খ
একটি
গ
চারটি
ঘ
দুইটি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {x : x জোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x < 10} হলে, সেট B-এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
x < 10 এবং x জোড় সংখ্যা হলে,
জোড় সংখ্যার সেট = {2, 4, 6, 8}

আবার,
x < 10 এবং x জোড় মৌলিক সংখ্যা হলে,
জোড় মৌলিক সংখ্যার সেট = {2}

∴ B = {2, 4, 6, 8} ∩ {2} = {2}
∴ সেট B-এর উপাদান সংখ্যা 1 টি।

১,১৮১.

f(x) = x² + (1/x) + 1 এর অনুরূপ কোনটি?

ক
f(1) = 1
খ
f(0) = 1
গ
f( -1) = 3
ঘ
f(1) = 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x² + (1/x) + 1 এর অনুরূপ কোনটি?

সমাধান:
f(x) = x² + (1/x) + 1)
∴ f(1) = 1² + 1/1 + 1= 3

f(0) = (0² + 1/0 + 1) = ∞

f(-1) = {(- 1)² + 1/(-1) + 1 = 1

সুতরাং f(1) = 3 হচ্ছে f(x) = (x² + 1)/(x + 1) এর অনুরুপ।

১,১৮২.

কোন পরীক্ষায় ১৮% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ১২% পরীক্ষার্থী গণিতে এবং ৯% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করলো। শতকরা কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করেছে?

ক
৭৭
খ
৭৫
গ
৮১
ঘ
৭৯

ব্যাখ্যা

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (১৮-৯)% = ৯%
শুধু গণিতে ফেল করে = (১২-৯)% = ৩%
যেকোন এক বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে মোট ফেল করে = (৯+৩+৯)% = ২১%
উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০-২১)% = ৭৯%

১,১৮৩.

একটি শ্রেণির ৪০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৮ জন ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে। ৮ জন ফ্রেঞ্চ ও স্প্যানিশ ভাষা উভয়টিই শিখে। যদি প্রত্যেক শিক্ষার্থীই দুটি ভাষার কোন একটি ভাষা শিখে তাহলে মোট কতজন স্প্যানিশ ভাষা শিখছে?

ক
১৬ জন
খ
২০ জন
গ
১৮ জন
ঘ
২৪ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির ৪০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৮ জন ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে। ৮ জন ফ্রেঞ্চ ও স্প্যানিশ ভাষা উভয়টিই শিখে। যদি প্রত্যেক শিক্ষার্থীই দুটি ভাষার কোন একটি ভাষা শিখে তাহলে মোট কতজন স্প্যানিশ ভাষা শিখছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(S) = ৪০ জন
দুটি ভাষাই শিখে n(F ∩ S) = ৮ জন
∴ শুধু মাত্র ফ্রেঞ্চ ভাষা শিখে n(F) = (২৮ - ৮) জন
= ২০ জন

∴ মোট স্প্যানিশ ভাষা শিখে = (৪০ - ২০) জন
= ২০ জন

১,১৮৪.

5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t) এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
{t ∈ R: t ≤ 5}
খ
{t ∈ R: t ≥ 5}
গ
{t ∈ R: t ≤ 3}
ঘ
{t ∈ R: t ≥ 3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t) এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t)
বা, 15 - 10t ≤ 12 - 9t
বা, 15 - 10t + 9t ≤ 12 - 9t + 9t [উভয়পক্ষে 9t যোগ করে]
বা, 15 - t ≤ 12
বা, 15 - t - 15 ≤ 12 - 15 [উভয়পক্ষ হতে 15 বিয়োগ করে]
বা, - t ≤ - 3
বা, t ≥ 3 [উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে]

∴ 5(3 - 2t) ≤ 3(4 - 3t) এর সমাধান সেট {t ∈ R: t ≥ 3}

১,১৮৫.

P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 4/7; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত?

ক
3/4
খ
4/5
গ
2/5
ঘ
4/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 4/7; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত?

সমাধান:
X ও Y স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y)
= (2/5) × (4/7)
= 8/35

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X)
= (8/35)/(2/5)
= 4/7

১,১৮৬.

১০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৮৮ জন বাংলায়, ৮০ জন গণিতে এবং ৭০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় কর।

ক
৫
খ
২
গ
৭
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৮৮ জন বাংলায়, ৮০ জন গণিতে এবং ৭০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
শুধু বাংলায় পাশ = (৮৮ - ৭০) জন = ১৮ জন
শুধু গণিতে পাশ = (৮০ - ৭০) জন = ১০ জন
উভয় বিষয়ে পাশ = ৭০ জন
যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = (১৮ + ১০ + ৭০) জন = ৯৮ জন
উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (১০০ - ৯৮) জন = ২ জন

১,১৮৭.

A = {x² > 8, x³ < 30} হলে, x এর সঠিক মান কোনটি?

ক
4
খ
3
গ
2
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x² > 8, x³ < 30} হলে, x এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
x এর এমন একটি মান বসাতে হবে যাহাকে বর্গ করলে 8 অপেক্ষে বড় এবং ঘন করলে 30 অপেক্ষা ছোট হবে ।
x = 2 হলে, x² = 2² = 4 এবং x³ = 2³ = 8 ; যা শর্তসিদ্ধ করে না ।
x = 3 হলে, x² = 3² = 9 এবং x³ = 3³ = 27 ; যা শর্তসিদ্ধ করে ।
x = 4 হলে, x² = 4² = 16 এবং x³ = 4³ = 81 ; যা শর্তসিদ্ধ করে না

∴ x = 3

১,১৮৮.

100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 88 জন বাংলায়, 80 জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
2 জন
খ
10 জন
গ
12 জন
ঘ
4 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 88 জন বাংলায়, 80 জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = 70 জন
∴ শুধু বাংলায় পাশ করেছে = 88 - 70 = 18 জন
∴ শুধু গণিতে পাশ করেছে = 80 - 70 = 10 জন

অন্তত একটি বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা =(যেকোন বিষয়ে পাস + উভয় বিষয়ে পাস)
= 18 + 10 + 70
= 98 জন

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (100 - 98) জন
= 2 জন

১,১৮৯.

x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 3 হলে a এর মান কত?

ক
1
খ
6
গ
3
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 3 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ + ax + 36
x + 3, x³ + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক
∴ f(- 3) = 0 হবে।

এখন,
f(-3) = (- 3)³ + a(- 3) + 36
= - 27 - 3a + 36
= 9 - 3a

∴ 9 - 3a = 0
বা, 3a = 9
∴ a = 3

১,১৯০.

f(x) = x²+(1/x)+1 এর অনুরূপ কোনটি?

ক
ক) f(1) = 1
খ
খ) f(0) = 1
গ
গ) f(-1) = 3
ঘ
ঘ) f(1) = 3

ব্যাখ্যা

f(x) = x² + (1/x) + 1
∴ f(1) = 1² + (1/1) + 1 = 3
∴ f(0) = 0² + (1/0) + 1
= 1+ (1/0)
∴ f(0) = 1 গ্রহণযোগ্য নয় [কারণ 1/0 অসংজ্ঞায়িত]
f(-1) = (-1)² + (1/-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
∴ নির্ণেয় অনুরূপ f(1) = 3

১,১৯১.

কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা ৩ হলে, এর উপসেটের সংখ্যা কতটি হবে?

ক
ক) ২টি
খ
খ) ৩টি
গ
গ) ৮টি
ঘ
ঘ) ৯টি

ব্যাখ্যা

কোন সেটের সদস্য সংখ্যা n = ৩ হলে উপসেটের সংখ্যা = ২ⁿ = ২^৩ = ৮।

১,১৯২.

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12} এবং B = {x ∈ N : x জোড় এবং x ≤ 12} হলে, A - B = কত?

ক
{2, 4, 6, 8, 10, 12}
খ
{1, 3, 5, 7, 9}
গ
{4, 6, 8, 10, 12}
ঘ
{3, 5, 7, 9, 11}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12} এবং B = {x ∈ N : x জোড় এবং x ≤ 12} হলে, A - B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}
এখানে x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং x এর মান 2-এর চেয়ে বড় ও 12-এর সমান বা ছোট হতে পারে।
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

B = {x ∈ N : x জোড় এবং x ≤ 12}
অর্থাৎ, 12-এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল জোড় সংখ্যার সেট ।
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

সুতরাং, A - B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} - {2, 4, 6, 8, 10, 12}
= {3, 5, 7, 9, 11}

১,১৯৩.

A = {x ∈ N : 5 < x ≤ 9} এবং B = {x ∈ N x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে, A ∩ B = ?

ক
{6, 7, 8, 9}
খ
{7, 8, 9}
গ
{1, 3, 5, 7, 9, 11}
ঘ
{7, 9}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5 < x ≤ 9} এবং B = {x ∈ N x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে, A ∩ B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 4 < x ≤ 9}
= {6, 7, 8, 9} [5 এর চেয়ে বড় এবং 9 এর সমান বা ছোট পূর্ণসংখ্যা]

এবং
B = {x ∈ N : বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 11}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11} [বিজোড় পূর্ণসংখ্যা এবং 11 এর সমান বা ছোট]

∴ A ∩ B = {6, 7, 8, 9} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {7, 9}

১,১৯৪.

A = {x ∈ N : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 11} হলে, A ∩ B কত?

ক
ক) {2, 3}
খ
খ) {1, 2, 3}
গ
গ) {2, 3, 5, 7}
ঘ
ঘ) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N: x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x ∈ N: x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 11} হলে, A ∩ B কত?

সমাধান:
A = {x: x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {x: x মৌলিক সংখ্যা এবং x <11} = {2, 3, 5, 7}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ∩ {2, 3, 5, 7} = {2, 3}

১,১৯৫.

চিত্রে, n(A) = 38, n(B) = 47, n(C) = 45 হলে, n(A ∪ B ∪ C) = ?

ক
ক) 135
খ
খ) 130
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 105

ব্যাখ্যা

n(A) = 38,
n(B) = 47,
n(C) = 45
n(A ∩ B) = 10,
n(B ∩ C) = 12,
n(A ∩ C) = 13
n(A ∩ B ∩ C) = 5

∴ n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= 38 + 47 + 45 - 10 - 12 - 13 + 5
= 135 - 35
= 100

১,১৯৬.

f(y²⁰¹⁵ + 1) = y⁴⁰³⁰ + y²⁰¹⁵ + 1 হলে, f(1) = ?

ক
2
খ
0
গ
- 1
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(y²⁰¹⁵ + 1) = y⁴⁰³⁰ + y²⁰¹⁵ + 1 হলে, f(1) = ?

সমাধান:
মনে করি,
y²⁰¹⁵+ 1 = p
⇒ y²⁰¹⁵ = p - 1

এখন,
f(p) = (p - 1)² + (p - 1) + 1 [যেহেতু, y²⁰¹⁵ = p - 1, y⁴⁰³⁰ = (p - 1)²]
⇒ f(p) = p² -2.p.1 + 1² + p - 1 + 1
⇒ f(p) = p² - p + 1

∴ f(1) = 1² - 1 + 1
= 1

১,১৯৭.

A = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² ≤ 20} হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
4
খ
8
গ
15
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² ≤ 20} হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² ≤ 20}
তাহলে, A = {-1, -2, -3, -4}

আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ

এখানে,
A এর উপাদান সংখ্যা = 4
P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁴ = 16
∴ P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 16

১,১৯৮.

প্রদত্ত ভেনচিত্রে U = A ∪ B ∪ C এবং n(U) = 50 হলে, x এর মান কত?

ক
6
খ
8
গ
10
ঘ
12

ব্যাখ্যা

১,১৯৯.

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কত জন কথা বলতে পারেন?

ক
20 জন
খ
40 জন
গ
25 জন
ঘ
30 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কত জন কথা বলতে পারেন?

সমাধান:
ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে = 25 জন
আবার,
শুধু ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = (35 - 25) জন
= 10 জন

∴ শুধু বাংলায় কথা বলতে পারেন = {50 - (25 + 10)} জন
= (50 - 35) জন
= 15 জন
∴ শুধু বাংলায় কথা বলতে পারেন = 15 জন

∴ বাংলায় কথা বলতে পারেন = (25 + 15) জন
= 40 জন।

১,২০০.

যদি A = {2, 3, 5} এবং B = {2, 3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A ∩ B কত?

ক
{2, 3, 4, 5, 6}
খ
{4, 6}
গ
A
ঘ
B

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {2, 3, 5} এবং B = {2, 3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A ∩ B কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, 3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}

A ∩ B (ছেদ সেট) বলতে বোঝায় সেই সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেট যারা উভয় সেটেই বিদ্যমান।
উভয় সেটে সাধারণ উপাদানগুলো হলো: 2, 3 এবং 5

∴ A ∩ B = {2, 3, 5}
যেহেতু {2, 3, 5} সেটটি মূলত A সেটের সমান,
∴ A ∩ B = A