সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B হলে, দ্যা মরগ্যানের সূত্রঃ
১) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
২) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

ধরি,
A = {1, 2, 3},
B = {2, 3, 4}
∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4},
A ∩ B = {2, 3}
∴ A ⊂ A ∪ B সত্য।

Question: If A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 8} and B = {x ∈ N: x is an odd number and x < 10}, what is the value of A ∩ B?

Solution:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 8}
এখানে, x এর মান 3 এর সমান বা বড় এবং 8 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6, 7}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10}
x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 10 এর ছোট।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9}

প্রদত্ত রাশি, A ∩ B
= {3, 4, 5, 6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}

অতএব, A ∩ B এর মান হলো {3, 5, 7}।

প্রশ্ন: A = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে A - B = ?

সমাধান:
এখানে,
A = {x: x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
18 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 9, 18 
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
6 এর গুণিতক 6, 12, 18, ......
∴ B = {6, 12, 18}

∴ A - B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} - {6, 12, 18}
= {1, 2, 3, 9}

প্রশ্ন: সমাধান সেট নির্ণয় করুন: h² = √5h

সমাধান:
দেওয়া আছে,
h² = √5h
বা, h² - √5h = 0
বা, h(h - √5) = 0
হয়, h = 0

অথবা h - √5 = 0
∴h = √5

সমাধান সেট:  {0, √5}

প্রশ্ন: যদি A = {3, 4, 5, 6} এবং B = {5, 6, 7, 8} হয়, তাহলে A - (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {3, 4, 5, 6}
B = {5, 6, 7, 8}

∴ A ∩ B = {3, 4, 5, 6} ∩ {5, 6, 7, 8}
= {5, 6}

∴ A - (A ∩ B)
= {3, 4, 5, 6} - {5, 6}
= {3, 4}

সুতরাং,  A - (A ∩ B) = {3, 4}

যেহেতু, X ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা সেহেতু X এর মান হতে পারে -1, -2, -3, ……
(-1)² < 16, (-2)² < 16, (-3)² < 16,
কিন্তু, (-4)² = 16, এবং (-5)² not < 16
So answer will be-1, -2, -3,

3 এর গুণিতকের সেট {3, 6, 9, 12, 15, ----}
অর্থ্যাৎ, একটি অসীম সেট।

• 'MONTOLA' শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণের মধ্যে 2টি O আছে।
• সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 2520

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x, 10 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x ∈ N : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 10} হলে A - B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = {x ∈ N : x, 10 এর গুণনীয়কসমূহ}
10 এর গুণনীয়কসমূহ হলো 1, 2, 5, 10
∴ A = {1, 2, 5, 10}

এবং,
B = {x ∈ N : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 10}
10 পর্যন্ত 2 এর গুণিতকসমূহ হলো 2, 4, 6, 8, 10
∴ B = {2, 4, 6, 8, 10}

এখন,
A - B = {1, 2, 5, 10} - {2, 4, 6, 8, 10}
= {1, 5}
∴ A - B = {1, 5}

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

এখন, A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}

(A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4}
= {1, 2, 5, 6}

প্রশ্ন: যদি Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 80} হয় তবে P(Q) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 80}

4 ও 5 এর লসাগু = 20
80 অপেক্ষা ছোট বা সমান ৪ ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 20, 40, 60, 80 = 4 টি

∴ P(Q) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁴ = 16 টি

যদি A = {1, 2, 3},
B = {2, 3, 4} হয়
তবে
A ∩ B = {2, 3} < A

f(x,y) = x²y²
এখানে, h(x) = x²-5
h(3) =3²-5 = 4
∴f(2,4) = 2² × 4² = 64

প্রশ্ন: A = {x ∈ IN | 2 < x ≤ 5} এবং B = {x ∈ IN | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 5}
= {3, 4, 5}

B = {x ∈ IN : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∩ B = {3, 4, 5} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5}

এখানে n(S) = ৫০, n(M) = ১৮, n(A) = ২৬, n(M∩A) = ২
∴ n(M∪A) = n(M) + n(A) - n(M∩A) = ১৮ + ২৬ - ২ = ৪২
∴ কোন বিষয়েই ভর্তি হয় নি = n(S) - n(M∪A) = ৫০ - ৪২ = ৮ জন

ƒ(x) = x⁴ + 5x - 3 
ƒ(2) = (2)⁴ + (5)(2) - 3
= 16 + 10 - 3
= 23

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে, A ∩ B কত?

সমাধান:
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

∴ A ∩ B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
= {2, 4, 10, 20}

প্রশ্ন: কোন শ্রেনীতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিল। বার্ষিক পরীক্ষায় ৯৪ জন বাংলায় এবং ৮০ জন গণিতে পাশ করেছে। ৭৫ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯৪ - ৭৫) জন।
= ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৮০ - ৭৫) জন।
= ৫ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭৫ + ১৯ + ৫) জন।
= (১০০ - ৯৯) জন।
= ১ জন।

সুতরাং, ১ জন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

দেওয়া আছে, x² - 5x + 6 = 0
বা, x² - 2x - 3x + 6 = 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
বা, (x - 2)(x - 3) = 0
বা, x = 2, 3
সুতরাং A = {2, 3}
আবার, x² - 11x + 24 = 0
বা, x² - 3x - 8x + 24 = 0
বা, x(x - 3) - 8(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x - 8) = 0
বা, x = 3, 8
সুতরাং B = {3, 8}
এখন, A ∪ B = {2, 3} ∪ {3, 8}
= {2, 3, 8}

ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যাটির সেট = {1}
∴ সূচক সেট = {∅, {1}}

প্রশ্ন: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7} এবং B = {3, 4, 5, 6} হলে, (A\B) ∪ (B\A) সেটের উপসেট কতটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 5, 7}
B = {3, 4, 5, 6}

A\B = {1, 3, 5, 7}\{3, 4, 5, 6}
∴ A\B = {1, 7}
B\A) = {3, 4, 5, 6}\{1, 3, 5, 7}
∴ B\A = {4, 6}

এখন,
(A\B) ∪ (B\A) = {1, 7} ∪ {4, 6}
∴ D = {1, 4, 6, 7}

এই সেটের উপাদান সংখ্যা, n(D) = 4
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ
∴ D সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁴
= 16
∴ নির্ণেয় উপসেট সংখ্যা = 16 টি

ধরি, x জন উভয় খেলাই খেলে।
শুধু ক্রিকেট খেলে (২৮ - x) জন
শুধু ফুটবল খেলে (১৬ - x) জন
প্রশ্নমতে,
(২৮- x) + (১৬- x) + x + ৯ = ৪৫
⇒ ৫৩ - x = ৪৫
∴ x = ৮

প্রশ্ন: যদি f(x) = (x³ - 3x² + 1)/{x(1 - x)} হয়, তবে f(2) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = (x³ - 3x² + 1)/x(1 - x)
f(2) = (2³ - 3 . 2² + 1)/2(1 - 2)
= (8 - 12 + 1)/2(- 1)
= - 3/- 2
= 3/2

শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯৪ - ৭৫) জন।
= ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৮০ - ৭৫) জন।
= ৫ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭৫ + ১৯ + ৫) জন।
= (১০০ - ৯৯) জন।
= ১ জন।

প্রশ্ন: f(x) = x² - 8x + 15 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = x² - 8x + 15
আবার,
f(x) = 0

∴ x² - 8x + 15 = 0
⇒ x² - 5x - 3x + 15 = 0
⇒ x(x - 5) - 3(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 3)= 0
∴ x = 5, 3

প্রশ্ন: ƒ(x) = x³ + kx² - 3x, k এর মান কত হলে ƒ(2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ƒ(2) = 0 

ƒ(x) = x³ + kx² - 3x
∴ ƒ(2) = (2)³ + k(2)² - 3 × 2
বা, 8 + 4k - 6 = 0 
বা, 2 + 4k = 0 
বা, 4k = - 2 
বা, k = - (2/4) 
∴ k = - (1/2) 

∴ k এর মান - 1/2, হলে f(2) = 0 হবে

f(x) = x² + 7x - 60,
x - a দ্বারা বিভাজ্য
∴ f(a) = a² + 7a - 60 = 0
বা, a² + 12a - 5a - 60 = 0
বা, a(a + 12) - 5(a + 12) = 0
বা, (a + 12)(a - 5) = 0
∴ a = -12, 5

প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : 3 ≤ x < 10} এবং Q = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হয়, তবে P ∩ Q = কত?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 3 ≤ x < 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Q = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11}
= {2, 3, 5, 7, 11}

এখন, P ∩ Q (ছেদ সেট) = উভয় সেটে বিদ্যমান উপাদানসমূহ।
⇒ P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {2, 3, 5, 7, 11}
= {3, 5, 7}

প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 8}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6} এবং C = A - B হলে, C = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 8}
= {2, 3, 5, 7}

B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6}
= {2, 4, 6}

∴ C = A - B
= {2, 3, 5, 7} - {2, 4, 6}
= {3, 5, 7}

সেট A = {x: x Fibonacci সংখ্যা এবং x²<64}
A = {0,1,2,3,5}
∴P(A) = 2⁵ = 32