সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x ≤ 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x ≤ 30}
তাহলে, A = {11, 13, 17, 19, 23, 29}

এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 6

আমরা জানি, কোনো সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

উল্লেখ্য,
• কোনো সেটের উপসেট (Subset) সংখ্যা হয় 2n যেখানে n হলো সেটের সদস্য সংখ্যা।
প্রকৃত (proper) উপসেট বলতে সেই উপসেট বোঝায়, যেটি মূল সেটটি নিজে নয়। অর্থাৎ, মোট উপসেট থেকে ১ (অর্থাৎ সম্পূর্ণ সেট) বাদ দিতে হবে।

উপসেটের সংখ্যা = 2⁷
= 128 হবে

প্রশ্ন: H = {p, q, r, s} হলে H এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
H = {p, q, r, s} সেটের উপাদান সংখ্যা 4 টি।

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ H সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

প্রশ্ন: যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 20 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 7 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B নিচের কোনটি?

সমাধান:
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

∴ A ∩ B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
= {1, 2, 4, 5}

প্রশ্ন: A = {x : x, স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x < 5} এবং B = ∅ হলে A ∩ B এর মান কত? 

সমাধান: 
A = {x : x, স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x < 5} 
A = {1, 2, 3, 4}
B = ∅ 

A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ ∅ 
= ∅

প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 18} এবং Q = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 15} হয়, তবে P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
P = {x ∈ N : x হল মৌলিক সংখ্যা এবং x < 18}
∴ P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

Q = {x ∈ N : x হল বিজোড় এবং x ≤ 15}
∴ Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

∴ P ∩ Q = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
= {3, 5, 7, 11, 13}

প্রশ্ন: P(X) = 1/2, P(Y) = 2/3 হলে, যদি X ও Y স্বাধীন হয়, তবে P(X ∪ Y) এর মান কত?

সমাধান:
যদি X ও Y স্বাধীন হয়, তবে

P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y) - P(X ∩ Y)
= P(X) + P(Y) - P(X)·P(Y)
= (1/2) + (2/3) - {(1/2) × (2/3)}
= (1/2) + (2/3) - (1/3)
= (3 + 4 - 2)/6
= 5/6

প্রশ্ন: যদি U = {a, b, c, d, e, f} এবং A = {a, c, e} হয়, তবে  (A′)′ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 যদি U = {a, b, c, d, e, f} এবং A = {a, c, e}

∴ A′ = U - A
= {a, b, c, d, e, f} - {a, c, e}
= {b, d, f}

এখন, 
(A′)′ = U - A′
= {a, b, c, d, e, f} - {b, d, f}
= {a, c, e}
= A

বি: দ্র:
(A′)′ = A, অর্থাৎ কোনো সেটের ডাবল পরিপূরক সেই সেট নিজেই হয়।

মোট লোকের সংখ্যা = ৪৫০,
ইংরেজিতে কথা বলে = ২৫০
ফরাসিতে কথা বলে = ২৬০
∴ ইংরেজি অথবা ফরাসিতে কথা বলে = ২৫০ + ২৬০
= ৫১০
∴ উভয় ভাষায় কথা বলে = ৫১০ - ৪৫০
= ৬০ জন

প্রশ্ন: সেট C = {5, 10, 15, 20}, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
C = 5, 10, 15, 20
প্যাটার্ন: প্রতিপদে 5 করে বৃদ্ধি পেয়েছে। 

সাধারণ সূত্র:
x = 5n

n এর মান 1 থেকে 4 পর্যন্ত হলে:
n = 1 হলে, x = 5
n = 2 হলে, x = 10
n = 3 হলে, x = 15
n = 4 হলে, x = 20

তাহলে, C = {x : x = 5n, 1 ≤ n ≤ 4} কে সমর্থন করে। 

∴সেট গঠন: C = {x : x = 5n, 1 ≤ n ≤ 4}  

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 40 জন ছাত্র আছে। 22 জন গণিত পছন্দ করে, 18 জন বিজ্ঞান পছন্দ করে এবং 8 জন দুইটা বিষয় পছন্দ করে। কতজন কোনোটিই পছন্দ করে না?

সমাধান: 
গণিত পছন্দ করে (M) = 22 জন
বিজ্ঞান পছন্দ করে (S) = 18 জন
উভয়ই পছন্দ করে (M ∩ S) =  8 জন

অন্তত একটি বিষয় পছন্দ করে, n(M ∪ S) = n(M) + n(S) - n(M ∩ S)
= 22 + 18 - 8
= 32 

∴ কোনোটিই পছন্দ করে না = মোট ছাত্র সংখ্যা - (অন্তত একটি বিষয় পছন্দ করে এমন ছাত্র সংখ্যা)
= 40 - 32
= 8

সুতরাং, 8 জন কোনোটিই পছন্দ করে না।

প্রশ্ন:
উপরের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে আমরা পাই,
U = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c, d}
B = {c, d, e, f}

এখন, A ∩ B = {a, b, c, d} ∩ {c, d, e, f}
= {c, d}

∴ (A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)= {a, b, c, d, e, f} - {c, d}
= {a, b, e, f}

মূলদ সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট। 
এই সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারন করা যায়না, তাই অসীম সেট।

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 5/6 = 1/2 + P(B) – 1/3
বা, P(B) = 5/6 + 1/3 – 1/2
= 4/6 = 2/3

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (৫২ - ১৭)% = ৩৫%
শুধু গণিতে ফেল করে = (৪২ - ১৭)% = ২৫%
তাহলে উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০% - (৩৫ + ২৫ + ১৭)% = ২৩%

প্রশ্ন: S = {x: x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 73 সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
সেটটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: x জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ ২, ৪, ৬, ৮ …
সীমা: 1 ≤ x ≤ 73
তাই তালিকার প্রথম কয়েকটি উপাদান হবে: 2, 4, 6, 8, …

∴ সঠিক তালিকার প্রথম তিনটি উপাদান হলো {2, 4, 6}

প্রশ্ন: P = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 25} হলে, সেটের উপাদানগুলো হবে?

সমাধান:
x এর মান ঋণাত্মক হতে হবে এবং বর্গ করলে যেন উহা 25 এর ছোট হয়। এরূপ সংখ্যা-

(- 1)2 = 1 < 25; যা 25 এর চেয়ে ছোট
(- 2)2 = 4 < 25; যা 25 এর চেয়ে ছোট
(- 3)2 = 9 < 25; যা 25 এর চেয়ে ছোট
(- 4)2 = 16 < 25; যা 25 এর চেয়ে ছোট
(- 5)2 = 25 < 25; যা 25 এর সমান  যা গ্রহণযোগ্য নয় 

∴ P = {- 1, - 2, - 3, - 4}

শুধু বাংলায় পাশ করেছে = 55 - 10
= 45

প্রশ্ন: A= {x ∈ IN | 5 < x ≤ 10} এবং B={x ∈ IN | x জোড় এবং x < 12} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
⇒ A = {x ∈ IN | 5 < x ≤ 10} = {6, 7, 8, 9, 10}
⇒ B = {x ∈ IN | x জোড় এবং x < 12} = {2, 4, 6, 8, 10}

∴ A ∩ B = {6, 7, 8, 9, 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} = {6, 8, 10}

সুতরাং, A ∩ B = {6, 8, 10}

A = {1, 2, 3, 4}; B = {(2,3}; C = {5}
অতএব, A ∩ B ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3} ∩ {5} = Ø

প্রশ্ন: ৬০ জন লোকের মধ্যে ৪০ জন ইংরেজী, ৩০ জন ইংরেজী ও বাংলা উভয় ভাষায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কতজন কথা বলতে পারেন?

সমাধান:
এখানে,
লোক সংখ্যা n(U) = ৬০
ইংরেজী ভাষায় কথা বলে n(E) = ৪০ জন
ইংরেজী ও বাংলা উভয় ভাষায় কথা বলে n(E ∩ B) = ৩০ জন
কমপক্ষে একটি ভাষায় কথা বলে n(E ∪ B) = ৬০ জন

আমরা জানি,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
⇒ ৬০ = ৪০ + n(B) - ৩০
⇒ ৬০ = ১০ + n(B)
∴ n(B) = ৫০

অর্থাৎ, বাংলায় কথা বলে ৫০ জন।

প্রশ্ন: A = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x: x, 6 এর গুণিতক এবং x≤30}
∴ A = {6, 12, 18, 24, 30}

এখানে,
A এর উপাদান সংখ্যা = 5

∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁵- 1
= 32 - 1
= 31

Question: If the universal set consists of two sets A and B, then the complementary set of A is-

Solution:
U সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট।
A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে।
A এর পূরক সেটকে A^c বা A' দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
গাণিতিকভাবে A^c = U - A

দেওয়া আছে
U সার্বিক সেট A ও B এর উপাদান নিয়ে গঠিত।
ধরি
A = {2, 4, 6, 7} এবং B = {1, 3, 5} 
U = A ∪ B
   = {2, 4, 6, 7} ∪ {1, 3, 5} 
   = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A এর পূরক সেটকে A^c বা A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6, 7}
= {1, 3, 5} 
= B

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x² - 8x + 12 = 0} হলে A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
A = {x ∈ N : x² - 8x + 12}

এখানে 
x² - 8x + 12 = 0
x² - 2x - 6x + 12 = 0
x(x - 2) - 6(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 6) = 0

হয় 
x - 2 = 0 
x = 2

অথবা 
x - 6 = 0
x = 6 

A = {2, 6}

A-এর উপাদান সংখ্যা = 2
∴ প্রকৃত উপসেট = 2² - 1 = 4 - 1 = 3

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (১৮ - ৯)% = ৯℅
শুধু গণিতে ফেল করে= (১২ - ৯)% = ৩%
যেকোন এক বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে মোট ফেল করে = (৯ + ৩ + ৯)%
= ২১℅
সুতরাং উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ২১)%
= ৭৯%

প্রশ্ন: সেট x = {1, 3, 5, 7, 9, 11} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
x = {x : x হলো বিজোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 11} 
- এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
- 1 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 11 এর চেয়ে বড়ো নয়
- প্রতিটি সংখ্যা বিজোড়। 

সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
x = {x : x হলো বিজোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 11}

কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে সেই সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
A সেটের উপাদান সংখ্যা 0 এজন্য শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা =2⁰ = 1

প্রশ্নমতে,
A = {2, 3, 4, 5, 6},
B = {2, 4, 6, 8....}
∴ A - B = {2, 3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6, 8....}
= {3, 5}

প্রশ্ন: সেট A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 81} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
Fibonacci সংখ্যা: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... পরপর দুটি সংখ্যার যােগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 81} = {0, 1, 2, 3, 5, 8}    [∵ সেটে একই উপাদান দুইবার নেয়া যায় না]
A সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ

এখানে, n = 6
∴ P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁶ = 64টি।

• 30 থেকে 40 পর্যন্ত মোট 11টি সংখ্যা আছে।
• এদের মধ্যে 3 এর গুণিতক সংখ্যা = 30, 33, 36 ও 39 এবং 5 এর গুণিতক 30, 35 ও 40।
• সুতরাং 3 অথবা 5 এর গুণিতক হবে এমন সংখ্যা 6টি (30, 33, 35, 36, 39, 40)।
• সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = 6/11।

সঠিক সূত্র গুলো হলো: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)