পাটিগণিত

৩টি জিনিসের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি জিনিসের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: পুত্রের বয়সের তুলনায় পিতার বয়স দ্বিগুণ। দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৯০ বছর। পিতার বয়স নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
মনে করি, 
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর 
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (৯০ - x) বছর 

প্রশ্নমতে, 
x = ২(৯০ - x)
বা, x = ১৮০ - ২x
বা, x + ২x = ১৮০
বা, ৩x = ১৮০
বা, x = ১৮০/৩
∴ x = ৬০

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬০ বছর।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৬ এবং ল.সা.গু. ১০৮। একটি সংখ্যা ৫৪ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৫৪ × ক = ৬ × ১০৮
⇒ ৫৪ × ক = ৬৪৮
⇒ ক = ৬৪৮/৫৪
∴ ক = ১২

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ১২।

প্রশ্ন: ২০ টাকায় ৪টি করে কলা ক্রয় করে ৬০০ টাকায় কতটি কলা বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
৪টি কলার বিক্রয়মূল্য = ২০ × (১২৫/১০০) টাকা = ২৫ টাকা

এখন,
২৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪ টি কলা
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪/২৫ টি কলা
∴ ৬০০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৪ × ৬০০)/২৫ = ৯৬ টি কলা

∴ ৬০০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ৯৬ টি কলা বিক্রি করতে হবে।

প্রশ্ন: a এর ১০% যদি b এর ২৫% এর সমান হয় এবং b = ১৬ হলে, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
a এর ১০% = b এর ২৫%
বা, (১০a)/১০০ = (২৫b)/১০০
বা, ১০a = ২৫b
বা, ১০a = ২৫ × ১৬ [b = ১৬]
বা, a = (২৫ × ১৬)/১০
∴ a = ৪০ 

প্রশ্ন: একটি আলমারি ও একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত ৫ : ৪ । যদি টেলিভিশনের থেকে আলমারির দাম ৮০০০ টাকা বেশি হয় তাহলে টেলিভিশনের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
আলমারির দাম = ৫ক টাকা 
টেলিভিশনের দাম = ৪ক টাকা 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ৪ক = ৮০০০
বা, ক = ৮০০০

∴ টেলিভিশনের দাম = (৪ × ৮০০০) টাকা = ৩২০০০ টাকা 

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক (Common Factor) না থাকলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। অর্থাৎ এদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) হবে ১।

এখানে, 
ক) ১২ = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ এবং ১৮ = ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮।
এদের সাধারণ গুণনীয়ক ২, ৩, ৬; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

খ) ১৬ = ১, ২, ৪, ৮, ১৬ এবং ৩৫ = ১, ৫, ৭, ৩৫।
এখানে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অর্থাৎ এদের গ.সা.গু ১। সুতরাং ১৬ এবং ৩৫ পরস্পর সহমৌলিক।

গ) ২১ = ১, ৩, ৭, ২১ এবং ২৮ = ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮।
এখানে ৭ একটি সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

ঘ) ২৭ = ১, ৩, ৯, ২৭ এবং ৪৫ = ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫।
এখানে ৩ এবং ৯ সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

∴ সঠিক উত্তর হলো খ) ১৬, ৩৫

ধরি, দৈর্ঘ্য ১০০ ও প্রস্থ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১১০
ও প্রস্থ ১০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ৯০
নতুন ক্ষেত্রফল = ৯৯০০
ক্ষেত্রফল হ্রাস = ১০০০০ – ৯৯০০ = ১০০
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (১০০ x ১০০)/১০০০০ = ১

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ১০-১০+ [১০ X (-১০)]/১০০
= -১

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত হলে কোন মূলধন ৬ বছরে সুদে-আসলে দ্বিগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = ক টাকা
সুদাসল = ২ক
সুদের হার = R

সুদ = সুদে-আসল - আসল
= ২ক - ক = ক

আমরা জানি,
SI = PRT/১০০
⇒ ক = (ক × R × ৬)/১০০
⇒ ১ = (৬R)/১০০
⇒ R = ১০০/৬
∴ R = ১৬.৬৭

∴ সুদের হার = ১৬.৬৭%

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ২০% কমে গেল, কিন্তু এর ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পেল। এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়লো বা কমলো?

সমাধান: 
২০% কমে যাওয়ায় চিনির বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
চিনির ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে চিনি ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

∴ ১০০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার চিনি
∴ ১ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার চিনি 
∴ ৮০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০ × ৮০)/১০০ = ৯৬ টাকা চিনি

চিনি বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
• বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ ০, ১, ২, - ১, - ২, - √২, √৫ ইত্যাদি।

অপশন ক, গ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (খ) এর ৩ + √-৫ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ √-৫ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৭৫% ছাত্র গণিতে কৃতকার্য হয়েছে। গণিতে অকৃতকার্যের সংখ্যা মোট ৮০ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
গণিতে কৃতকার্য হয়েছে = ৭৫%
∴ গণিতে অকৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৭৫)% = ২৫%

২৫ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জন
∴ ১ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০/২৫ জন
∴ ৮০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৮০)/২৫ জন
= ৮০০০/২৫ জন = ৩২০ জন

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৩২০ জন।

প্রশ্ন: দুইজন ছাত্রের গণিতে প্রাপ্ত নম্বর এর অনুপাত ৩ : ১। প্রথম ছাত্র ৫ নম্বর কম ও দ্বিতীয় ছাত্র ১০ নম্বর বেশি পেলে তাদের অনুপাত হবে ২ : ১। তাদের প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্য কত?

সমাধান:
ধরি,
তাদের নম্বর যথাক্রমে ৩ক ও ক

প্রশ্নমতে,
৩ক - ৫ : ক + ১০ = ২ : ১
বা, ৩ক - ৫ = ২ক + ২০
বা, ৩ক - ২ক = ২০ + ৫
∴ ক = ২৫

প্রথম ছাত্রের নম্বর = (২৫ × ৩) = ৭৫
দ্বিতীয় ছাত্রের নম্বর = ২৫
নম্বরের পার্থক্য = ৭৫ - ২৫ = ৫০

ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
বা, ২ক + ৪ = ক + ৭
বা, ক = ৩
∴ সংখ্যাটি ৩

প্রশ্ন: √(- 18) × √(- 2) = কত?

সমাধান:
√- 18 × √- 2
= √{18(i²)} × √{2(i²)} [i² = - 1]
= 3√(2)i × √(2)i
= 3 × 2 × i²
= 6 × (- 1)
= - 6

30 % of 10 = 10% of x
Or, (30 × 10)/100 = x/10
Or, 3 = x/10
Or, x = 30

প্রশ্ন: কোনো আসল 2 বছরের মুনাফা- আসলে 7000 টাকা হয়। মুনাফা আসলের 2/5 অংশ হলে মুনাফা হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = 5x
∴ মুনাফা = (2/5) × 5x  টাকা
= 2x টাকা

প্রশ্নমতে,
5x + 2x = 7000
⇒ 7x = 7000
⇒ x = 1000

∴ আসল = (5 × 1000) = 5000 টাকা

এবং মুনাফা = (2 × 1000) = 2000 টাকা

∴ 5000 টাকায় 2 বছরের মুনাফা = 2000 টাকা
∴ 1 টাকায় 1 বছরের মুনাফা = 2000/(5000 × 2) টাকা
∴ 100 টাকায় 1 বছরের মুনাফা  = (2000 × 100)/(5000 × 2) = 20 টাকা

∴ সুদের হার = 20%

বড় সংখ্যাটি = (৪৭ + ১) / ২ = ২৪

প্রশ্ন: ৪০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার বেগে ২৫ সেকেন্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 400 মিটার
বেগ = 72 কিমি/ঘণ্টা
= 72 × (1000/3600)  মিটার/সেকেন্ড
= 20 মিটার/সেকেন্ড 

ট্রেন সেতু অতিক্রম করার সময় যে দূরত্ব অতিক্রম করে = বেগ × সময় = 20 × 25 = 500 মিটার

∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= 500 − 400
= 100 মিটার

ধরি,
সংখ্যা তিনটি ৩a, ৫a, ৬a
∴ (৫a)^২ - (৩a)^২ = ৪০০
বা, ২৫a^২ - ৯a^২ = ৪০০
বা, ১৬a^২ = ৪০০
বা, a^২ = ২৫
∴ a = ৫
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬a
= ৬×৫
= ৩০

প্রশ্ন: ৩০০টি ডিম কেনা হয়েছিল। পরীক্ষায় দেখা গেল ১৫টি ডিম খারাপ। শতকরা কতগুলো ডিম ভালো আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ডিম কেনা হয়েছে = ৩০০টি
খারাপ ডিম = ১৫টি

∴ ভালো ডিম = মোট ডিম - খারাপ ডিম
= (৩০০ - ১৫) টি 
= ২৮৫টি

∴ শতকরা ভালো ডিম = (ভালো ডিম/মোট ডিম) × ১০০%
= (২৮৫/৩০০) × ১০০%
= ৯৫% 

সুতরাং, শতকরা ৯৫% ডিম ভালো আছে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৯৬ এবং গ.সা.গু ৮। যদি একটি সংখ্যা অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হয়, তবে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ক
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক (যেহেতু একটি অপরটির তিন-চতুর্থাংশ)

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪ক × ৩ক = ৯৬ × ৮
⇒ ১২ক^২ = ৭৬৮
⇒ ক^২ = ৭৬৮/১২
⇒ ক^২ = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
∴ ক = ৮

বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ৮ = ৩২
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ × ৮ = ২৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩২

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৭ + ১০ = ২০
১ম টুকরার সাইজ = ৬০ এর ৩/২০ = ৯ মিটার
২য় টুকরার সাইজ = ৬০ এর ৭/২০ = ২১ মিটার
৩য় টুকরার সাইজ = ৬০ এর ১০/২০ = ৩০ মিটার

টিপুর বয়স=ক বছর 
টিপুর বোনের বয়স= খ বছর 
টিপুর বাবার বয়স =গ বছর 

সমানুপাতীর সূত্রানুসারে 
ক : খ = খ : গ 
ক/খ = খ /গ 
খ^২ = ক × গ 
খ = √(১২ X ৪৮) 

টিপুর বোনের বয়স = ২৪ বছর