পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি স্কুলের একটি শ্রেণিকক্ষে ছেলে ও মেয়ের অনুপাত ২ : ৪। যদি শ্রেণিকক্ষে ২ জন শিক্ষক এবং ১৮ জন পর্যবেক্ষকসহ মোট ১৪৩ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে মেয়ের সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছেলে-মেয়ের অনুপাতের যোগফল = ২ + ৪ = ৬

শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ১৪৩ - (২ + ১৮) = ১২৩ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে মেয়ের সংখ্যা
= ১২৩ × (৪/৬)
=  ১২৩ × (২/৩)
= ৪১ × ২ 
= ৮২ জন

∴ শ্রেণিকক্ষে মেয়ের সংখ্যা ৮২ জন।

এক অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 1
এবং এক অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = 9
∴ বিয়োগফল = 1 - 9
= -8

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের ল.সা.গু ৫৬০। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৭ক ও ৮ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৫৬ক 

শর্তমতে, 
৫৬ক = ৫৬০ 
বা, ক = ৫৬০/৫৬ 
∴ ক = ১০
সুতরাং ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ এবং ৮ক = ৮ × ১০ = ৮০ 

∴ সংখ্যা দুটি = ৭০ ও ৮০ ।

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলকে ৮, ১০ ও ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদেরকে বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান: 
সমাধান:
সৈন্যদলের সৈন্যদের ৮, ১০ ও ১২ সারিতে সাজানো যায়।
ফলে তাদের সংখ্যা ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য।
এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৮, ১০ ও ১২ এর লসাগু।

৮, ১০ ও ১২ এর লসাগু = (২ × ২) × ২ × ৩ × ৫  যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়। 

 (২ × ২) × ২ × ৩ × ৫ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে (২ × ৩ × ৫) বা ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

৮, ১০ ও ১২ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য সৈন্যদলের সৈন্যদের সংখ্যা হবে
= (২ × ২) × (২ × ২) × (৩ × ৩) × ৫ × ৫ জন
= ৩৬০০ জন

৬৪৩৫ ÷ ৩ = ২১৪৫
৬৪৩৫ ÷ ৫ = ১২৮৭
৬৪৩৫ ÷ ৯ = ৭১৫
৬৪৩৫ সংখ্যাটি ৩, ৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্য

প্রশ্ন: একটি ল্যাপটপের বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ১/৪ অংশের সমান হলে, শতকরা কত ক্ষতি হলো?

সমাধান:
ধরি, ক্রয়মূল্য = 100 টাকা
প্রশ্ন অনুযায়ী,
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্যের ১/৪ অংশ।
অর্থাৎ বিক্রয়মূল্য = ১/৪ × ১০০ = ২৫ টাকা।
এখন,
ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= ১০০ - ২৫
= ৭৫ টাকা
ক্ষতির শতকরা হার = ৭৫/১০০ × ১০০ = ৭৫%

(a – b)/ab + (b - c)/bc + (c – a)/ca
= (ca – bc + ab – ca + bc – ab)/abc
= 0/abc
= 0

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য প্রথমে সেটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
যদি n = p₁^a . p₂^b . ... . p_k^m হয়, তবে ভাজক সংখ্যা = (a + 1)(b+1).....(m + 1)।
অর্থাৎ, প্রত্যেক উৎপাদকের সূচকের মানের সাথে 1 যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

অপশন (ক): 88 = 2³ × 11¹
ভাজকের সংখ্যা = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8 টি

অপশন (খ): 91 = 7¹ × 13¹
ভাজকের সংখ্যা = (1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 = 4 টি

অপশন (গ): 95 = 5¹ × 19¹
ভাজকের সংখ্যা = (1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 = 4 টি

অপশন (ঘ): 96 = 2⁵ × 3¹
ভাজকের সংখ্যা = (5 + 1)(1 + 1) = 6 × 2 = 12 টি

সুতরাং, যেহেতু 96 এর ভাজকের সংখ্যা (12টি) সবচেয়ে বেশি, তাই সঠিক উত্তর হলো 96।

সঠিক উত্তর: ঘ) 96

প্রশ্ন: একটি পেন্সিল এবং একটি কলমের ক্রয়মূল্যের অনুপাত ৩ : ৭। তাদের বিক্রয় মূল্যের অনুপাত ১ : ৪। যদি পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান হয়, তবে কলমের ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যে অনুপাত কত?
 
সমাধান:
ধরি,
পেন্সিলের ক্রয়মূল্য = ৩ক
এবং কলমের ক্রয়মূল্য = ৭ক।

আবার,
পেন্সিলের বিক্রয়মূল্য = খ
এবং কলমের বিক্রয়মূল্য = ৪খ

যেহেতু, পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান।
∴ ৩ক - খ = ৭ক - ৪খ
⇒ ৪ক = ৩খ
⇒ ক/খ = ৩/৪
∴ ক = ৩খ/৪

∴ কলমের ক্রয়মূল্য ও বিক্র্যমূল্যের অনুপাত = ৭ক : ৪খ
= ৭ × (৩/৪)খ : ৪খ
= (২১/৪)খ : ৪খ
= ২১/৪ : ৪
= ২১ : ১৬

অতএব, কলমের ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত ২১ : ১৬

১২, ১৮, ২৪ এর লসাগু = ৭২
সুতরাং, নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যা = ৭২ - ২ = ৭০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির মান সবচেয়ে কম?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
০.১০ , ০.১১ , ০.৩২৫ , ০.০৯১

∴ দশমিক সংখ্যাগুলোর মান তুলনা করি।
০.১০ = ০.১০০
০.১১ = ০.১১০
০.৩২৫ = ০.৩২৫
০.০৯১ = ০.০৯১

দেখা যাচ্ছে,
০.০৯১ < ০.১০ < ০.১১ < ০.৩২৫

অতএব, সবচেয়ে কম মানের সংখ্যা হলো ০.০৯১

সঠিক উত্তর:
ঘ) ০.০৯১

কেরােসিনের পরিমাণ = ৬০ × ৭/১০ = ৪২ লিটার
পেট্রোলের পরিমাণ = ৬০ × ৩/১০ = ১৮ লিটার
ধরি 'x' লিটার পেট্রোল মিশাতে হবে
∴ ৪২: (১৮ + x) = ৩ : ৭
বা, ৪২/ (১৮+ x) = ৩/৭
বা, ৫৪ + ৩x = ২৯৪
সুতরাং, x = ৮০ লিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ এবং ৩ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৪ - ১  = ৩ 
৫ - ২ = ৩  
৬ - ৩ = ৩ 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
 ৪, ৫, ৬ - এর ল.সা.গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০ - ৩) = ৫৭

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪১ ও ৬৭ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
২৭ - ৩ = ২৪
৪১ - ৫ = ৩৬
৬৭ - ৭ = ৬০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু 
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গসাগু = ২ × ২ × ৩
= ১২

১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ = ৪টি।
১০ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৪টি।
২০ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯ = ২টি।
৩০ - ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭ = ২টি।
৪০ - ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪১, ৪৩, ৪৭ = ৩টি।
৫০ - ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯ = ২টি।
৬০ - ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৬১, ৬৭ = ২টি।
৭০ - ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৭১, ৭৩, ৭৯ = ৩টি।
৮০ - ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮৩, ৮৯ = ২টি।
৯০ - ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ = ১টি।

∴ ১ - ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ২৫টি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৭, ১১ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৭ ও ১১ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
১১ - ৭ = ৪
১৫ - ১১ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭, ১১ ও ১৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৭ = ১ × ৭
১১ = ১ × ১১
১৫ = ৩ × ৫

এখন, ৭, ১১ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ১ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ১১৫৫

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১১৫৫ - ৪
= ১১৫১

প্রশ্ন: কোনো স্কুলে ৫৫% শিক্ষার্থী গণিতে এবং ৭৫% শিক্ষার্থী বাংলায় পাস করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২০০ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ স্কুলে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে? 

সমাধান: 
গণিতে ফেল করেছে (১০০ - ৫৫)% = ৪৫%
বাংলায় ফেল করেছে (১০০ - ৭৫)% = ২৫%

শুধু গণিতে ফেল করেছে = (৪৫ - ১০)% = ৩৫%
শুধু বাংলায় ফেল করেছে = (২৫ - ১০)% = ১৫%

∴ উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ১০০% - (৩৫ + ১৫ + ১০)%
= ৪০%

∴ মোট শিক্ষার্থী = (১০০ × ২০০)/৪০
= ৫০০ জন 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: 
যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৩/২, ৩/৪, ১.৩৩৩৩... ইত্যাদি

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৩, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ১/২ → এটি দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √১৬৯ → √১৬৯ = ১৩, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৬/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √৩ = ১.৭৩২০৫০.........এটাকে ভগ্নাংশ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।

∴ √৩ অমূলদ সংখ্যা।

• ৪৫ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৩টি।
• ৪৭, ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।
এদের গড় = (৪৭ + ৫৩ + ৫৯)/৩ = ৫৩

প্রশ্ন: ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে? 

সমাধান: 
নিয়ম-১ঃ
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২৩ × ৩২
৭২ সংখ্যাটির ভাজক = (৩ + ১) × (২ + ১) = ১২টি

নিয়ম-২ঃ
৭২ = ১ × ৭২
      = ২ × ৩৬
      = ৩ × ২৪
      = ৪ × ১৮
      = ৬ × ১২
      = ৮ × ৯
  
৭২ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪,৩৬, ৭২
=১২ টি।

প্রশ্ন: কোনো একটি জিনিস নির্মাতা ১০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ১০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ জিনিসের নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান: 
১০% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা 
= ১১০ টাকা

আবার,
১০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (১১০ + ১১০ এর ১০%)
= [১১০ + {১১০ এর (১০/১০০)}] টাকা
= (১১০ + ১১) টাকা
= ১২১ টাকা

২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল. সা. গু = ১৪৪
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১৪৪ - ৩ = ১৪১

প্রশ্ন: চালের দাম ২৫% বৃদ্ধি পেলে, চালের ব্যবহার শতকরা কত কমালে চাল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?

সমাধান:
মনে করি,
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১২৫ টাকা

১২৫ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ২৫ টাকা
১ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ২৫/১২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = (২৫ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ২০ টাকা

∴ চাউলের ব্যবহার ২০% কমালে চাল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না।

ঐ মহল্লায় পুরুষ সংখ্যার = (১০০ - ৪৫)
= ৫৫%
∴ পুরুষ সংখ্যা ৫৫ জন হলে মোট জনসংখ্যা = ১০০ জন
∴ পুরুষ সংখ্যা ২২০০ জন হলে মোট জনসংখ্যা = (১০০ × ২২০০)/৫৫
= ৪,০০০ জন

মনে করি,
দুরত্ব ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ১০

সমাধান করে পাই,
ক = ২২৪কিমি

১৬৮৯৯ + ১ = ১৬৯০০ এর বর্গমূল ১৩০।
∴ ১৬৮৯৯ সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে ১ কম।

প্রশ্ন: একজন ছাত্র ৮ টি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করে ৬০% নম্বর পেল। ৯০% নম্বর পেতে হলে তাকে কতটি প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে?

সমাধান: 
সঠিক উত্তর দিয়ে ৬০% নম্বর পায় = ৮ টি প্রশ্নের 
∴ সঠিক উত্তর দিয়ে ১% নম্বর পায় = ৮/৬০ টি প্রশ্নের 
∴ সঠিক উত্তর দিয়ে ৯০% নম্বর পায় = (৮ × ৯০)/ ৬০ টি প্রশ্নের 
= ১২ টি প্রশ্নের 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ১২ টি।

মৌলিক সংখ্যা বের করার সহজ নিয়মঃ
1) সংজ্ঞাঃ যে সকল সংখ্যাকে কেবল ঐ সংখ্যা এবং 1 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না তাদেরকে মৌলক সংখ্যা বলে।
2) সূত্রঃ 6n ± 1 = মৌলিক সংখ্যা (ব্যতিক্রম- 01 এবং 02 দেখুন)।
6X1 ± 1 = 5, 7
6X2 ± 1 = 11, 13
6X3 ± 1 = 17, 19
6X4 ± 1 = 23
6X5 ± 1 = 29, 31
6X6 ± 1 = 37
6X7 ± 1 = 41, 43
6X8 ± 1 = 47
6X9 ± 1 = 53
6X10 ± 1 = 59, 61
6X11 ± 1 = 67
6X12 ± 1 = 71, 73
6X13 ± 1 = 79
6X14 ± 1 = 83
6X15 ± 1 = 89
6X16 ± 1 = 97
ব্যতিক্রম-01: সূত্রের সাথে কোন ধরণের সামঞ্জস্যা না থাকলেও 2 এবং 3 মৌলিক সংখ্যা। এই দুইটি মৌলিক সংখ্যা সহ 1-100 পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা 25 টি।
ব্যতিক্রম-02: 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91 এবং 95 প্রভৃতি সূত্রটির আওতাভুক্ত হলেও এরা মৌলিক সংখ্যা নয় অর্থাৎ এরা যৌগিক সংখ্যা।

১৫ জন লোকের ১/২ অংশ করতে সময় লাগে ২০ দিন
১৫ জন লোকের ১ অংশ করতে সময় লাগে ২০×২ দিন
= ৪০ দিন।
এখন, ১৫ জন লোকে কাজটি করে ৪০ দিনে
সুতরাং, ১ জন লোকে কাজটি করে ৪০×১৫ দিনে
সুতরাং, ২০ জন লোকে কাজটি করে ৪০×১৫/২০ দিনে
= ৩০ দিনে।