পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সরল মুনাফাসহ ৬৮০০ টাকা এবং ৫ বছরে সরল মুনাফাসহ ৮০০০ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল + ৫ বছরের সুদ = ৮০০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৮০০ টাকা
∴ ২ বছরের সুদ = (৮০০০ - ৬৮০০) টাকা
= ১২০০ টাকা

∴ ৩ বছরের সুদ = (১২০০ × ৩)/২ টাকা
= ১৮০০ টাকা

∴ আসল = (৬৮০০ - ১৮০০) টাকা
= ৫০০০ টাকা

৫০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = ১৮০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৮০০/(৫০০০ × ৩) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১৮০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৩)
= ১২%

প্রশ্ন: x ও y মানের গড় 9 এবং z = 12 হলে, x, y এবং Z এর মানের গড় কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x ও y এর গড় = 9
অতএব,
⇒ (x + y)/2 = 9
⇒ x + y = 18

তাহলে তিনটি সংখ্যার মোট যোগফল
x + y + z = 18 + 12 = 30

গড় = 30/3 = 10

∴ x, y এবং z এর গড় = 10

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা
________________________________ 
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০)
= ৫৮০ টাকা।

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১+২+৩+৪+৫ = ১৫
অনুপাতের বৃহত্তম অংশ = ৭৫০ এর ৫/১৫
= ২৫০ টাকা

এবং অনুপাতের ক্ষুদ্রতম অংশ = ৭৫০ এর ১/১৫
= ৫০ টাকা।

সুতরাং, অনুপাতের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের সমষ্টি = (২৫০+৫০) টাকা = ৩০০ টাকা।

মোট কাপড় = ১৫+৫ = ২০টি এবং
মোট খরচ = ১০০০+৬০০ = ১৬০০ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য = ১৬০০+৮০০ = ২৪০০ টাকা
∴ গড় বিক্রয় মূল্য = ২৪০০/২০
= ১২০ টাকা

প্রশ্নমতে,
২ঃ১ = কঃ৩
বা, ২/১ = ক/৩
বা, ক = ৬

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
৩/১০ = ০.৩ (বৃহত্তম), 
৫/১৭ = ০.২৯৪ (বৃহত্তম), 
৪/১৫ = ০.২৬৭ (ক্ষুদ্রত্তম) এবং 
২/৫ = ০.৪ (বৃহত্তম) । 

∴ ৪/১৫ ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম। 

প্রশ্ন: একটি হোস্টেলে ৬০ জন ছাত্রের ৪৫ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১৫ দিন পর যদি আরও ৩০ জন নতুন ছাত্র আসে, তবে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কত দিন চলবে?

সমাধান:
অবশিষ্ট দিন = ৪৫ − ১৫ = ৩০ দিন
মোট ছাত্র = ৬০ + ৩০ = ৯০ জন

৬০ জন ছাত্রের খাবার আছে ৩০ দিনের 
∴ ১ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৬০ × ৩০) দিনের
∴ ৯০ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৬০ × ৩০)/৯০ দিনের
       = ১৮০০/৯০ = ২০ দিন

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ২০ দিন চলবে।

৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৫ এবং ৭
এদের গুণফল = ৫×৭ = ৩৫

এখানে,
প্রতিক্ষেত্রে বিয়োগফল বা ব্যবধান ২। ৩, ৪, ৫ এবং ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. = ৬০
সুতরাং নির্ণেয় পূর্ণ সংখ্যা = ৬০ - ২
= ৫৮

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৪ = ১৬ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+১৬ = ২১ টি।

মোট সময় নেয় = ৭ ঘন্টা।
যাত্রা বিরতি = ১ ঘন্টা।
নিট সময় নেয় = ৭ - ১ = ৬ ঘন্টা।
মোট দূরত্ব = ২৭৬ কিলোমিটার।
∴ বাসটির গড় গতিবেগ = ২৭৬/৬ কিমি/ঘন্টা।
= ৪৬ কিমি/ঘন্টা।

প্রশ্ন: ১২ জন শ্রমিক ৬ দিনে ২৪০০ টাকা আয় করেন। ৮ জন শ্রমিক কত দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবেন?

সমাধান:
১২ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করেন ৬ দিনে
∴ ১ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করেন (১২ × ৬) দিনে
∴ ৮ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করেন (১২ × ৬)/৮ দিনে
                                                       = ৯ দিনে

∴ ৮ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করতে ৯ দিন সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একটি ধাতু মিশ্রণে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১। মিশ্রণের মোট ওজন ২৫০ গ্রাম। কত গ্রাম তামা যোগ করলে তামা ও দস্তার অনুপাত ৬ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১
অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ১ = ৫
∴ তামার পরিমাণ = ২৫০ × (৪/৫) = ২০০ গ্রাম
∴ দস্তার পরিমাণ = ২৫০ × (১/৫) = ৫০ গ্রাম

আবার, 
নতুন অনুপাত ৬ : ১
ধরি, ক গ্রাম তামা যোগ করটে হবে,
(২০০ + ক) : ৫০ = ৬ : ১
⇒ (২০০ + ক)/৫০ = ৬/১
⇒ ২০০ + ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০ - ২০০ 
∴ ক = ১০০ গ্রাম

সুতরাং, ১০০ গ্রাম তামা যোগ করলে তামা ও দস্তার অনুপাত ৬ : ১ হবে। 

১০% ছাড়ে ৩০৬০০ টাকার পণ্যের বিক্রয়মূল্য = (৯০ × ৩০৬০০)/১০০
১৫% ছাড়ে (৯০ × ৩০৬০০)/১০০ টাকার পণ্যের বিক্রয়মূল্য = (৯০ × ৩০৬০০ × ৮৫)/(১০০ × ১০০)
= ২৩,৪০৯ টাকা

 প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭ এবং x এর গড়মান ৫.৫ হলে x এর মান কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
(৪ + ৬ + ৭ + x)/৪ = ৫.৫
বা, ৪ + ৬ + ৭ + x = ৫.৫ × ৪
বা, ১৭ + x = ২২
বা, x = ২২ - ১৭
∴ x = ৫

প্রশ্ন: বাংলাদেশের রাত ৮টা আন্তর্জাতিক সময় কত?

সমাধান:
আন্তর্জাতিক সময় ২৪ ঘণ্টায় হিসেব করা হয়।
অর্থাৎ, ১২ টার পর ১৩টা, ১৪টা, ..., ২৪টা।

সে অনুযায়ী বাংলাদেশে,
দুপুর ১টা = ১৩ টা,
দুপুর ২টা = ১৪ টা
...
......
রাত ৮টা = ২০ টা।

অতএব, বাংলাদেশের রাত ৮টা, আন্তর্জাতিক সময় অনুযায়ী তখন বাংলাদেশে আন্তর্জাতিক সময় ২০টা।

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৮% হারে ২৫০০ টাকার ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল, P = ২৫০০
সুদের হার, r = ৮%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল সুদের ক্ষেত্রে,
I = Pnr/১০০
= (২৫০০ × ৮ × ২)/১০০ = ৪০০ টাকা

∴ মুনাফা = ৪০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে,
C = P(১ + r/১০০)ⁿ
= ২৫০০ × {১ + ৮/১০০)}^২
= ২৫০০ × (১০৮/১০০)^২
= ২৫০০ × (১.০৮)^২
= ২৫০০ × ১.১৬৬৪
= ২৯১৬

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= ২৯১৬ − ২৫০০ = ৪১৬ টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = (৪১৬ − ৪০০) = ১৬ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ২০/৩% সরল সুদে কত টাকার ৬ বছরের সুদ ৪০০ টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ২০/৩% 
সময়, n = ৬ বছর
সুদের পরিমাণ, I = ৪০০ টাকা

আমরা জানি, 
I = Prn/১০০ 
⇒ ৪০০ = {P × (২০/৩) × ৬}/১০০ 
⇒ ৪০০ = (P × ৪০)/১০০
⇒ P × ৪০ = ৪০০০০ 
⇒ P = ৪০০০০/৪০ 
∴ P = ১০০০ টাকা

সুতরাং, বার্ষিক শতকরা ২০/৩% সরল সুদে ১০০০ টাকার ৬ বছরের সুদ ৪০০ টাকা হবে। 

ধরি ১ম সংখ্যা x
১ম ৫ টি সংখ্যার যোগফল = x + (x + ১) + (x + ২) + .... + (x + ৪) = ৫৫০
∴ x = ১০৮
২য় ৫ টি সংখ্যার যোগফল  = (x+৫)+(x+৬)+.......(x+৯) = ৫x + ৩৫ = ৫ × ১০৮ + ৩৫ = ৫৭৫

প্রশ্ন: ৪ টি দ্রব্য ৬ টাকায় ক্রয় করে, ২৪ টি দ্রব্য কত টাকায় বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
৪ টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ৬ টাকা
১ টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ৬/৪ টাকা
∴ ২৪ টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = (৬/৪) × ২৪ টাকা
= ৩৬ টাকা

লাভ = ২৫%
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
= ৩৬ + ৩৬ এর ২৫%
= ৩৬ + ৩৬ × ২৫/১০০
= ৩৬ + ৯
= ৪৫ টাকা

প্রশ্ন: ক, খ ও গ একত্রে একটি ব্যবসা করে ১২০০ টাকা লাভ করে। যদি ক, খ ও গ এর মূলধন এর অনুপাত ৩: ৪: ৮ হয় তবে 'ক' কত লভ্যাংশ পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৪ : ৮
অনুপাতের রাশি গুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৮ = ১৫

∴ ক এর লাভের পরিমাণ = (১২০০ এর ৩/১৫) = ২৪০ টাকা

সুতরাং, ক-এর লভ্যাংশ = ২৪০ টাকা।