পাটিগণিত

৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৮৪০
সুতরাং পাঁচটি ঘণ্টা ৮৪০ সেকেন্ড বা (৮৪০ ÷ ৬০) = ১৪ মিনিট পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% হারে ১২৫০ টাকা ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
মূলধন, P = ১২৫০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%
সময়, n = ২ বছর

সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ I = (১২৫০ × ৮ × ২)/১০০
⇒ I = ২০০ টাকা

∴ সরল মুনাফায় সুদ ২০০ টাকা।

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
C = P × (১ + r/১০০)ⁿ
= ১২৫০ × (১ + ৮/১০০)^২
= ১২৫০ × (১০৮/১০০)^২
= ১২৫০ × (২৭/২৫) × (২৭/২৫)
= ৯১১২৫০/৬২৫
= ১৪৫৮

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= ১৪৫৮ - ১২৫০ 
= ২০৮ টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = (২০৮ - ২০০) টাকা
= ৮ টাকা

প্রশ্ন: ৩ ভাইয়ের বয়সের গড় ১৭ বছর। তাদের বাবাসহ তাদের বয়সের গড় ২৬ বছর হলে, বাবার বয়স কত?

সমাধান:
৩ ভাইয়ের গড় বয়স = ১৭ বছর
অতএব, তাদের মোট বয়স
৩ × ১৭ = ৫১ বছর

এখন, বাবা সহ মোট ব্যক্তি = ৪ জন
এদের গড় বয়স = ২৬ বছর

সুতরাং মোট বয়স
= ৪ × ২৬ = ১০৪ বছর

অতএব বাবার বয়স
= ১০৪ - ৫১ = ৫৩ বছর

∴ বাবার বয়স = ৫৩ বছর

প্রশ্ন: কোন আসল ৩ বছরে মুনাফা-আসরে ৫৫০০ টাকা হয়, মুনাফা আসলের ৩/৮ অংশ হলে মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরা যাক আসল = P
মুনাফা = ৩/৮ P
তাহলে মোট টাকা = P + ৩/৮ P = ১১/৮ P

এখানে,
⇒ মোট টাকা = ৫৫০০
১১/৮ P = ৫৫০০
⇒ P = ৫৫০০ × ৮/১১
⇒ P = ৪০০০

মুনাফা = ৫৫০০ - ৪০০০ = ১৫০০

সরল মুনাফার সূত্র:
Interest (I) = (P × R × T)/১০০
⇒ ১৫০০ = (৪০০০ × R × ৩)/১০০
⇒ ১৫০০ = ১২০ R
⇒ R = ১৫০০/১২০
⇒ R = ১২.৫%

∴ মুনাফার হার = ১২.৫%

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা এক মণ আটা ২৩৭৫ টাকায় বিক্রয় করায় ৫% ক্ষতি হলো। প্রতি মণ কত টাকায় বিক্রয় করলে ৬% লাভ হতো?

সমাধান: 
ধরি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ৫ = ৯৫ টাকা 

এখন, 
∴ বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২৩৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ২৩৭৫)/৯৫ টাকা
= ২৫০০ টাকা।

আবার,
৬% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৬ = ১০৬ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ২৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০৬ × ২৫০০)/১০০ টাকা
= ২৬৫০ টাকা।

সুতরাং, প্রতি মণ আটা ২৬৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ৬% লাভ হতো।

৬% হার সুদে, ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৬ টাকা
৯৫০ টাকার ৮ বছরের সুদ = (৬ × ৯৫০ × ৮)/১০০ = ৪৫৬ টাকা

এখন, ৭.৫% হার সুদ হলে 
৭.৫ টাকা সুদ হয় ১ বছরে ১০০ টাকায়
∴ ৪৫৬ টাকা সুদ হয় ১৯ বছরে = (১০০ × ৪৫৬)/(৭.৫ × ১৯) = ৩২০ টাকায় 

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ট্রেনটির গতি ঘন্টায় ১০০ কি. মি. হলে ৩০ মিনিটে ট্রেনটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
ট্রেনের গতি = ১০০ কিমি/ঘণ্টা
সময় = ৩০ মিনিট = ০.৫  ঘণ্টা

আমরা জানি, 
দূরত্ব = গতি × সময়
⇒ দূরত্ব = ১০০ × ৫০ = ৫০ কিমি

অতএব, ট্রেনটি ৩০ মিনিটে ৫০ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে।

এখানে,
2450
= 2 × 5 × 5 × 7 × 7
= 2 × (35 × 35)
∴ সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণ বর্গ হবে।

2|2450
5|1225
5|245
7|49
7

ধরি,
সংখ্যাটি x
∴ x - (২৫x/১০০) = ৯০
বা, ৭৫x/১০০ = ৯০
বা, x = (৯০×১০০)/৭৫
বা, x = ১২০

মনির ১ দিনে করতে পারে ১/৬ অংশ
জহির ১ দিনে করতে পারে ১/১২ অংশ
সুতরাং সে, ৩ দিনে করতে পারে = ৩/১২ = ১/৪ অংশ
অর্থাৎ, কাজ বাকি থাকে = ১ - ১/৪ = ৩/৪ অংশ
মনির এবং জহির দুজন মিলে ১ দিনে করতে পারে = ১/৬ + ১/১২ = (২ + ১)/১২ = ১/৪ অংশ।
∴ দুজনে ৩/৪ অংশ করতে পারে ৩ দিনে ।
কাজটি শেষ হতে মোট সময় লাগে = ৩ + ৩ = ৬ দিন।

প্রশ্ন: এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুণ, যা তার বর্গের থেকে ৫৬ কম।

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক^২ - ক = ৫৬
⇒ ক^২- ক - ৫৬ = 0
⇒ ক^২ - ৮ক + ৭ক - ৫৬ = 0
⇒ ক(ক - ৮) + ৭(ক - ৮) = 0
⇒ (ক - ৮) (ক + ৭) = 0
হয়,
(ক - ৮) = ০
∴ ক = ৮ [ধনাত্মক সংখ্যা]
অথবা
(ক + ৭) = ০
⇒ ক = - ৭ [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

নির্ণেয় সংখ্যাটি ৮ ।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১৫% মুনাফায় ৬০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, p = ৬০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১৫%
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = p(১ + r/১০০)ⁿ
= ৬০০(১ + ১৫/১০০)^২
= ৬০০ × (১১৫/১০০)^২
= ৬০০ × (২৩/২০)^২
= ৬০০ × ৫২৯/৪০০
= ৭৯৩.৫ টাকা

 প্রশ্ন: (১২ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৩ × ২) = কত?

সমাধান: (১২ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৩ × ২) 
= ১৫ ÷ ৩ × ২ - (১৫ - ৬)
= ১৫ ÷ ৩ × ২ - ৯
= ৫ × ২ - ৯
= ১০ - ৯
= ১

√2/(√6 - 2) = {√2(√6 + 2)}/{(√6)² - 2^2}
{√2(√6 + 2)}/(6 - 4)
= {√2(√6 + 2)}/2
= (√6.√2 + 2√2)/2
= (√12 + 2√2)/2
= (2√3 + 2√2)/2
= √3 + √2

প্রশ্ন: সরলসুদে কোনো আসল ১০ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হলে সুদের হার কত?

সমাধান:
ধরি, আসল (P) = ১০০ টাকা
সুদে-আসলে (A) = ৩ × ১০০ = ৩০০ টাকা
∴ সুদ (I) = ৩০০ - ১০০ = ২০০ টাকা
সময় (n) = ১০ বছর

আমরা জানি,
  I = (P × r × n)/১০০
⇒ ২০০ = (১০০ × r × ১০)/১০০
⇒ ২০০ = ১০r
⇒ r = ২০০/১০ = ২০

∴ বার্ষিক সুদের হার = ২০%

প্রশ্ন: √২৭ + √৭৫ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, √২৭ + √৭৫
= √(৩ × ৯) + √(৩ × ২৫)
= ৩√৩ + ৫√৩
= ৮√৩

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ২৫% এর মান ৩০ হলে, সংখ্যাটির ১৫% কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৫% = ৩০
⇒ ক × (২৫/১০০) = ৩০
⇒ ক × ১/৪ = ৩০
⇒ ক = ৩০ × ৪
∴ ক = ১২০

অর্থাৎ, সংখ্যাটি ১২০

এখন,
১২০ এর ১৫% = ১২০ × (১৫/১০০)
= ১২০ × (৩/২০) = ১৮

অনুপাত গুলোর সমষ্টি: ৩ + ৭ + ১০ = ২০
∴ বড় টুকরাটির দৈর্ঘ্য হবে, ৮০ × ১০/২০ = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: সুদের হার ৭% থেকে কমে ৫% হলে এক ব্যক্তির আয় ৫ বছরে ৭০ টাকা কমে যায়, তার মূলধন কত টাকা?

সমাধান: 
১০০ টাকায় ১ বছরে আয় কমে = (৭ - ৫)% = ২% 
∴ ১০০ টাকায় ৫ বছরে আয় কমে = (৫ × ২) টাকা
= ১০ টাকা 

এখন, 
১০ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = ১০০/১০ টাকা 
∴ ৭০ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = (১০০ × ৭০)/১০ টাকা 
= ৭০০ টাকা 

∴  তার মূলধন = ৭০০ টাকা।

সংখ্যাদ্বয়  x, x +১
∴ ( x +১)^২ - x^২ = ১১
বা,  x^২+২x+১- x^২ = ১১
বা, ২x = ১০
∴ x = ৫
সুতরাং বৃহত্তম সংখ্যা = ৬

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৮১
বা, (ক^২ + ২ক + ১) - ক^২ = ৮১
বা, ২ক + ১ = ৮১
বা, ২ক = ৮১ - ১
বা, ২ক = ৮০
বা, ক = ৮০/২
∴ ক = ৪০

∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১ = ৪০ + ১ = ৪১

৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে পাশ করে (৬০-৪২) = ১৮ জন।
৬০ জনের মধ্যে পাশ করে ১৮ জন
∴ ১০০ 〃 〃 〃 〃 (১৮×১০০)/৬০〃
= ৩০ জন অর্থ্যাৎ ৩০%।

প্রশ্ন: ৩০ জন শ্রমিক কোনো কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। কাজটি শুরুর ১২ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে গেলে বাকি শ্রমিক কত দিনে অবশিষ্ট কাজ সমাধান করতে পারবে?

সমাধান:
৩০ জন শ্রমিক ২৪ দিনে করে ১ অংশ
∴ ৩০ জন শ্রমিক ১ দিনে করে ১/২৪ অংশ
∴ ৩০ জন শ্রমিক ১২ দিনে করে ১২/২৪ অংশ
 = ১/২ অংশ

এখন,
বাকি লোক = (৩০ - ১৫) = ১৫ জন
বাকি দিন = (২৪ - ১২) = ১২ দিন
বাকি কাজ = (১ - ১/২) = ১/২ অংশ

৩০ জনের ১/২ অংশ করতে লাগে ১২ দিন
∴ ১ জনের ১/২ অংশ করতে লাগে (১২ × ৩০) দিন
∴ ১৫ জনের ১/২ অংশ করতে লাগে (১২ × ৩০)/১৫ দিন
= ২৪ দিন।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪২০ থেকে যত বড়, ৫৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪২০ = ৫৮০ - ক
⇒ ক + ক = ৫৮০ + ৪২০
⇒ ২ক = ১০০০
⇒ ক = ১০০০/২
∴ ক = ৫০০

দেওয়া আছে, কঃখ = ৩ঃ৫ = ৯ঃ১৫ (৩ দ্বারা গুণ করে)
এবং খঃগ = ৩ঃ৪ = ১৫ঃ২০ (৫ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং কঃখঃগ = ৯ঃ১৫ঃ২০।

প্রশ্ন: তিনটি বাতি যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ মিনিট অন্তর জ্বলে। যদি বাতিগুলো সন্ধ্যা ৬টায় একত্রে জ্বলে, তবে পুনরায় কখন একত্রে জ্বলবে?

সমাধান:
তিনটি বাতি যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ মিনিট অন্তর জ্বলে। 
এখন, 
সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ১২, ১৫ এবং ২০ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ মিনিট
∴ সন্ধ্যা ৬:০০ থেকে ৬০ মিনিট পরে = সন্ধ্যা ৭ : ০০

অতএব, পুনরায় একত্রে জ্বলবে ৭ : ০০ টায়। 

ধরি, এক একটি গাড়ীর দাম যথাক্রমে ৪x, ৫x, ৭x টাকা 
প্রশ্নমতে, ৭x - ৪x = ৬০,০০০
⇒ x = ২০,০০০ 
∴ মধ্যম মূল্যের গাড়ীর দাম = ৫x = ৫ × ২০,০০০ = ১,০০,০০০ টাকা।

রোমান প্রতীকঃ
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

এখানে,
৪, ১৬, ৩২ লবগুলোর ল.সা.গু. = ৩২
৫, ৫, ৩৫ হরগুলোর গ.সা.গু. = ৫
∴ ভগাংশের ল.সা.গু. =৩২/৫

১/২৭ অংশ কাজ শেষ হয় ৩ দিনে।
১ অংশ কাজ শেষ হয় ৩ X ২৭ দিনে।
= ৮১ দিনে।
কাজটির ৩ গুন শেষ হয় = ৩ X ৮১ = ২৪৩ দিনে।

প্রশ্ন: ৬৯০ টাকায় একটি বই বিক্রি করলে ১৫% লাভ হয়। বইটি কত টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা

এখন, 
∴ বিক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬৯০)/১১৫ = ৬০০ টাকা

আবার,
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২৫ = ৭৫ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৭৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৭৫ × ৬০০)/১০০ = ৪৫০ টাকা

সুতরাং, বইটি ৪৫০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হবে।

প্রশ্ন: যদি a² + 9b² = 6ab হয়, তাহলে b : a = ? 

সমাধান
দেওয়া আছে 
a² + 9b² = 6ab
⇒ a² -  6ab + 9b² = 0
⇒ a² - 2. a.3b + (3b)² = 0
⇒ (a - 3b)² = 0 
⇒ a - 3b = 0
⇒ a = 3b
⇒ 3b = a
⇒ b/a = 1/3
∴ b : a = 1 : 3