পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৪০০ টাকায় বিক্রি করলে ২০% ক্ষতি হয়। বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করে কত টাকায় বিক্রি করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান: 
মনেকরি, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা 
এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪০০)/৮০ = ৫০০ টাকা

আবার, 
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৫০০)/১০০ = ৬০০ টাকা

∴ চেয়ারটি ৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ২০% লাভ হবে।

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৭৮ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/৫ অংশ পড়তে বাকি থাকলে, বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = {১ - (৩/৫)} অংশ
= (৫ - ৩)/৫ অংশ 
= ২/৫ অংশ

শর্তমতে,
২/৫ অংশ = ৭৮ পৃষ্ঠা
   ১   অংশ  = ৭৮ × (৫/২) পৃষ্ঠা
= ১৯৫ পৃষ্ঠা

∴ মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা = ১৯৫

প্রশ্ন: ৩০ টি আপেল ও ৩৬ টি কমলা সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান: 
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ.সা.গু 
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ.সা.গু = ৬

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

প্রশ্ন: ৪টি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর আবার বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর তারা আবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

৬ = ২ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

অর্থাৎ, ৭২ সেকেন্ড = ৭২/৬০ মিনিট
= ১.২ মিনিট বা ১ মিনিট ১২ সেকেন্ড পর আবার একত্রে বাজবে।

শেষ ১ মিনিটে বানরটি উঠবে ৫ মিটার
বাকি থাকে (২৩-৫) = ২০ মিটার
বানরটি ২ মিনিটে উঠে (৫-১) = ৪ মিটার
অর্থাৎ ৪ মিটার উঠে ২ মিনিটে
∴ ২০ মিটার উঠে = ১০ মিনিটে
মোট সময় লাগে (১০+১) = ১১ মিনিটে।
উত্তর : ১১ মিনিটে।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪০ সেকেন্ডে একটি ২৮০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ২৪ সেকেন্ডে ১২০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২৮০)/৪০ = (ক + ১২০)/২৪
⇒ ২৪(ক + ২৮০) = ৪০(ক + ১২০)
⇒ ২৪ক + ৬৭২০ = ৪০ক + ৪৮০০
⇒ ৪০ক - ২৪ক = ৬৭২০ - ৪৮০০
⇒ ১৬ক = ১৯২০
⇒ ক = ১৯২০/১৬
∴ ক = ১২০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১২০ মিটার।

প্রশ্ন: তানজিম ৫টি কলম ২০ টাকায় বিক্রয় করায় তার ৫ টাকা ক্ষতি হলো। তার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বিক্রয়মূল্য = ২০ টাকা
ক্ষতি = ৫ টাকা

আমরা জানি,
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি
= ২০ + ৫ = ২৫ টাকা

∴ তার ক্রয়মূল্য ২৫ টাকা। 

প্রশ্ন: রিনার বেতন ২০% হ্রাস পাওয়ার পর এখন বেতন পায় ৩২,০০০ টাকা। তাহলে হ্রাসের আগের রিনার বেতন কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, হ্রাসের আগের বেতন = ক টাকা

তাহলে ২০% হ্রাসের পর বেতন,
⇒ ক - (ক এর ২০%) = ৩২০০০
⇒ ক - (ক/৫) = ৩২০০০
⇒ (৫ক - ক)/৫ = ৩২০০০
⇒ ৪ক = ১৬০০০০
⇒ ক = ১৬০০০০/৪
∴ ক = ৪০০০০

∴ হ্রাসের আগের রিনার বেতন ছিল ৪০০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫০ থেকে যত বেশি ১০০ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি p

প্রশ্নমতে,
p - ৫০ = ১০০ - p
বা, p + p = ১০০ + ৫০
বা, ২p = ১৫০
বা, p = ১৫০/২
∴ p = ৭৫

তাহলে, সংখ্যাটি ৭৫

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় শতকরা ৭৫ জন গনিতে পাস করেছে। গনিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৭০ জন হলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
১০০ জনে ফেল করে = (১০০ - ৭৫) = ২৫ জন

২৫ জন গনিতে ফেল করলে মোট পরীক্ষার্থী ১০০ জন
১ জন গনিতে ফেল করলে মোট পরীক্ষার্থী ১০০/২৫ জন
∴ ৭০ জন গনিতে ফেল করলে মোট পরীক্ষার্থী (১০০/২৫) × ৭০ জন
= ২৮০ জন

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ২৮০ জন

Question: A shirt priced at Tk. 1200 discount two times and bought at Tk. 600. The first discount was 20%. What is the second discount?

Solution:
Marked Price = 1200 taka
First discount = 20%
Second discounted price = 600

Suppose,
Second discount % = x

First discounted price = 1200 - (20% of 1200)
= 1200 - 240
= 960

Second discounted price = 960 - (x% of 960)
600 = 960 - (x% of 960) 
960(1 - x / 100) = 600


∴ x = 37.5%

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০-২৫ = ৭৫ টাকা।
৫০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০+৫০ = ১৫০ টাকা।
পূর্বের বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে ১৫০ টাকায়।
পূর্বের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে ১৫০/৭৫ = ২ টাকায়।
২ টাকায় বিক্রি করতে হবে = ১২ টি কলা।
১ টাকায় বিক্রি করতে হবে = ১২/২ = ৬ টি কলা।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন 450 মিটার এবং এটি 54 কিমি/ঘন্টা গতিতে চলে 1.2 মিনিটে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। প্ল্যাটফর্ম এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্যের মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 450 মি
প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে সময় লাগে = 1.2 মিনিট = 1.2 × 60 = 72 সেকেন্ড
ট্রেনের গতি = 54 কিমি/ঘন্টা = 54 × (1000/3600) = 15 মি/সেকেন্ড

আমরা জানি, 
অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = গতি × সময়
মোট দূরত্ব = 15 × 72 = 1080 মি

এবং, 

অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
∴  প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = 1080 - 450 = 630 মি

∴ প্ল্যাটফর্ম এবং ট্রেনের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = 630 - 450 = 180 মিটার 

অতএব, প্ল্যাটফর্ম ও ট্রেনের দৈর্ঘ্যের পার্থক্য = 180 মিটার

দেওয়া আছে,
এসিডঃপানি = ৭ঃ৩
অনুপাতের রাশিদ্বরের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ঃক = ৩ঃ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
পানি মিশ্রিত করতে হবে ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে উপস্থিত এবং অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা অনুপাত ৪ : ১। অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্রের সংখ্যার শতকরা কত?

সমাধান:
ধরি, উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা = ৪ক জন
এবং অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা = ক জন

∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = (৪ক + ক) = ৫ক জন

অনুপস্থিত ছাত্রের শতকরা হার = (অনুপস্থিত ছাত্র/মোট ছাত্র) × ১০০%
= (ক/৫ক) × ১০০%
= (১/৫) × ১০০%
= ২০%

∴ অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার ২০%

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদী পথে ১৯২ কি.মি. যেতে এবং ফিরে আসতে লঞ্চটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = ১৮ + ৬ = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ১৮ - ৬ = ১২ কি.মি./ঘণ্টা 

∴ মোট সময় = (১৯২/১২) + (১৯২/২৪) ঘণ্টা 
= (১৬ + ৮) ঘণ্টা 
= ২৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৭২৮ এবং ৯০০ সংখ্যাদ্বয়কে এমন একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ এবং ৪ অবশিষ্ট থাকবে। সেই সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৭২৮ - ৮ = ৭২০
এবং ৯০০ - ৪ = ৮৯৬।

এখানে,
৭২০ এবং ৮৯৬ এর গ.সা.গু. হলো = ২ × ২ × ২ × ২ = ১৬

সুতরাং, ৭২৮ ও ৯০০ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ ও ৪ অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: একজন ফল বিক্রেতা ১২ টাকায় ৯ টি দরে কিছু সংখ্যক আমলকি ক্রয় করে ৩০ টাকায় ১৫ টি দরে বিক্রয় করেন। তার শতকরা কত টাকা লাভ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৯ টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১২ টাকা

আবার,
১৫ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা
১ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য (৩০/১৫) টাকা = ২ টাকা
∴ ৯ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = (২ × ৯) = ১৮ টাকা

∴ লাভ = (১৮ - ১২) = ৬ টাকা

এখন,
১২ টাকায় লাভ হয় ৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (৬/১২) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৬/১২) × ১০০ টাকা
= ৫০ টাকা

∴ তার শতকরা ৫০% লাভ হয়।

Question: A man mixes 8 liters of milk priced at Tk. 550 per liter with 6 liters of milk priced at Tk. 650 per liter. He then adds some water so that the final mixture can be sold at Tk. 500 per liter without profit or loss. How many liters of water are added?

Solution:
Given,
Milk-1: 8 L, 550 Tk/L
Milk-2: 6 L, 650 Tk/L
Final mixture price = 500 Tk/L

Suppose,
Water added = x Liter

Total cost of the milk:
(8 × 550) + (6 × 650)
= 4400 + 3900
= 8300 Tk

Total milk = 8 + 6 = 14 Liter

After adding water,
New volume = (14 + x) Liter

The average price of the mixture is 500 Tk/L.
So total value of the final mixture = 500(14 + x)

New equation:
500(14 + x) = 8300 
⇒ 7000 + 500x = 8300
⇒ 500x = 8300 - 7000
⇒ x = 1300/500
∴ x = 2.6 Liter

∴ 2.6 Liter of water was added to the mixer.

প্রশ্ন: ৬ টি সংখ্যার গড় ২৫। যদি ২২ গড় বিশিষ্ট ৩ টি সংখ্যা প্রদত্ত সংখ্যাটির সাথে যোগ করা হয়, তবে সমন্বিত ৯টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
প্রথম ৬টি সংখ্যার যোগফল = ৬ × ২৫ = ১৫০

আবার, 
নতুন ৩টি সংখ্যার যোগফল = ৩ × ২২ = ৬৬

∴ মোট (৬ + ৩) = ৯টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫০ + ৬৬ = ২১৬

∴ নতুন গড় = ২১৬/৯ = ২৪

প্রশ্ন: বিদ্যালয়ে বর্তমানে শিক্ষার্থী সংখ্যা ১২০০ জন। প্রথম বছরে ১০% এবং দ্বিতীয় বছরে ২০% বৃদ্ধি পায়। তাহলে দ্বিতীয় বছর পর শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রাথমিক শিক্ষার্থী সংখ্যা = ১২০০ জন

প্রথম বছর শেষে শিক্ষার্থী সংখ্যা = ১২০০ + ১২০০ এর ১০%
= ১২০০ + ১২০ = ১৩২০ জন 

আবার, 
দ্বিতীয় বছর শেষে শিক্ষার্থী সংখ্যা = ১৩২০ + ১৩২০ এর ২০%
= ১৩২০ + ২৬৪
= ১৫৮৪ জন

সুতরাং, দ্বিতীয় বছর শেষে বিদ্যালয়ে শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ১৫৮৪ জন। 

প্রশ্ন: রাজীব সাহেবের বেতন ২০% কমানো হয়েছে এবং পরে কমানো বেতনকে ১০% বাড়ানো হয়েছে, এতে তার মোট ক্ষতি কত?

সমাধান:
ধরি,
রাজীব সাহেবের মূল বেতন = ১০০ টাকা
২০% কমানোর পর বেতন = ১০০ - ১০০ এর ২০%
= ১০০ - ১০০ এর ২০/১০০
= ১০০ - ২০
= ৮০

আবার,
১০% বৃদ্ধিতে বেতন = ৮০ + ৮০ এর ১০%
= ৮০ + ৮০ এর ১০/১০০
= ৮০ + ৮
= ৮৮

∴ ক্ষতি = (১০০ - ৮৮)%
= ১২%

∴ রাজীব সাহেবের ১২% ক্ষতি হয়েছে।

প্রশ্ন: রাহিম একটি বই করিমের কাছে ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করল। রাহিম যদি বইটি ২০% কম দামে ক্রয় করত এবং ৬০ টাকা বেশি দামে বিক্রি করত তবে তার ২০% লাভ হতো। রাহিম বইটি কত দামে ক্রয় করেছিল?

সমাধান:
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা
২০% কমে বইটির ক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা  
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০/১০০) টাকা  
∴ ক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ × ৮০)/১০০ টাকা  
= ৯৬ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = (৯৬ - ৯০) = ৬ টাকা

৬ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা  
∴ ১ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (১০০/৬) টাকা  
∴ ৬০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬০)/৬ টাকা  
= ১০০০ টাকা

Let the son's age 18 years ago be x years,
Then man's age 18 years ago = 3x years
(3x+18) = 2(x+18)
⇒ 3x+18 = 2x+36
⇒ x = 18
Sum of their present ages
⇒ (3x+18+x+18) years
⇒ (4x+36) years
⇒ (4×18+36) years
⇒ 108 years

প্রশ্ন: একটি বই বিক্রয় করার সময় বিক্রেতা লিখিত মূল্যের উপর ২০% কমিশন প্রদান করে। বইটির লিখিত বিক্রয়মূল্য ৩০০ টাকা হলে, বইটি কত টাকায় ক্রয় করা যাবে?

সমাধান: 
২০% কমিশনে,
লিখিত মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা
∴ লিখিত মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০/১০০ টাকা
∴ লিখিত মূল্য ৩০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮০ × ৩০০)/১০০ টাকা 
= ২৪০ টাকা 

∴ বইটি ক্রয় করা যাবে = ২৪০ টাকা।

ধরি, আসল, p = ১০০ টাকা
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্তানুসারে তাই সুদও হতে হবে I = ১০০ টাকা
বছর, n = ?

আমরা জানি, I = pnr/১০০
বা, n = I×১০০/pr
= ১০০×১০০/১০০×১২.৫
= ৮ বছর

প্রশ্ন: করিম সাহেব ৪০০০০ টাকায় একটি যন্ত্র ক্রয় করে মেরামতের জন্য ২৫০০ টাকা এবং পরিবহনের জন্য ৫০০ টাকা ব্যয় করেন। তিনি যন্ত্রটি ২৫% লাভে বিক্রি করেন। যন্ত্রটির বিক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
মেশিন বাবদ সর্বমোট খরচ হয় = (৪০০০০ + ২৫০০ + ৫০০) টাকা
= ৪৩০০০ টাকা

২৫% লাভে, 
১০০ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ১ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ৪৩০০০ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৪৩০০০)/১০০ টাকা
= ৫৩৭৫০ টাকা

∴ যন্ত্রটির বিক্রয়মূল্য = ৫৩৭৫০ টাকা।