পাটিগণিত

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% সরল মুনাফায় ৫০০০ টাকা ৩ বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে- নিচের কোন তথ্যটি সঠিক হবে? 
i. মুনাফা ১৫০০ টাকা
ii. মুনাফা-আসল ৬৫০০ টাকা
iii. মুনাফা আসলের অংশ ৩/১০ অংশ

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল, P = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (আসল × মুনাফার হার × সময়)/১০০
= (৫০০০ × ১০ × ৩)/১০০
= ১৫০০০০/১০০
= ১৫০০ টাকা

এখন অপশনগুলো যাচাই করা যাক,
i. মুনাফা ১৫০০ টাকা  - যা সঠিক

ii. মুনাফা-আসল ৬৫০০ টাকা
মুনাফা-আসল = আসল + মুনাফা = ৫০০০ + ১৫০০ = ৬৫০০ টাকা - যা সঠিক

iii. মুনাফা আসলের অংশ ৩/১০ অংশ, 
∴ মুনাফা/আসল = ১৫০০/৫০০০ = ৩/১০
অর্থাৎ মুনাফা আসলের ৩/১০ অংশ - যা সঠিক

সুতরাং, i, ii ও iii - সবকটিই সঠিক।

১৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।
∴ বিক্রয়মূল্য ৬১২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (৬১২ X ১০০)/৮৫ টাকা।
= ৭২০ টাকা।

২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ৭২০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ X ৭২০)/১০০ টাকা।
= ৮৬৪ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য বাড়াতে হবে = (৮৬৪ - ৬১২) টাকা।
= ২৫২ টাকা।

এখানে, ০.১০ বৃহত্তম।
অপশনের অন্যান্যগুলো ০.১০ থেকে ছোট।

প্রশ্ন: ১ হেক্টর = কত একর?

সমাধান:
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ২/৫ অংশ লাল, ১/৪ অংশ কাল ও ১/৩ সবুজ কাগজে আবৃত এবং অবশিষ্ট অংশ ৩ মিটার হলে, বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত ? 

সমাধান: 
মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১ অংশ 

এখন, 
লাল, কাল ও সবুজ কাগজে আবৃত আছে = (২/৫ ) + (১/৪) + (১/৩) অংশ
= (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ 
= ৫৯/৬০ অংশ

∴ অবশিষ্ট রইল  = ১ - (৫৯/৬০) = ১/৬০ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৬০ অংশ = ৩ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৩ × ৬০ = ১৮০ মিটার

অতএব, বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা 15% বৃদ্ধি করা হলো এবং তারপর 25% হ্রাস করা হলো, ফলে সংখ্যাটি মূল সংখ্যার চেয়ে 22 কম হয়ে গেল। মূল সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি P

সংখ্যাটি প্রথমে 15% বৃদ্ধি করা হয়,
তাহলে সংখ্যাটি = {P + P এর 15%}
= {P + (3P/20)}
= (23P/20)

এরপর প্রাপ্ত সংখ্যাটি 25% হ্রাস করা হয়
তাহলে সংখ্যাটি = {(23P/20) - (23P/20) এর 25%}
= {(23P/20) - (23P/20) × (1/4)}
= {(23P/20) - (23P/80)}
= (92P - 23P)/80
= (69P/80)

চূড়ান্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার চেয়ে 22 কম হলে,

শর্তানুসারে,
P - (69P/80) = 22
⇒ (80P - 69P)/80 = 22
⇒ 11P/80 = 22
⇒ P = (80 × 22)/11
∴ P = (80 × 2) = 160

∴ সংখ্যাটি 160 ।

ধরি, ছোট সংখ্যা ৩ক
বড় সংখ্যা ৭ক
প্রশ্নমতে,
(৩ক + ১০) : (৭ক + ১০) = ১ঃ২
বা, ৬ক + ২০ = ৭ক + ১০
বা, ক = ১০
∴ ছোট সংখ্যা ৩ × ১০ = ৩০ 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৬৪ এবং ভাগফল ৪ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: ধরি, বড় সংখ্যাটি ক এবং ছোট সংখ্যাটি খ 
শর্তমতে ক × খ = ৬৪ .....................(১)
এবং ক/খ = ৪
⇒ ক = ৪খ

সমীকরণ (১) থেকে,
ক × খ = ৬৪
⇒ ৪খ × খ = ৬৪
⇒ খ^২ = ১৬
⇒ খ = ৪
∴ ক = ৪ × ৪ = ১৬ 

∴ বড় সংখ্যাটি হচ্ছে ১৬

স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে ৯০/(১২+৬) = ৫ ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে ৯০/(১২-৬) = ১৫ ঘন্টা।
সুতরাং, যেতে আসতে মোট সময় লাগবে ৫+১৫ = ২০ ঘন্টা।

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ X ৪) টাকা =১৮ টাকা
তাহলে সুদাসল = (১০০ +১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা
সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল (১০০/১১৮) X ৮২৬ টাকা
= ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৫টি সংখ্যার সমষ্টি ১০০ যার প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় ২০ এবং শেষ তিনটি সংখ্যার গড় ১৫ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাগুলো যথাক্রমে a, b, c, d, e
∴ a + b + c + d + e = ১০০

a + b + c = (২০ × ৩) = ৬০ 
​এবং, c + d + e = (১৫ × ৩) = ৪৫

∴ (a + b + c) + (c + d + e) - (a + b + c + d + e) = ৬০ + ৪৫ - ১০০
∴ c = ৫  

​অর্থাৎ তৃতীয় সংখ্যাটি = ৫

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট সিরিজে শান্ত, তামিম এবং লিটন মোট ২২২ রান করেছে। শান্ত ও তামিমের রানের অনুপাত এবং তামিম ও লিটনের রানের অনুপাত ৪ : ৩। ঐ সিরিজে শান্ত কত রান করেছে?

সমাধান:
এখানে,
শান্ত : তামিম = ৪ : ৩
= (৪ × ৪) : (৩ × ৪)
= ১৬ : ১২

আবার,
তামিম : লিটন = ৪ : ৩
= (৪ × ৩) : ( ৩ × ৩)
= ১২ : ৯

∴ শান্ত : তামিম : লিটন = ১৬ : ১২ : ৯

অনুপাতগুলোর যোগফল = ১৬ + ১২ + ৯ = ৩৭

∴ শান্তর রান = ২২২ × (১৬/৩৭) 
= ৬ × ১৬ 
= ৯৬ রান

মনে করি,
একটি সংখ্যা = x
তাহলে অপর সংখ্যা = 8
শর্তমতে,
বা, 8²- x² = 15
বা, x² = 64 - 15
বা, x² = 49
বা, x = √49
∴x = 7

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার 
= ৪৫০ মিটার 
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার 
এবং 
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড 
∴ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড 
= ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন, 
৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
= ৫৪ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৬ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ১০ লিটার বেশি হয়, তবে পানির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
দুধ : পানি = ৬ : ১ 

ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৬x লিটার
এবং পানির পরিমাণ = x লিটার

শর্তমতে,
৬x - x = ১০
বা, ৫x = ১০
বা, x = ১০/৫
∴ x = ২

∴ পানির পরিমাণ = ২ লিটার।

সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, x ও y হলে,
প্রশ্নমতে, x - y = 1/3 × (x + y)
⇒ x - y = (x + y)/3
⇒ 3x - 3y = x + y
⇒ 2x = 4y
⇒ x : y = 4 : 2 = 2 : 1

২ সের সয়াবিন তেলের দাম = ৩৬ × ২ = ৭২ টাকা
মিশ্রণের পর (২ + ১) বা ৩ সেরের মোট দাম = (৭২ + ২১) = ৯৩ টাকা।
সুতরাং মিশ্রিত তেলের প্রতি সেরের গড় মূল্য = ৯৩/৩
= ৩১ টাকা

প্রশ্ন: n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, n = 3 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

অপশন ক) 2n + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) n² = 3² = 9 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) 3n + 1 = (3 × 3) + 1 = 9 + 1 = 10 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) 3n = 3 × 3 = 9 ⇒ বিজোড়

সঠিক উত্তর: (গ) 3n + 1

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৩০ সেকেন্ডে একটি ২০০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে এবং ২০ সেকেন্ডে ১০০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/৩০ = (ক + ১০০)/২০
⇒ ২০(ক + ২০০) = ৩০(ক + ১০০)
⇒ ২০ক + ৪০০০ = ৩০ক + ৩০০০
⇒ ৩০ক - ২০ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ১০ক = ১০০০ 
⇒ ক = ১০০০/১০ 
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৬০

১০০০ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৬০ = ১৬ (ভাগফল),
১৬ × ৬০ = ৯৬০
১০০০ - ৯৬০ = ৪০ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল হবে ৬০ এর গুণিতক, যা ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% মুনাফায় ৫০০০ টাকার মুনাফা ১০০০ টাকা হবে কত বছরে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৫০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৮%
মুনাফা, I = ১০০০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা, I = (P × r × n)/১০০
⇒ ১০০০ = (৫০০০ × ৮ × n)/১০০ 
⇒ ১০০০ = ৪০০ × n
⇒ n = ১০০০/৪০০
∴ n = ২.৫ বছর

প্রশ্ন: একটি গ্রামে ৭২০০ জন বাসিন্দা আছে। এদের মধ্যে ৬০% কৃষি কাজের সাথে জড়িত। গ্রামে কতজন বাসিন্দা কৃষি কাজের সাথে জড়িত নয়?

সমাধান:
মোট বাসিন্দা = ৭২০০ জন
কৃষি কাজে জড়িত = ৬০%
∴ কৃষি কাজে জড়িত আছে = ৭২০০ এর ৬০%
= ৭২০০ × (৬০/১০০)
= ৪৩২০ জন

∴ কৃষি কাজে জড়িত নয় = ৭২০০ - ৪৩২০ = ২৮৮০ জন

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% ক্ষতিতে ঘড়ির বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০×৫৬০/৮০ টাকা
= ৭০০ টাকা।