পাটিগণিত

p = ১৮,০০০ টাকা,
r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০,
সুদ I = ৪,৫০০ টাকা
সময় n = ?
এখন,
I = pnr
বা, n = I/pr
= ৪৫০০/{১৮,০০০ × (১/২০)}
= (৪৫০০ × ২০)/১৮০০০
= ৫ বছর

প্রশ্ন: লিমা ২০% কমিশনে একটি বই ক্রয় করে দোকানদারকে ১৬০ টাকা দিলো। বইটির প্রকৃত মূল্য কত?

সমাধান:
২০% কমিশনে ক্রয়মূল্য দাড়ায় = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা

বইয়ের ক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = ১০০ টাকা 
বইয়ের ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য ১৬০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = (১০০ × ১৬০)/৮০ টাকা 
= ২০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - x

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (x/৩) = ৪(৯৫ - x) - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩৮০ - ৪x - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩১০ - ৪x
⇒ ১০৫ - x = ৩(৩১০ - ৪x)
⇒ ১০৫ - x = ৯৩০ - ১২x
⇒ ১২x - x = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১x = ৮২৫
⇒ x = ৮২৫/১১
∴ x = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

ধরি, দূরত্ব = x মাইল 
x দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগে = x/4 ঘণ্টা 
x   ”       ফিরে আসতে    ”     ”    = x/5 ” 
∴ গড় বেড় = (x+x)/(x/4 + x/5) = 2x/(9x/20) = 40/9 = 4.44 মাইল/ঘণ্টা 
 

প্রশ্ন: একটি ২৮০ মিটার দীর্ঘ ট্রেন তার নিজের দৈর্ঘ্যের তিন গুণ দীর্ঘ একটি প্ল্যাটফর্ম ৫০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনের গতি কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৮০ মি.
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৩ × ২৮০ = ৮৪০ মি.

∴ অতিক্রম করতে হবে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= (২৮০ + ৮৪০)  মি.
= ১১২০ মি.
এবং, সময় = ৫০ সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতি = দূরত্ব/সময়
= ১১২০/৫০
= ২২.৪ মি./সে.
= ২২.৪ × ৩.৬   ; [১ মি./সে. = ৩.৬ কিমি./ঘণ্টা] 
= ৮০.৬৪ কিমি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনের গতি ৮০.৬৪ কিমি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ১২ কেজি চাল ২৪০ টাকায় পাওয়া যায়। ৪৪০ টাকায় কত কেজি চাল পাওয়া যায়?

সমাধান:
২৪০ টাকায় পাওয়া যায় ১২ কেজি চাল
∴ ১ টাকায় পাওয়া যায় (১২/২৪০) কেজি চাল
∴ ৪৪০ টাকায় পাওয়া যায় {(১২ × ৪৪০)/২৪০} কেজি চাল
= ২২ কেজি

প্রশ্ন: একটি কোম্পানির পুরুষ কর্মকর্তাদের ২০% এবং মহিলা কর্মকর্তাদের ৪০% বিবাহিত। যদি ঐ কোম্পানির মোট কর্মকর্তাদের ৬০% মহিলা হয়, তবে ঐ কোম্পানির শতকরা কতজন কর্মকর্তা অবিবাহিত?

সমাধান:
ধরি,
কোম্পানির মোট কর্মকর্তা = ১০০ জন
∴ মহিলা কর্মকর্তা = ৬০ জন
এবং পুরুষ কর্মকর্তা = ৪০ জন

এখন,
বিবাহিত মহিলা কর্মকর্তা = ৬০ এর ৪০%
= ৬০ × (৪০/১০০)
= ২৪ জন

বিবাহিত পুরুষ কর্মকর্তা = ৪০ এর ২০%
= ৪০ × (২০/১০০) 
= ৮ জন

∴ শতকরা মোট বিবাহিত কর্মকর্তা = ২৪ + ৮ = ৩২ জন

∴ শতকরা মোট অবিবাহিত কর্মকর্তা = ১০০ - ৩২ = ৬৮ জন 

Let original CP = Rs. 100
Then, the Marked Price = 40% of 100 + 100 = 140
SP = 140 - 25% of 140 = 105
%Profit = (5×100)/100 = 5%

Net Graphic Change Method:
100 == 40% UP ⇒ 140 == 25% discount ⇒ 105 So, % Profit = 5%

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ক ও খ দুইটি নল আছে। ক নল দ্বারা ৬ মিনিটে পূর্ণ হয় ও খ নল দ্বারা ১২ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
ক নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ 
খ নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ 

∴ ক ও খ নল দুইটি দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/৬) - (১/১২) অংশ
= (২ - ১)/১২ অংশ
= ১/১২ অংশ 

∴ ১/১২ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ১২ মিনিটে

সুতরাং, খালি চৌবাচ্চাটি ১২ মিনিটে পূর্ণ হবে।

২৫% বৃদ্ধিতে চিনির মূল্য = ১২৫ টাকা
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০×১০০)/১২৫ = ৮০ টাকা
∴ খরচ কমেছিলো = ১০০ - ৮০ = ২০%

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ৩ এবং ৭ উভয়ই দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩ ও ৭ এর ল.সা.গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

অপশন টেস্ট অনুযায়ী, 
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অন্যদিকে,
৩০৩,৩৪১ ও ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: ব্যাংকে ৮৫০০ টাকা রেখে ৪ বছর পরে সুদাসলে ১১২২০ টাকা পেলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত ছিল? 

সমাধান:
এখানে, 
আসল, P = ৮৫০০ টাকা 
সময়, n = ৪ বছর 
সুদ, I = সুদ-আসল - আসল 
= (১১২২০ - ৮৫০০) টাকা 
= ২৭২০ টাকা 
সুদের হার, r = ? 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
বা, r = (I/Pn) × ১০০% 
= ২৭২০/(৮৫০০ × ৪) × ১০০% 
= ৮% 

∴ সুদের হার, r = ৮%।

মনে করি, রাকিব ও মাহির এর আয় ৩ক ও ২ক টাকা
রাকিব ও মাহির এর ব্যয় ৫খ ও ৩খ টাকা
∴ রাকিবের সঞ্চয় = ৩ক - ৫খ = ১০০০ ............(১)
মাহির সঞ্চয় = ২ক - ৩খ = ১০০০ ...............(২)
(১) ও (২) নং সমাধান করে পাই,
ক = ২০০০ এবং খ = ১০০০
∴ রাকিবের আয় = (৩ × ২০০০) =৬০০০ টাকা

২০% লাভে, ১২০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৪০০ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (২৪০০х১০০)/১২০ = ২০০০টাকা
২০%ক্ষতিতে ৮০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৪০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (২৪০০х১০০)/৮০ = ৩০০০ টাকা
মোট ক্রয়মূল্য ২০০০+৩০০০ = ৫০০০টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৪০০+২৪০০ = ৪৮০০টাকা
∴ লোকসান = ২০০ টাকা

প্রশ্ন: করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত 3 : 5। তাদের দুইজনের মাসিক আয় একত্রে 9600 টাকা। এক বছর পর রহিমের আয় 100 টাকা বেড়ে গেলে এবং করিমের আয় 250 টাকা কমে গেল। এক বছর পর করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
করিম ও রহিমের আয় যথাক্রমে 3x ও 5x

প্রশ্নমতে,
3x + 5x = 9600
বা, 8x = 9600
বা, x = 9600/8
∴ x = 1200

∴ এক বছর পরে করিম ও রহিমের মাসিক আয়ের অনুপাত হবে = 
(3x - 250) : (5x + 100)
= (3 ⋅ 1200 - 250) : (5 ⋅ 1200 + 100)
= (3600 - 250) : (6000 + 100)
= 3350 : 6100
= 67 : 122

প্রশ্ন: রুবেল 300 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 2টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 5 টাকা কম হতো। রুবেল কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো? 

সমাধান: 
ধরি, খাতার সংখ্যা = x
⇒ প্রতি খাতার দাম = 300/x
যদি 2টি বেশি খাতা কিনত, তবে প্রতি খাতার দাম = 300/(x + 2)
প্রশ্ন অনুসারে,
300/x – 300/(x + 2) = 5
⇒ 300(2)/(x(x + 2)) = 5
⇒ 600 = 5x(x + 2)
⇒ 5x² + 10x – 600 = 0
⇒ x² + 2x – 120 = 0
⇒ (x + 12)(x – 10) = 0
⇒ x = - 12 (গ্রহণযোগ্য নয়), x = 10 (ধনাত্মক সংখ্যা)

∴ রুবেল 10টি খাতা কিনেছিল।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কিমি গতিতে চলমান ৯০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ২১০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ অতিক্রম করতে কত সেকেন্ড সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ২১০ মিটার

ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘণ্টা
= ৭২ × (১০০০/৩৬০০)
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

∴  ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য+ ব্রিজের দৈর্ঘ্য
= ৯০+ ২১০
 = ৩০০ মিটার।

সময় = দূরত্ব/ গতিবেগ
= ৩০০/২০
= ১৫ সেকেন্ড

সুতরাং, ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে ১৫ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: (২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
(২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু

এখন,
২, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু = ১
৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৩০।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ ও ৩০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
সবগুলো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু = ২^২ × ৩^২ × ৫ = ১৮০ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (১৮০ - ৭) = ১৭৩

প্রশ্ন: ৪% হার সুদে কত টাকার ২ বছরের সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য ১ টাকা হবে?

সমাধান: 
মনেকরি
মূলধন = P
সময় n = ২ বছর
এখন
সরল মুনাফা = Pnr
= P × ২ × (৪/১০০)
= ২P/২৫ 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা I₂ = P[(1 + r)ⁿ - 1]
= P[(১ + ১/২৫)² - ১]
= P[(২৬/২৫)^২  - ১]
= P[(৬৭৬/৬২৫) - ১]
= P[(৬৭৬ - ৬২৫)/৬২৫]
= ৫১P/৬২৫

এখন
∴ (৫১P/৬২৫) - (২P/২৫) = ১ 
⇒ (৫১P - ৫০P)/৬২৫ = ১ 
⇒ P/৬২৫ = ১ 
∴ P = ৬২৫ 

ধরি, সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য x মিটার
আমরা জানি,
বেগ ( v ) = সরণ(s) / সময়(t)
এখানে বেগ = ( ৭২ × ১০০০ ) / ৩৬০০ = ২০ মি./সে.
সরণ = ৭০০ + x
সময় = ৬০ সে
প্রশ্নমতে,
⇒ ( ৭০০ + x ) / ৬০ = ২০
⇒ x = ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: ৫ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে কত হয়?

সমাধান:
৫ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে হয় = (৫/৪) × ১০০
= ১২৫%

মনে করি,
ভগ্নাংশটি x/y
∴ x + y = 5 ............. (1)
∴ x - y = 1 ............. (2)
(1)নং + (2)নং থেকে পাই,
2x = 6
∴ x = 3
(1) নং থেকে পাই,
y = 2

∴ ভগ্নাংশটি = 3/2

প্রশ্ন: ৯০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:

৯০০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৩^২ × ৫^২

এখানে,
২ এর সূচক = ২
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ২

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩ × ৩
= ২৭

∴ ৯০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৭।

প্রশ্ন: A একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে এবং B একই কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। B কাজটি ১২ দিন করার পর চলে যায়। তাহলে বাকি কাজটি A একা কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
B একা,
১৬ দিনে কাজ করে = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ দিনে কাজ করে = ১/১৬ অংশ
∴ ১২ দিনে কাজ করে = ১২/১৬ = ৩/৪ অংশ

এখন,
কাজটি ১২ দিন করার পর B চলে যাওয়ায় বাকি কাজ = ১ - (৩/৪) অংশ
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪ অংশ

আবার,
A একা, কাজটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ করতে পারে = ২৪ দিনে
∴ ১/৪ অংশ শেষ করতে পারে = ২৪ × (১/৪) = ৬ দিনে

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোবাইল ফোন ১৪৪ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হয়, যদি তিনি ১০% লাভ করতে চায় তাহলে কত টাকা বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ 
∴ বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ = ১০/৯ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৪৪ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০ × ১৪৪)/৯ = ১৬০ টাকা

আবার, 
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০/১০০ = ১১/১০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১৬০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১ × ১৬০)/১০ = ১১ × ১৬ = ১৭৬ টাকা 

সুতরাং, ১০% লাভ করতে চাইলে মোবাইল ফোনটি ১৭৬ টাকায় বিক্রি করতে হবে।

প্রশ্ন: প্রথম ১০টি ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম সংখ্যা = ১
শেষ সংখ্যা = ১০
পদ সংখ্যা = ১০

সমষ্টি = {(১ম পদ + শেষ পদ) × পদ সংখ্যা}/২
= {(১ + ১০) × ১০}/২
= (১১ × ১০)/২
= ৫৫

∴ প্রথম ১০টি সংখ্যার গড় = ৫৫ ÷ ১০
= ৫.৫