পাটিগণিত

করিম ১ ঘন্টায় যায় ৩ মাইল। এবং আগে রওনা দেওয়ায় বাকি থাকে (৪৫ - ৩) = ৪২ মাইল

উভয়ে একত্রে ১ ঘন্টায় অতিক্রম করে (৩ + ৪) = ৭ মাইল
উভয়ে একত্রে ৪২ মাইল অতিক্রম করে ৪২/৭ = ৬ ঘন্টায়

৬ ঘন্টায় রহিম টাঙ্গাইল থেকে ঢাকা অভিমূখে ৬ × ৪ = ২৪ কিমি হেটে করিমের সাথে দেখা হয়।

প্রশ্ন: 4000 টাকার উপর প্রতি বছর 5% বার্ষিক সরল মুনাফা দিলে কত বছরে মুনাফা আসলে 4400 টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুদ, I = (4400 - 4000) = 400
আসল, P = 4000
সুদের হার, r = 5%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, n = I/Pr
= 400/(4000 × 5%)
= 400/{4000 × (5/100)}
= 400/200
= 2 

∴ সময় লাগবে = 2 বছর।

১২- ৫ = ৭; ১৬ - ৯ = ৭
এখন,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
∴ ১২, ১৬ এর লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ২ = ৪৮
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যা = ৪৮ - ৭ = ৪১

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ১ম সংখ্যা = ৯ক
২য় সংখ্যা = ১২ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৯ × ৬ = ৫৪
২য় সংখ্যা = ১২ × ৬ = ৭২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৫৪

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৬ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৮ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৬ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৬ অংশ = ১/৩ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (১ - ১/৩) = ২/৩ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৮ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৬) - (১/৮)
= (৪ - ৩)/২৪
= ১/২৪

১/২৪ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ পূর্ণ হয় = (২ × ২৪)/৩ = ১৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ১৬) ঘণ্টা = ১৮ ঘণ্টা 

নিয়ম-১ঃ
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২² × ৩²
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯টি।
নিয়ম-২ঃ
৩৬ = ১ × ৩৬ = ২ × ১৮ = ৩ × ১২ = ৪ × ৯ = ৬ × ৬
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ = ৯টি।

৫৬ মিটার দৈর্ঘ্যের ১/৪ হলো বিস্তার।
∴বিস্তার= ৫৬/৪ = ১৪ মিটার।
∴ পরিসীমা = ২(৫৬+১৪) = ১৪০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ২/৫ অংশ মাটির নিচে, ১/৫ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৪ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = X মিটার 

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (২/৫ + ১/৫) × X অংশ
= (৩X/৬) অংশ 

আবার,
পানির উপরে আছে = {X - (৩X/৫)} = (২X/৫) অংশ 

প্রশ্নমতে,
২X/৫ = ৪
বা, ২X = ২০
বা, X = ২০/২
∴ x = ১০

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার।

প্রশ্ন: ৯০ কোন সংখ্যার ৭৫%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
৭৫% এর ক = ৯০
⇒ (৭৫/১০০) × ক = ৯০
⇒ ক = (৯০ × ১০০)/৭৫
⇒ ক = ১২০

৫০% কমে দৈনিক মজুরী (১০০ - ১০০ এর ৫০%) টাকা
= (১০০ - ১০০ এর ৫০/১০০) টাকা
= ৫০ টাকা
৬০% বৃদ্ধিতে বর্তমান দৈনিক মজুরী = (৫০ + ৫০ এর ৬০%) টাকা
= (৫০ + ৫০ এর ৬০/১০০) ''
= (৫০ + ৩০) ''
= ৮০ টাকা

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩) = ২৪, (৪০ - ৪) = ৩৬ এবং (৬৫ - ৫) = ৬০ এর গ.সা.গু. -
২৪)৩৬(১
     ২৪
     ー
     ১২) ২৪ (২
          ২৪
          ー
          ০
এবং ১২)৬০(৫
           ৬০
            ー
            ০
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ১২

প্রশ্ন: যদি x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি, x = 1 এবং y = 3
তাহলে, 
ক) x + y + xy
= 1 + 3 + 1 × 3
= 4 + 3
= 7 ; বিজোড় সংখ্যা

খ) x + y 
= 1 + 3 
= 4 ; জোড় সংখ্যা

গ) x + y + 1 
= 1 + 3 + 1
= 5 ; বিজোড় সংখ্যা

ঘ) x² + y² + 1 
= (1)² + (3)² + 1
= 1 + 9 + 1
= 11 ; বিজোড় সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) x + y

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৩০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= (১৬ + ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = ৩০/২০ ঘণ্টা
= ৩/২ ঘণ্টা

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= (১৬ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৩০/১২ = ৫/২ ঘণ্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = (৩/২) + (৫/২) ঘণ্টা।
= (৩ + ৫)/২ ঘণ্টা
= ৮/২  ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা।
৪০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = ১৪০ টাকায়।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = ১৪০/৮০ টাকায়।
বিক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = (১৪০ X ৪০)/৮০ টাকায়।
= ৭০ টাকায়।

ধরি,
বড় সংখ্যাটি x
তাহলে, ছোট সংখ্যাটি x/2
প্রশ্নমতে,
x X (x/2) = 18
=> x² = 36
∴ x = 6

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) হলো যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √৪৯ = ৭; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।
খ) √(১৬/২৫) = ৪/৫; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।
গ) ০.৬২৫ = ৬২৫/১০০০ = ৫/৮; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১৮ = √(৯ × ২) = ৩√২; যেহেতু ২ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১৮ একটি অমূলদ সংখ্যা। 

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) √১৮

১০০০ টাকায় ৮ মাসের লাভ ১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১২মাসের লাভ = (১০০ × ১২ × ১২০)/(১০০০ × ৮)
= ১৮ টাকা

প্রশ্ন: ৮% বার্ষিক হারে ২ বছরের জন্য কোনো আসলের উপর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ৬৪ টাকা হলে, আসল কত?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা
হার, r = ৮%
সময়, n = ২ বছর

সরল মুনাফা:
I = Pnr/১০০
= (P × ২ × ৮)/১০০
= ০.১৬P

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা:
CI = P{১ + (r/১০০)}^২ - P
= P{১ + (৮/১০০)}^২ - P
= P{(১০৮/১০০)^২ - P
= P(১.০৮)^২ - P
= P × ১.১৬৬৪ - P
= ০.১৬৬৪P

প্রশ্নমতে,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা − সরল মুনাফা = ৬৪ টাকা
⇒ ০.১৬৬৪P - ০.১৬P = ৬৪
⇒ ০.০০৬৪P = ৬৪
⇒ P = ৬৪/০.০০৬৪
∴ P = ১০,০০০

∴ আসল = ১০,০০০ টাকা

মনে করি, আয় ও ব্যয় যথাক্রমে ৫ক এবং ৩ক
শর্তমতে,
৫ক - ৩ক = ১০০০০
⇒ ২ক = ১০০০০
∴ ক = ৫০০০
∴ ব্যয় = ৩ x ৫০০০ = ১৫০০০ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭: ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ১৪০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৭ক এবং ৫ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/৩৫
⇒ ক = ৪

সুতরাং, প্রথম সংখ্যাটি = ৭ × ৪ = ২৮
এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৫ × ৪ = ২০

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ২৮ ও ২০

Let the cost of the article be x.
Then, cost paid by retail merchant = 95% of 120% of x
= ((95/100)×(120/100)×x) = ((114/100)x)
= 114% of x.
∴ Profit = 14%

শর্টকাটে,
১২০ = ৪ × ৫ × ৬
সুতরাং সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫

প্রশ্ন: ৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ৭টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ?

সমাধান:
৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট = (৬ × ২) + (৫ × ৩)
= ১২ + ১৫
= ২৭ টাকা

৭ টি ৫ টাকার নোট = (৭ × ৫) = ৩৫ টাকা
অতএব, ২৭/৩৫ = ২৭/৩৫ অংশ

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৫২০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান: 
এখানে,
মূলধন, P = ৫২০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৫২০০(১ + ১/২০)^২
= ৫২০০ × (২১/২০)^২
= ৫২০০ × (২১/২০) × (২১/২০) 
= ৫৭৩৩ টাকা 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৫৭৩৩ টাকা।

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু - ২, ল.সা.গু ৩৬০ এবং একটি সংখ্যা ১০।
আমরা জানি, গ.সা.গু × ল.সা.গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২ × ৩৬০)/১০ = ৭২

(৫০০×৪)+(৬০০×৫)
= ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫০০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ৫০০/৫০০০ টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (৫০০×১০০)/৫০০০ টাকা
= ১০ টাকা বা ১০%

প্রশ্ন: কামালের আয় জামালের দ্বিগুণ, জামালের আয় মাহিমের তিনগুণ। তাদের গড় আয় ২০০০০ টাকা হলে, জামালের আয় কত? 

সমাধান:
ধরা যাক, মাহিম, জামাল ও কামালের আয় যথাক্রমে ক টাকা, ৩ক টাকা ও ৬ক টাকা।

প্রশ্নমতে,
(ক + ৩ক + ৬ক)/৩ = ২০০০০ 
ক + ৩ক + ৬ক = ৩ × ২০০০০ 
⇒ ১০ক  = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০

∴ জামালের আয় = (৩ × ৬০০০) টাকা
= ১৮০০০ টাকা