পাটিগণিত

১২ টি আমড়ার ক্রয়মূল্য = ৪৮ টাকা
∴ ১ টি আমড়ার ক্রয়মূল্য = ৪৮/১২ = ৪ টাকা
১ টি আমড়ার বিক্রয়মূল্য = ৬ টাকা
১ টি আমড়াতে লাভ = ৬ - ৪
= ২ টাকা
∴ লাভের হার = (২ × ১০০)/৪
= ৫০%

প্রশ্ন: একটি বইয়ের মূল্য 24 টাকা। এই মূল্য প্রকৃত মূল্যের 80%। বাকি মূল্য সরকার ভর্তুকি দিয়ে থাকেন। সরকার প্রতি বইয়ে কত টাকা ভর্তুকি দেন?

সমাধান:
বাজার মূল্য = প্রকৃত মূল্যের 80%

আমরা জানি,
p = br
এখানে,
p = 24 টাকা এবং r = 80% = 80/100

∴ 24 = b × r
বা, b = 24/r
বা, b = 24/(80/100)
বা, b = (24 × 100)/80
∴ b = 30
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য 30 টাকা
∴ ভর্তুকি মূল্য = (30 - 24) = 6 টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যার চেয়ে যথাক্রমে ২৫% এবং ৪০% কম। তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কত শতাংশ কম?

সমাধান: 
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি হলো ১০০ 

প্রথম সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ২৫% কম।
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ১০০ - [(২৫/১০০) × ১০০] = ১০০ - ২৫ = ৭৫

আবার, 
দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ৪০% কম। 
∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ১০০ - [(৪০/১০০) × ১০০] = ১০০ - ৪০ = ৬০

∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার পার্থক্য = ৭৫ - ৬০ = ১৫ 

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কম = (১৫/৭৫) × ১০০% = ২০% 

• এখানে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল।
• তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭+৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২+৩) বছর = ৫ বছর।
• সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০+৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫+৫) বছর = ১০ বছর
• সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ঃ১০
= ৭ঃ২ বছর।

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 5 : 35 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {|11M - 60H|}/2 
= {|(11 × 35) - (60 × 5)|}/2 
= {|385 - 300|}/2 
= 85/2 
= 42.5°

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১৪ = ২ × ৭
২৫ = ৫ × ৫ 

১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪, ২৫ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৬০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৩০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৬০০ জন
∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৬০০ এর ৩০%
= ৬০০ এর ৩০/১০০
= ১৮০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৬০০ - ১৮০) জন
= ৪২০ জন।

১/২ অংশ করতে লাগে ২০ দিন
১ অংশ করতে লাগে (২০ ÷ (১/২)) = ৪০ দিন

১৫ জন করে ৪০ দিনে
১ জন করে (৪০ × ১৫) দিনে
২০ জন করে (৪০ × ১৫)/২০ = ৩০ দিনে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ৫০,০০০ টাকা ব্যাংকে জমা করে বছরের সুদ বাবদ ২০০০ টাকা আয় করেন। ঐ ব্যাংকে সুদের হার কত?

সমাধান:
৫০,০০০ টাকার ১বছরের সুদ = ২০০০ টাকা 
১ টাকার ১বছরের সুদ = ২০০০/৫০০০০ টাকা 
১০০ টাকার ১বছরের সুদ = (২০০০ × ১০০)/৫০০০০ টাকা 
= ৪ টাকা 

বছরের সুদ বাবদ ২০০০ টাকা বলতে 
৫০০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ২০০০ টাকা বোঝাচ্ছে। 

6 × 7 = 42,
7 × 8 = 56,
10 × 11 = 110,
11 × 12 = 132

3x + 3y + 3z = 90
⇒ 3(x + y + z) = 90
⇒ (x + y + z) = 30

∴ x, y, z এর গড় = 30/3 = 10

প্রশ্ন: যদি 20A = 30B = 50C হয়, তাহলে A : B : C এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
20A = 30B = 50C

ধরি, 20A = 30B = 50C = k
এখন, 
A = k/20
একইভাবে, 
B = k/30 এবং C = k/50

অনুপাত, A : B : C
⇒ (k/20) : (k/30) : (k/50)
⇒ 1/20 : 1/30 : 1/50
⇒ (300/20) : (300/30) : (300/50) ; [20, 30, 50 এর ল.সা.গু. = 300]
⇒ 15 : 10 : 6

∴ A : B : C = 15 : 10 : 6

প্রশ্ন: চালের মূল্য ২০% হ্রাস পাওয়ায় একটি পরিবার চালের ব্যবহার কত শতাংশ বাড়ালে খরচ অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
ধরি, পূর্বে চালের মূল্য ছিল ১০০ টাকা
২০% মূল্য হ্রাসে চালের বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) টাকা = ৮০ টাকা

খরচ অপরিবর্তিত রাখতে হলে, এখন ৮০ টাকায় যে পরিমাণ চাল পাওয়া যায়, তার পরিবর্তে ১০০ টাকার সমান মূল্যের চাল ব্যবহার করতে হবে।

বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ছিল ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য ছিল ১০০/৮০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ছিল = (১০০ × ১০০)/৮০ টাকা 
= ১২৫ টাকা

∴ চালের ব্যবহার বাড়াতে হবে (১২৫ - ১০০)% = ২৫%

প্রশ্ন: ৪, ৬ এবং ১০ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ম : ২য় = ৩য় : ৪র্থ 
⇒ ৪র্থ = (২য় × ৩য়)/১ম
⇒ ৪র্থ = (৬ × ১০)/৪ 
⇒ ৪র্থ = ৬০/৪ 
∴ ৪র্থ = ১৫ 

সুতরাং, চতুর্থ সমানুপাতী ১৫

১টি কমলার ক্রয়মূল্য = ১০০০/১০০ = ১০ টাকা
১টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ১৪৪/১২ = ১২ টাকা
লাভ = ১২ - ১০
= ২ টাকা
∴ লাভের হার = (২ × ১০০)/১০
= ২০%

প্রশ্ন: (2/7), (3/7) ও (5/14) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে- 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 

এখন, 
ভগ্নাংশগুলোর লব(2, 3, 5) এর ল.সা.গু = 30
ভগ্নাংশগুলোর হর(7, 7, 14) এর গ.সা.গু = 7

∴ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = 30/7

অতএব, (2/7), (3/7) ও (5/14) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) = 30/7

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৮ এবং ল.সা.গু ৫০৪০। একটি সংখ্যা ৬৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৬৩০ × অপর সংখ্যা = ৫০৪০ × ১৮
⇒ অপর সংখ্যা = (৫০৪০ × ১৮)/৬৩০
∴ অপর সংখ্যা = ১৪৪

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৪৪।

প্রশ্ন: ২৮৮ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান:
২৮৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ২ × (৩ × ৩)

এখানে, ২ জোড়া বিহীন
∴ ২ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১০ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ১০ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ১০) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ১০) টাকা 
= ২০ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২০ টাকা । 

৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
∴ গ.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ = ১৬