পাটিগণিত

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x এর ৬০% = ৪৮
বা, ৬০x/১০০ = ৪৮
বা, x = (৪৮ × ১০০)/৬০ = ৮০

প্রশ্ন: ১/৩ এর শতকরা কত ৫/৬ হবে?

সমাধান:
১/৩ এর ক% = ৫/৬
বা, (১/৩) এর (ক/১০০) = ৫/৬
বা, ক/৩০০ = ৫/৬
বা, ৬ক = ১৫০০
বা, ক = ২৫০

∴ ক = ২৫০%

ধরি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y. সুতরাং প্রশ্নানুসারে-
x+y = 7 ………… (i)
x-y = 3 …………. (ii)
(i) + (ii) ⇒ x+y+x-y = 7+3
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই-
5+y = 7
⇒ y = 2
∴ ভগ্নাংশটি 5/2.

1/28+1/14 – 1/42
= (3+6-2)/84
= 7/84
= 1/12
So, Reacquired time 12 min.

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত? 

সমাধান: 
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩২১০
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল = (৫৩২১০ - ১০২৩৫) 
= ৪২৯৭৫। 

প্রশ্ন: এক হালি ডালিম ২০০ টাকায় ক্রয় করে অপর এক ব্যক্তির কাছে প্রতিটি ডালিম ৪০ টাকা করে বিক্রয় করলে প্রতিটি ডালিম বিক্রিতে শতকরা কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
হালি = ৪টি 
৪টি ডালিম ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা
∴ ১টি ডালিমের ক্রয় মূল্য = ২০০/৪ = ৫০ টাকা

১টির বিক্রয়মূল্য = ৪০ টাকা

∴ প্রতিটি ডালিমে ক্ষতি = ৫০ - ৪০ = ১০ টাকা

∴ ৫০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০ টাকা 
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০/৫০ = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, প্রতিটি ডালিম বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়।

শর্টকাট:
শতকরা ক্ষতি = (ক্ষতির পরিমাণ/ক্রয় মূল্য) × ১০০
= (১০/৫০) × ১০০
= ০.২ × ১০০
= ২০%

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৪% হার সরল সুদে ৫ বছরে সুদাসল ৬০০ টাকা হলে আসল কত টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা
এখানে,
সুদের হার = ৪%
সময় = ৫ বছর
সুদাসল (আসল + সুদ) = ৬০০ টাকা

আমরা জানি,
সুদ, I = pnr/১০০

আবার,
সুদাসল = আসল + সুদ
∴ সুদ = সুদাসল - আসল

তাহলে,
৬০০ - P = (P × ৪ × ৫)/১০০
বা, ৬০০ - P = (২০P) / ১০০
বা, ৬০০ - P = P/৫
বা, ৬০০ = P + (P/৫)
বা, ৬০০ = (৫P + P)/৫
বা, ৬P = ৬০০ × ৫
বা, P = ৫০০ টাকা

∴ আসল = ৫০০ টাকা

প্রশ্ন:কোনো স্কুলে একদিন ১৩৫ জন ছাত্র অনুপস্থিত ছিল। অনুপস্থিতির হার ৩% হলে ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
৩ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা ১০০ জন 
১ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা ১০০/৩ জন 
১৩৫ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা (১০০ × ১৩৫)/৩ জন
= ৪৫০০

মুনাফার হার বাড়ে = (১০% -৮%)= ২%
অর্থাৎ, ১০০ টাকায় ১ বছরে আয় বাড়ে ২ টাকা
১০০ টাকায় ৪ বছরে আয় বাড়ে ২×৪ = ৮ টাকা
এখন,
আয় ৮ টাকা বাড়লে তার মূলধন ১০০ টাকা
আয় ১ টাকা বাড়লে তার মূলধন ১০০/৮ টাকা
আয় ১২৮ টাকা বাড়লে তার মূলধন (১০০×১২৮)/৮ টাকা
= ১৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৬টি আপেল এবং ৯টি কমলা সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
যখন কোনো জিনিস সমান সংখ্যায় ভাগ করে বা সমান সংখ্যক করে কোনো পাত্রে বা প্যাকেটে রাখার কথা বলা হয়, তখন প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) বের করতে হয়।

৬ ও ৯ এর গ.সা.গু = ৩

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৩ টি

প্রশ্ন: ১ মিটার প্রায় কত ইঞ্চি?

সমাধান:
আমরা জানি,
• ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)।
• ১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)।
• ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)।
• ১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)।
• ১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)।

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ২০% বাড়ালো, অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২০% কমালো। সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায়-

সমাধান:
একটি পণ্যের মূল্য ২০% বৃদ্ধি করায় নতুন মূল্য হয় = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা।

অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২০% কমালে = [১২০ - {১২০ × (২০/১০০)}] টাকা
= (১২০ - ২৪) টাকা
= ৯৬ টাকা।

সুতরাং সর্বশেষ মূল্য প্রথম মূল্যের তুলনায় কম = (১০০ - ৯৬) টাকা।
= ৪ টাকা 

প্রশ্ন: ৮ জনের একটি দলের ৫৬ কেজি ওজনের এক জনের পরিবর্তে অপর একজন যুক্ত হলে, গড় ওজন ২.৫ কেজি হ্রাস পায়। নতুন ব্যক্তিটির  ওজন কত? 

সমাধান:
ধরি, 
৮ জন গড় ওজন = ক কেজি 
৮ জন মোট ওজন = ৮ক কেজি 
আবার, 
নতুন ব্যক্তির ওজন = খ কেজি হলে, 
নতুন ৮ জনের গড় ওজন = (ক - ২.৫) কেজি 
∴ নতুন ৮ জনের মোট ওজন = {(ক - ২.৫) × ৮} কেজি 

প্রশ্নমতে, 
৮ক - ৫৬ + খ = {(ক - ২.৫) × ৮}
⇒ ৮ক - ৫৬ + খ = ৮ক - ২০
⇒ ৮ক + খ - ৮ক = - ২০ + ৫৬ 
∴ খ = ৩৬ 

∴ নতুন ব্যক্তির ওজন = ৩৬ কেজি ।

প্রশ্ন: ক, খ এবং গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ এবং ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় ৮ : ২৫ মিনিট হলে প্রকৃত সময় কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় এবং প্রকৃত সময়ের যোগফল সর্বদা ১২ : ০০ (অথবা ১১ : ৬০) হয়।

∴ প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ - আয়নার দেখা সময়
= ১১ : ৬০ - ৮ : ২৫
= ৩ : ৩৫

∴ প্রকৃত সময় হল ৩ : ৩৫ মিনিট।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৩ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/৪ + ১/২ ) × x অংশ = (৩x/৪) অংশ 
এবং পানির উপরে আছে = (১ - ৩x/৪) = (x/৪) অংশ 

প্রশ্নমতে,
x/৪ = ৩
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ক্যাম্পে ১৮০০ শ্রমিকের ৫০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১৫ দিন পর কিছু শ্রমিক অন্য কাজে চলে গেল। বাকি খাদ্য অবশিষ্ট শ্রমিকদের আরো ৪০ দিন চললো। কতজন শ্রমিক অন্য কাজে চলে গিয়েছিল?

 সমাধান:

 ১৫ দিন পর খাবার অবশিষ্ট থাকে = (৫০ - ১৫) দিনের
= ৩৫ দিনের।

 ৩৫ দিনের খাবার আছে = ১৮০০ জনের
∴ ১ দিনের খাবার আছে = (১৮০০ × ৩৫) জনের
∴ ৪০ দিনের খাবার আছে = (১৮০০ × ৩৫)/৪০ জনের
= ১৫৭৫ জনের

∴ অন্যত্র চলে যাওয়া শ্রমিকের সংখ্যা = (১৮০০ - ১৫৭৫) জন
= ২২৫ জন।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের পাঁচগুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ক - ১, ক, ক + ১
গুণফল = (ক - ১) × ক × (ক + ১)

যোগফল = (ক - ১) + ক + (ক + ১) = ৩ক

প্রশ্নমতে,
(ক - ১) × ক × (ক + ১) = ৫ × ৩ক
বা, ক × (ক^২ - ১) = ১৫ক
বা, ক^২ - ১ = ১৫
বা, ক^২ = ১৬
বা, ক = ৪

সুতরাং তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ৩, ৪, ৫

তিনটি সংখ্যার গড় = (৩ + ৪ + ৫) ÷ ৩ = ১২ ÷ ৩ = ৪

১২% লাভে, ৮০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (১১২×৮০০)/১০০ = ৮৯৬
১০% কমে, ৮০০ টাকার দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = (৯০×৮০০)/১০০ = ৭২০
∴ লাভ = ৮৯৬ - ৭২০ = ১৭৬ টাকা

ধরি, রফিকের আগের বেতন ছিল = x টাকা
প্রশ্নমতে, x + x এর ৩০% = ১১০৫
বা, x + ৩০x/১০০ = ১১০৫
বা, ১৩০x = ১১০৫০০
বা, x = ৮৫০ টাকা

যে সকল সংখ্যার গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা তাদের কে মৌলিক সংখ্যা বলে।
এখানে ২৬৩, ২৪১, ২৩৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা।
কিন্তু ২৫৩/১১ = ২৩ পাওয়া যায় তাই ২৫৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা নয় তাই ২৫৩ সংখ্যাটি মৌলিক নয়।

প্রশ্ন: A : B = ৫ : ৭, B : C = ৮ : ৯ এবং C : D = ৩ : ৫ হলে A : D = কত?

সমাধান:
A : B = ৫ : ৭ = (৫ × ৮) : (৭ × ৮) = ৪০ : ৫৬

B : C = ৮ : ৯ = (৮ × ৭) : (৯ × ৭) = ৫৬ : ৬৩

C : D = (৩ × ২১) : (৫ × ২১) = ৬৩ : ১০৫

আবার, A : C = ৪০ : ৬৩

∴ A : D = ৪০ : ১০৫ = ৮ : ২১

8, 10, 12 এর ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
এতে সৈন্যদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, তাদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং সৈন্যদেরকে বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি সৈন্য সংখ্যা = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3) = 3600 জন হয়।
এবং এখানের অপশনগুলোর মধ্যে ৩৬০০ই ১২০ এর গুণিতক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

- এখানে ২ এর সূচক জোড়, কিন্তু ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড় (১)।
- বর্গাকৃতিতে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হবে। পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ এবং একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৬০ × ৩ × ৫
= ৬০ × ১৫
= ৯০০ জন

প্রশ্ন: ৩/৭ এর শতকরা কত ৯/১৪ হবে?

সমাধান:
ধরি, ৩/৭ এর ক% = ৯/১৪
⇒ (৩/৭) × (ক/১০০) = ৯/১৪
⇒ ৩ক/৭০০ = ৯/১৪
⇒ ৩ক × ১৪ = ৯ × ৭০০
⇒ ৪২ক = ৬৩০০
⇒ ক = ৬৩০০/৪২
∴ ক = ১৫০%

অতএব, ৩/৭ এর ১৫০% হলো ৯/১৪।

গণিতে ফেল করে = ১০০% - ৮০% =২০%
বাংলায় ফেল করে = ১০০% - ৯০% =১০%
গণিতে ও বাংলায় ফেল করে = ২০%+১০% = ৩০%
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস করে = ১০০% -৩০% =৭০%
এখন,
৭০ জন পাস হলে ছাত্র ১০০
১ জন পাস হলে ছাত্র ১০০/৭০
৩৫০ জন পাস হলে ছাত্র (১০০×৩৫০) /৭০ = ৫০০ জন

{(৩/৫)/(৩/৪)} × ১০০%
= (৩/৫) × (৪/৩) × ১০০%
= ৮০%

২/৩ = ০.৬৭
৩/৫ = ০.৬
৮/১১ = ০.৭৩
১৭/২৭ = ০.৬৩

Let the required number of days be x
Less men, More days (Indirect proportion)
∴ 42:56::24:x
⇒ 42×x = 56×24
⇒ x = (56×24)/42
⇒ x = 32

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
​৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ সেগুলো হলো = ৪৩, ৫৩, ৭৩।

এই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি,
= (৪৩ + ৫৩ + ৭৩)
= ১৬৯

অতএব, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি হলো ১৬৯।

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যেকোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
আসল = x টাকা
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা
= ২x টাকা

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা
= ২৫ টাকা

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

প্রশ্ন: ১৬ এর কত শতাংশ ৪৪ হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
১৬ এর x% = ৪৪ 
⇒ ১৬ × (x/১০০) = ৪৪ 
⇒ ১৬x = ৪৪ × ১০০ 
⇒ x = (৪৪ × ১০০)/১৬ 
⇒ x = ১১ × ২৫
∴ x = ২৭৫%

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।
এখন, ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গু = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ - ৫ = ২৯৫