পাটিগণিত

প্রশ্ন: যদি একটি বাস ১৩৫ কি.মি. যায় ৩ ঘন্টায়, তাহলে একই গতিতে ২৪৩ কি.মি. যেতে বাসটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১৩৫ কি.মি. দূরত্বে সময় লাগে = ৩ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ১৩৫/৩
= ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা

এখন, ২৪৩ কি.মি. যেতে কত সময় লাগবে,
সময় = দূরত্ব/গতিবেগ
= ২৪৩/৪৫ 
= ৫.৪ ঘণ্টা

সুতরাং, বাসটির ২৪৩ কি.মি. যেতে লাগবে ৫.৪ ঘণ্টা।

ধরি ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে ২৮% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য = ১০০ - ২৮ = ৭২
∴ বিক্রয়মূল্যঃক্রয়মূল্য = ৭২ঃ১০০ = ১৮ঃ২৫

প্রশ্ন: ৭০০ টাকা A, B ও C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করো যেন A পায় B এর অর্ধেক এবং B পায় C এর অর্ধেক। তাহলে, C কত টাকা পাবে?

সমাধান:
ধরি, C পায় = ক টাকা
তাহলে, B পায় = C-এর অর্ধেক = ক/২
এবং A পায় = B-এর অর্ধেক = (ক/২)/২ = ক/৪

দেওয়া আছে, 
এখন তিনজনের মোট টাকা = ৭০০ টাকা
⇒ A + B + C = ৭০০
⇒ (ক/৪) + (ক/২) + ক = ৭০০
⇒ (ক + ২ক + ৪ক)/৪ = ৭০০
⇒ ৭ক/৪ = ৭০০
⇒ ৭ক = ৭০০ × ৪
⇒ ক = ২৮০০/৭
∴ ক = ৪০০

সুতরাং, C পায় ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৭৮০মি. ও ৯৭০ মি. লম্বা বিপরীত মুখী দুইটি ট্রেন একটি আরেকটিকে কত সময়ে অতিক্রম করবে যদি তাদের গতি যথাক্রমে ৭২ ও ৫৪ কি.মি./ঘন্টা হয়?

সমাধান: 
প্রথম ট্রেনের ক্ষেত্রে ৭২কি.মি/ঘন্টা = ৭২০০০/৩৬০০ 
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

দ্বিতীয় ট্রেনের ক্ষেত্রে ৫৪ কি.মি/ঘন্টা = ৫৪০০০/৩৬০০ 
= ১৫ মিটার/সেকেন্ড

বিপরীত মুখী ট্রেন হওয়ায় আপেক্ষিক গতি = ২০ + ১৫ 
= ৩৫ মিটার/সেকেন্ড

মোট দূরত্ব = ৯৭০ + ৭৮০ মিটার 
= ১৭৫০ মিটার

তাহলে সময় = ১৭৫০/৩৫ 
= ৫০ সেকেন্ড

∴একটি ট্রেন আরেকটি ট্রেনকে অতিক্রম করতে সময় নিবে ৫০ সেকেন্ড। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮.৫ শতাংশ সমান ৬৮?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৮.৫% = ৬৮
⇒ ক × (৮.৫/১০০) = ৬৮
⇒ ক × (৮৫/১০০০) = ৬৮
⇒ ক = (৬৮ × ১০০০)/৮৫
∴ ক = ৮০০

ধরি, পণ্যটির দাম ১০০ টাকা
৪০% বৃদ্ধিতে পণ্যের দাম ১৪০ টাকা
বর্ধিত মূলের উপর ১০% কমানো হলে পাওয়া যায় = ১৪০ - ১৪০ এর ১০% = ১২৬ টাকা
অর্থাৎ মোটের উপর দাম বাড়লো ১২৬ - ১০০ = ২৬%

ধরি, দৈর্ঘ্য ক ও প্রস্থ খ
তাহলে, ক্ষেত্রফল = কখ
দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১.১ক
ও প্রস্থ ১০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ০.৯খ
নতুন ক্ষেত্রফল = ০.৯৯কখ
ক্ষেত্রফল হ্রাস = কখ - ০.৯৯কখ = ০.০১কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (০.০১ × ১০০)/১০০ = ১%

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ১০ - ১০ + [১০ × (-১০)]/১০০
= -১

প্রশ্ন: ৭/৯, ২/৩ এবং ১৪/১৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু) 

এখন, লবগুলো হলো ২, ৭, ১৪ এর গ.সা.গু = ১ 
হরগুলো ৩, ৯, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪৫ 

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু)
= ১/৪৫ 

মধ্য সমানুপাতটি a হলে, ৪ × ৪৯ = a²
বা, a = √(৪ × ৪৯)
= ২ × ৭
= ১৪

প্রশ্ন: আয়নায় দেখা গেলো ঘড়িতে 8 : 40 বাজে। প্রকৃতপক্ষে সময় কত? 

সমাধান: 
প্রকৃত সময় = 11 : 60 - আয়নায় সময় 
= 11 : 60 - 8 : 40 
= 3 : 20

৪×৫×৬ = ১২০
৪+৫+৬ = ১৫

প্রশ্ন: দুইজন ব্যক্তি একই বিন্দু থেকে একই সময়ে পরস্পর বিপরীত দিকে দৌড় শুরু করল। এদের মধ্যে একজনের বেগ অন্যজনের তুলনায় ঘণ্টায় ৪ মাইল বেশি হলে এবং ২ ঘণ্টা পর দুইজনের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২০ মাইল হলে, দ্রুততর ব্যক্তির বেগ কত? 

সমাধান:

ধরি,
ধীরগতির ব্যক্তির বেগ = x মাইল/ঘণ্টা
তাহলে, দ্রুততর ব্যক্তির বেগ = x + ৪ মাইল/ঘণ্টা

যেহেতু, তারা পরস্পর বিপরীত দিকে দৌড়াচ্ছে,
∴ আপেক্ষিক বেগ = x + (x + ৪)
= ২x + ৪ মাইল/ঘণ্টা

দেওয়া আছে,
২ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২০ মাইল

প্রশ্নমতে,
(২x + ৪) × ২ = ২০
⇒ ২x + ৪ = ১0
⇒ ২x = ৬
⇒ x = ৩
অর্থাৎ, ধীরগতির ব্যক্তির বেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা

∴ দ্রুততর ব্যক্তির বেগ = ৩ + ৪ = ৭​ মাইল/ঘণ্টা  

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে এবং ৭৫% শিক্ষার্থী রসায়নে পাশ করল। যদি ৬৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
পদার্থবিজ্ঞানে পাশ করেছে = ৮৫%
রসায়নে পাশ করেছে = ৭৫%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (পদার্থবিজ্ঞানে পাশ) + (রসায়নে পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮৫ + ৭৫ - ৬৫)%
= (১৬০ - ৬৫)%
= ৯৫%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯৫)%
= ৫%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ৫ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: জাকির ও রুবেলের বেতনের অনুপাত = ৩ : ৪। জাকিরের বেতন ২৫% বৃদ্ধি এবং রুবেলের বেতন ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন অনুপাত কত হবে? 

সমাধান:
জাকির : রুবেল = ৩ : ৪
জাকিরের বেতন ২৫% বৃদ্ধি, রুবেলের ১০%
ধরি,
বেতন = ৩x এবং ৪x
তাহলে বৃদ্ধি,
জাকির = 3x × 1.25 = 3.75
রুবেল = 4x × 1.10 = 4.4

নতুন অনুপাত = 3.75 : 4.4 = 375 : 440 = 75 : 88

∴ নতুন অনুপাত = ৭৫ : ৮৮

এখানে,
মূলধন, p = ৮০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ১০% = ১০/১০০
সময়, n = ২ বছর
∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, c = p(১ + r)ⁿ
= ৮০০(১ + ১০/১০০)^২
= ৮০০ × (১১০/১০০)^২
= ৯৬৮ টাকা

প্রশ্ন: ৩২০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৩২০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
= ২^৬ × ৫^১

এখানে, ২-এর ঘাত হলো ৬, যা একটি জোড় সংখ্যা। কিন্তু ৫-এর ঘাত হলো ১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

৫-এর ঘাত জোড় করতে হলে আরও একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।
৩২০ × ৫ = ১৬০০ = ৪০^২

সুতরাং, ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

প্রশ্ন: ২০ জন লোক একটি দেয়াল ১৫ দিনে তৈরি করতে পারে। ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে কতজন লোক লাগবে?

সমাধান:
১৫ দিনে দেয়াল তৈরি করে ২০ জন
১ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫) জন
১০ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫)/১০ জন
= ৩০ জন 

সুতরাং, ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে ৩০ জন লোক লাগবে।

ধরি, ১১০ টাকা দামের চা ক কেজি = ১১০ক টাকা
∴ ১০০ টাকা দামের চা ২ক কেজি = ১০০ × ২ক = ২০০ক টাকা
প্রশ্নমতে,
১২০×(ক + ২ক) - (১১০ক + ২০০ক) = ২০০০
বা, ৩৬০ক - ৩১০ক = ২০০০
বা, ক = ২০০০/৫০ = ৪০
সুতরাং ২য় প্রকারের চা = ২×৪০ = ৮০ কেজি

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা । 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ৪৮০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করেছে। একটি চেয়ার ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করেছে। সব মিলিয়ে কত টাকা লোকসান হয়েছে?

সমাধান: 
১ম চেয়ারের বিক্রয় মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ১ম চেয়ারের ক্রয় মূল্য = (৪৮০০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৪০০০ টাকা

আবার,
২য় চেয়ারের বিক্রয় মূল্য = ৮০ টাকা
∴ ২য় চেয়ারের ক্রয় মূল্য = (৪৮০০ × ১০০)/৮০ টাকা
= ৬০০০ টাকা

∴ মোট বিক্রয় মূল্য = (৪৮০০ + ৪৮০০) টাকা
= ৯৬০০ টাকা
এবং
মোট ক্রয় মূল্য = (৪০০০ + ৬০০০) টাকা
= ১০০০০ টাকা

∴ মোট লোকসান = (১০০০০ - ৯৬০০) টাকা
= ৪০০ টাকা

∴ সব মিলিয়ে লোকসান হয়েছে = ৪০০ টাকা।

অনুপাতের যোগফল = ৫+১ = ৬
৩৬ জনের ঐ ক্লাসে বালকের সংখ্যা (৩৬ এর ৫/৬) জন = ৩০ জন।
এবং বালিকার সংখ্যা (৩৬ এর ১/৬) = ৬ জন।
বালকদের গড় বয়স বালিকাদের সংখ্যার দ্বিগুণ অর্থাৎ (৬ X ২) বা ১২ বছর।
বালকদের মোট বয়স (৩০ X ১২) = ৩৬০ বছর।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার মুনাফায় ১ বছরের মুনাফা আসলের ১/৪ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ৪ টাকা 
মুনাফা = ৪ এর ১/৪ অংশ = ১ টাকা 
সময় = ১ বছর 

মুনাফার = (আসল × সময় × মুনাফার হার)/১০০
বা, মুনাফার হার = (মুনাফা × ১০০)/(আসল × সময়) = (১ × ১০০)/(৪ × ১) = ২৫

অর্থাৎ মুনাফার হার ২৫% হলে ১ বছরের মুনাফা আসলের ১/৪ অংশ হবে।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কি.মি বেগে চলমান একটি ট্রেন ৩৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ২৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
৭২ কি.মি = ৭২০০০ মিটার

৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০/৩৬০০ মিটার
∴ ২৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৭২০০০ × ২৫)/৩৬০০ মিটার
= ৫০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫০০ - ৩৫০) মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার

প্রশ্ন: আটটি সংখ্যার গড় ২০। যদি তাদের মধ্যে থেকে একটি সংখ্যা বাদ দেওয়া হয়, তবে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর গড় ১৮ হয়। যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি কত?

সমাধান:
আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৮ × ২০ = ১৬০ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দেওয়ার পর সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৭ × ১৮ = ১২৬

∴ বাদ দেওয়া সংখ্যাটি = (আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি) - (সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি)
= ১৬০ - ১২৬ = ৩৪

∴ যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি হলো ৩৪।

প্রদত্ত অপশনগুলোতে √9 একটি মূলদ সংখ্যা।
= √9
= 3

প্রশ্ন: ৭২ কোন সংখ্যার ৩০%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
তাহলে,
ক এর ৩০% = ৭২
⇒ ক × (৩০/১০০) = ৭২
⇒ ক = ৭২ × (১০০/৩০)
⇒ ক = ২৪০

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ২৪০

১৪৩ = ১১×১৩,
৬৩ = ৩×২১,
২৫৩ = ১১×২৩,
২৪১ = ১×২৪১

প্রশ্ন: ৩০,০০০ টাকার যোগিক মুনাফায় ১২% হারে ২ বছর পর মুনাফা কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল (P) = ৩০,০০০ টাকা
সুদের হার (r) = ১২%
সময় (n) = ২ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধি মূল, A = P{1 + (r/100)}ⁿ 
= ৩০,০০০ × {১ + (১২/১০০)^২
= ৩০,০০০ × (১১২/১০০)^২ 
= ৩০,০০০ × (১১২/১০০) × (১১২/১০০) 
= ৩৭,৬৩২ টাকা

∴ মুনাফা = ৩৭,৬৩২ - ৩০,০০০
= ৭,৬৩২ টাকা

মনে করি চিনির আগের মূল্য = ১০০ টাকা
১৩% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ১৩ = ১১৩ টাকা
১১৩ টাকাতে খরচ কমাতে হবে = ১৩ টাকা
১০০  ''         ''       ''     '' = (১৩×১০০)/১১৩ = ১১.৫ টাকা

প্রশ্ন: চালের দাম ২৫% বেড়ে গেলে, মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রেখে চালের ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে?

সমাধান:
মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে চালের ব্যবহার কমাতে হবে।

২৫% বৃদ্ধিতে চালের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ১০,০০০/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ চালের ব্যবহার কমিয়েছেন = (১০০ - ৮০)%
= ২০%

২০% লাভে নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (২০০+ ২০০ এর ২০%) = (২০০ + ৪০) = ২৪০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয় মূল্য (২৪০ + ২৪০ এর ২০%) = (২৪০ + ৪৮) = ২৮৮ টাকা।

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে ৮৯ ও ৩১
এদের অন্তর = ৮৯ - ৩১ = ৫৮।

প্রশ্ন: ২ হতে ৪০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যার শুধুমাত্র দুটি গুণনীয়ক ১ এবং সংখ্যাটি নিজেই।

এখন, 
২ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ = ১২টি।

প্রশ্ন: কোনো আসল যদি ৫ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হয়ে যায়, তাহলে সরল সুদের হার শতকরা কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ৫ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৫) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৫) টাকা 
= ৪০ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ৪০ টাকা

আমরা জানি,
I = Prn
r = I/Pn
r = ১৫০০/(৩০০০ × ৫)
r = ১/১০
r = ১০%
শতকরা বার্ষিক মুনাফার হার ১০ টাকা।

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৭৫ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪০। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৬
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৫৬ × ১০) = ৫৬০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৭৫
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭৫ × ৪) = ৩০০

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৪০
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪০) = ২০০

এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)

∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি -  প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৫৬০ - ৩০০ - ২০০
= ২৬০ - ২০০
= ৬০

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ৬০।