পাটিগণিত

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

৮০ এর উৎপাদক = {২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০, ৪০, ৮০} = ৯টি,
৮৮ এর উৎপাদক = {২, ৪, ৮, ১১, ২২, ৪৪, ৮৮} = ৭টি,
৯৫ এর উৎপাদক = {৫, ১৯, ৯৫} = ৩টি,
৯৯ এর উৎপাদক = {৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯} = ৫টি

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৮৯ এবং ৩১।
এদের পার্থক্য = ৮৯ - ৩১ = ৫৮ 

পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
√(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।

এখন, ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করিঃ
১০২৪ = ১ X ১০২৪
= ২ X ৫১২
= ৪ X ২৫৬
= ৮ X ১২৮
= ১৬ X ৬৪
= ৩২ X ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: একজন চা ব্যবসায়ী এক বাক্স চা পাতা কেজি প্রতি ৮০ টাকা হিসাবে ক্রয় করেন। সব চা পাতা কেজি প্রতি ৭৫ টাকা দরে বিক্রয় করায় ৫০০ টাকা ক্ষতি হয়। তিনি কত কেজি চা পাতা ক্রয় করেছিলেন? 

সমাধান: 
কেজি প্রতি চা পাতার ক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা 
কেজি প্রতি চা পাতার বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা 
__________________________________
∴ ১ কেজি চা পাতা বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় = ৫ টাকা 

এখন, 
৫ টাকা ক্ষতি হয় = ১ কেজিতে 
∴ ১ টাকা ক্ষতি হয় = ১/৫ কেজিতে 
∴ ৫০০ টাকা ক্ষতি হয় = (১ × ৫০০)/৫ কেজিতে 
= ১০০ কেজিতে 

∴ চা পাতা ক্রয় করেছিলেন = ১০০ কেজি।

প্রশ্ন: ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত ৪৯ : ১ হলে ২০০ কেজি ইস্পাতে কার্বনের পরিমাণ কত?

সমাধান:
লোহা ও কার্বনের অনুপাত ৪৯ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৪৯ + ১ = ৫০ 

২০০ কেজি ইস্পাতে কার্বনের পরিমাণ = ২০০ এর ১/৫০
= ৪ কেজি

প্রশ্ন: ৮টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৪টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪টির গড় ২১। সম্মিলিতভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৮টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪০ × ৮) = ৩২০
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ২১) = ৮৪

∴ ১২টি সংখ্যার গড় = (৩২০ + ৮৪) / ১২ = ৩৩.৬৭ (প্রায়)

উত্তর- ৩৩.৬৭ (প্রায়)

দেওয়া আছে, কঃখ = ৩ঃ৪ = ৯ঃ১২ (৩ দ্বারা গুণ করে)
এবং খঃগ = ৬ঃ৭ = ১২ঃ১৪ (২ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং কঃখঃগ = ৯ঃ১২ঃ১৪।

মনেকরি, কমলের আয় x টাকা
∴ আলমের আয় x এর ৮০% = ( x × (৮০/১০০)) টাকা = ৪x/৫ টাকা
আলমের আয় ৪x/৫ হলে কমলের আয় x টাকা
∴ ” ” ১ ” ” ” ৫x/৪x ”
∴ ” ” ১০০ ” ” ” (৫x × ১০০)/৪x ”
= ১২৫%

১.১ × ০.০১ = ০.০১১

প্রশ্ন: A, B এবং C একটি ব্যবসার জন্য মোট ৫০,০০০ টাকা বিনিয়োগ করেন। A, B-এর চেয়ে ১০০০০ টাকা বেশি এবং B, C-এর চেয়ে ৫,০০০ টাকা বেশি বিনিয়োগ করেন। C এর বিনিয়োগের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
C এর বিনিয়োগের পরিমাণ x টাকা
B এর বিনিয়োগের পরিমাণ (x + ৫০০০) টাকা
A এর বিনিয়োগের পরিমাণ (x + ৫০০০ + ১০০০০) বা (x + ১৫০০০) টাকা

শর্তমতে,
x + (x + ৫০০০) + (x + ১৫০০০) = ৫০০০০
বা, ৩x + ২০০০০ = ৫০০০০
বা, ৩x = ৫০০০০ - ২০০০০
বা, ৩x = ৩০০০০
বা, x = ৩০০০০/৩
∴ x = ১০০০০

∴ C এর বিনিয়োগের পরিমাণ ১০০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৬ ও ১২ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ 

১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/৬) + (১/১২) অংশ
=(২ + ১)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৪ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৪)/১  = ৪ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৮,০০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৮,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৮,০০০(১ + ১/১০)^৩
= ৮,০০০ × (১১/১০)^৩
= ৮,০০০ × (১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০)
= ৮,০০০ × ১৩৩১/১০০০
= ১০,৬৪৮ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০,৬৪৮ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম ও রাজশাহীর দূরত্ব ৪২০ কিমি। একটি বাস চট্টগ্রাম থেকে সকাল ৬:৩০ মিনিটে ছেড়ে বিকাল ৪:৩০ মিনিটে রাজশাহী পৌঁছালে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিমি/ঘণ্টা?

 সমাধান:
ছাড়ার সময় = ৬:৩০
পৌঁছানোর সময় = ১৬ : ৩০ [৪:৩০ মিনিটকে ২৪ ঘন্টা ফরম্যাটে = ১৬ : ৩০]

∴ মোট সময় = ১০ ঘন্টা

গড় গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪২০ / ১০
= ৪২ কিমি/ঘন্টা

∴ গতিবেগ ৪২ কিমি/ঘন্টা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০০। একটি সংখ্যা ৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭৫ × অপর সংখ্যা = ৯০০ × ১৫
⇒ অপর সংখ্যা = (৯০০ × ১৫)/৭৫
⇒ অপর সংখ্যা = ৯০০/৫ 
⇒ অপর সংখ্যা = ১৮০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৮০।

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬ হলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ৫ক টাকা
এবং 
বিক্রয়মূল্য = ৬ক টাকা
∴ লাভ = (৬ক - ৫ক) টাকা
= ক টাকা

∴ শতকরা লাভ = (ক/৫ক) × ১০০% 
= ২০% । 

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭ + ৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২ + ৩) বছর = ৫ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০ + ৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫ + ৫) বছর = ১০ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ : ১০
= ৭ : ২ বছর।

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ২০% লাভে বিক্রয় করা হলে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য হয় ৪০০০ টাকা। মোবাইলটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
মোবাইলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০)
= ১২০ টাকা

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) = ২০ টাকা

২০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/২০ টাকা
∴ ৪০০০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৪০০০)/২০ টাকা
= ২৪০০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩০, ৭০ ও ৩৮৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
৩০ = ১ × ২ × ৩ × ৫
৫০ = ১ × ২ × ৫ × ৭
৩৮৫ = ১ × ৫ × ৭ × ১১

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৫ × ৭ × ১১
= ৩০ × ৭ × ১১
= ২১০ × ১১
= ২৩১০