PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ৫ / ১৬৯ · ৪০১–৫০০ / ১৬,৯৯১
৮ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট বয়স = (৮ × ৮) = ৬৪ বছর
শিক্ষকসহ ৮ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট বয়স = {৯×(৮+৭)} = ১৩৫ বছর।
∴ শিক্ষকের বয়স = ১৩৫ - ৬৪ = ৭১ বছর।
প্রশ্ন: ৬৫৫৯ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান:
এখানে,
৮১ × ৮১ = ৬৫৬১
প্রদত্ত সংখ্যা = ৬৫৫৯
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৬৫৬১ - ৬৫৫৩) = ২
প্রশ্ন: ক, খ ও গ ৩৬০ টাকা নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। ক ও খ-এর মূলধন সমান, কিন্তু গ-এর মূলধন ৩০ টাকা বেশি। মোট ৭২ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?
সমাধান:
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ-এর মূলধন = (x + ৩০) টাকা
প্রশ্নমতে,
x + x + (x + ৩০) = ৩৬০
⇒ ৩x + ৩০ = ৩৬০
⇒ ৩x = ৩৩০
⇒ x = ১১০
∴ ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x + ৩০)
= ১১০ : ১১০ : ১৪০
= ১১ : ১১ : ১৪
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ১১ + ১১ + ১৪
= ৩৬
∴ গ-এর লাভ = (৭২ এর ১৪/৩৬) টাকা
= ২৮ টাকা
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100
প্রশ্ন: সোনালী ব্যাংকে আরিফ নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৪ বছরে আসলের ৩/২ অংশ হয়। মুনাফার হার কত?
সমাধান:
আসল = P হলে,
অর্থাৎ, আরিফ সোনালী ব্যাংকে P পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন।
মুনাফা, I = মুনাফা সহ আসল - আসল
বা, I = আসলের ৩/২ অংশ - আসল
বা, I = P × (৩/২) - P
বা, I = (৩P/২) - P
বা, I = (৩P - ২P)/২
বা, I = P/২
আমরা জানি,
মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, P/২ = (P × ৪ × r)/১০০
বা, ১/২ = (৪ × r)/১০০
বা, ১/২ = r/২৫
বা, r = ২৫/২
∴ r = ১২.৫%
অর্থাৎ মুনাফার হার = ১২.৫%
পূর্ণ সংখ্যা (Integers):
শূন্য সহ সকল ধনাত্বক ও ঋণাত্বক অখণ্ড সংখ্যা সমূহকে পূর্ণ সংখ্যা বলা হয়।
যেমন: .............., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি। সাধারণত পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ, Z = {.........., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি} ।
ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number):
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q যদি সহমৌলিক হয় এবং q ≠ 0, q ≠ 1 হয় তবে p/q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়।
যেমন: 1/2, 2/3, 5/6,- 5/2 ইত্যাদি।
p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়।
যেমন: 1/3, 2/3, 2/7, ......... ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 3/2, 5/3, 7/2, 9/4, ............ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
মূলদ সংখ্যা (Rational Number):
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q এবং q ≠ 0 হলে, আকারের সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। মূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ, Q = {p/q | p,q ∈ Z এবং q ≠ 0, p ও q সহমৌলিক} ।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number):
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অমূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমন: π, √2, √3, √(5/2) ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
প্রশ্ন: ১ ইঞ্চি = কত সে.মি?
সমাধান:
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়),
১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)।
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়),
১ কি.মি = ০.৬২ মাইল (প্রায়) এবং
১ মাইল = ১.৬১ কি.মি. (প্রায়)।
প্রশ্ন: a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়?
সমাধান:
দেওয়া আছে, a ও b উভয়ই বিজোড় সংখ্যা।
ধরি, a = 1 এবং b = 3 (উভয়ই বিজোড়)
এখন, প্রতিটি অপশনে মান বসাই:
ক) ab = 1 × 3 = 3 (বিজোড়)
খ) b + 2a + 2 = 3 + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7 (বিজোড়)
গ) a + b + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 (বিজোড়)
ঘ) 2a + 4b = 2(1) + 4(3) = 2 + 12 = 14 (জোড়)
∴ সঠিক উত্তর: ঘ) 2a + 4b
গাণিতিক গড় সমান হতে হলে সংখ্যাত্রয়ীর যোগফল সমান হতে হবে।
∴৬+৮+১০=২৪
এবং ৭+৯+ক=২৪
বা,ক=৮
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লব এর ল.সা.গু)/(হর এর গ.সা.গু)
১, ২, ৩ এর ল.সা.গু = |১, ২, ৩ = ৬
৪, ৫, ৩ এর গ.সা.গু = ১
সুতরাং, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৬/১
= ১
প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। পিতার বয়স কত?
সমাধান:
মনে করি,
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (১০০ - x) বছর
প্রশ্নমতে,
x = ৪ (১০০ - x)
বা, x = ৪০০ - ৪x
বা, x + ৪x = ৪০০
বা, ৫x = ৪০০
বা, x = ৪০০/৫
∴ x = ৮০
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৮০ বছর
প্রশ্ন: ৩/৭ এর শতকরা কত ৯/১৪ হবে?
সমাধান:
ধরি, ৩/৭ এর ক% = ৯/১৪
⇒ (৩/৭) × (ক/১০০) = ৯/১৪
⇒ ৩ক/৭০০ = ৯/১৪
⇒ ৩ক × ১৪ = ৯ × ৭০০
⇒ ৪২ক = ৬৩০০
⇒ ক = ৬৩০০/৪২
∴ ক = ১৫০%
অতএব, ৩/৭ এর ১৫০% হলো ৯/১৪।
মোট সময় = ২+৫ = ৭ ঘন্টা
মোট দূরত্ব = ৬+৬ = ১২ মাইল
∴ গড় বেগ = ১২/৭ = ১ (৫/৭)
৪৫০ টাকার x% = ৪৫০ × x/১০০
আবার, ২০০ টাকার ৯% = ২০০ × ৯/১০০
∴ ৪৫০x/১০০
= ২০০ × ৮৯ / ১০০
বা, x = ২০০ × ৯ / ৪৫০ = ৪
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
∴ ৫ক ও ৬ক এর গ.সা.গু = ক
প্রশ্নমতে,
গ.সা.গু = ক
∴ ক = ৪
∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে-
৫ক = ৫ × ৪ = ২০
এবং
৬ক = ৬ × ৪ = ২৪
এখন,
২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ১২০
সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১২০ ।
আম পাওয়ার অনুপাত= 1/3 : 1/5 : 1/9
= 15:9:5 [সকল পক্ষকে 45 দ্বারা গুণ করে]
এখন, রাশিগুলোর যোগফল 29।
অতএব, প্রথম ভাই পাবে = 261 × 15/29 = 135
দ্বিতীয় ভাই পাবে = 261 × 9/29 = 81টি,
এবং তৃতীয় ভাই পাবে 261 × 5/29 = 45টি।
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গের চার-পঞ্চমাংশ ৮০ হলে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে,
x২ × (৪/৫) = ৮০
⇒ x২ = (৮০ × ৫)/৪
⇒ x২ = ২০ × ৫
⇒ x২ = ১০০
⇒ x = √১০০
∴ x = ১০
প্রশ্ন: পিতা-মাতার গড় বয়স ৩৮ বছর। তিনজনের (পিতা, মাতা, মেয়ে) গড় বয়স ২৮ হলে, মেয়ের বয়স নির্ণয় করুন।
সমাধান:
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩৮ বছর
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = (৩৮ × ২) বছর
= ৭৬ বছর
পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের গড় ২৮ বছর
পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের সমষ্টি = (২৮ × ৩) বছর
= ৮৪ বছর
মেয়ের বয়স = (৮৪ - ৭৬) বছর
= ৮ বছর
রিমা ও মুক্তার বিনিয়োগের অনুপাত = ৬০০ঃ৯০০
= ২ঃ৩ (৩০০ দ্বারা ভাগ করে)
সুতরাং মুক্তা পাবে = ৩/৫ × ২১০
= ১২৬ টাকা।
প্রশ্ন: একজন ছাত্রের প্রথম পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ৮৫। তৃতীয় পরীক্ষার পর তার নম্বরের গড় ৮৭ থেকে ৮২ হয়। ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্রটির প্রথম পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫
এবং তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গড় = ৮২
∴ তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (৮২ × ৩) = ২৪৬
সুতরাং, ২য় ও ৩য় পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (২৪৬ - ৮৫) = ১৬১
∴ ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় = ১৬১ / ২ = ৮০.৫
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x - 742 = 830 - x
বা, x + x = 830 + 742
বা, 2x = 1572
বা, x = 1572/2
∴ x = 786.
প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী ২০০ টাকায় ৮ কেজি আলু ক্রয় করেন। পরে তিনি ৫ কেজি আলু ১৪০ টাকায় বিক্রি করেন। তাঁর শতকরা লাভ কত?
সমাধানঃ
১ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ২০০/৮
= ২৫ টাকা
১ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১৪০/৫
= ২৮ টাকা
লাভ = ২৮ - ২৫ = ৩ টাকা
২৫ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (৩/২৫) টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (৩ × ১০০) / ২৫
= ১২%
∴ব্যবসায়ীর শতকরা লাভ ১২%
১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
৫/৬ = ০.৮৩৩৩৩
১২/১৫ = ০.৮
১৭/২১ = ০.৮০৯৫
সুতরাং ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ হচ্ছে ১১/১৪
প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?
সমাধান:
২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।
এখানে,
২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
∴ ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫ × ৭ = ৬৩০০
∴ সর্বমোট ৬৩০০ টি গাছ লাগাতে হবে।
প্রশ্ন: ৪ বছরে ১০০০ টাকার সুদসহ মোট ১২০০ টাকা হলে, ৩০০ টাকার ২ বছরের সরল সুদ কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = সুদাসল - আসল
= (১২০০ - ১০০০) টাকা
= ২০০ টাকা
এখানে,
১০০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ২০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ২০০/(১০০০ × ৪) টাকা
∴ ৩০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (২০০ × ৩০০ × ২)/(১০০০ × ৪) টাকা
= ৩০ টাকা।
ধরি,
চতুর্থ সমানুপাতিক = x
∴ ৬ঃ৮ = ৯ঃx
বা, ৬/৮ = ৯/x
বা, ৬x = ৭২
∴ x = ১২
প্রশ্নমতে, মিনা/রিনা = ৫/৭ …………..( ১ )
রিনা/মাহি = ৪/৫ ……………..( ২ )
১ ও ২ নং রাশি গুণ করে পাই,
মিনা/মাহি = ৪/৭
মাহি = ( ৭ × ১২০ )/৪ = ২১০ টাকা
∴ মাহির আয় = ২১০ টাকা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ২১৬ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)
প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ২১৬
বা, ৩ক + ৩ = ২১৬
বা, ৩ক = ২১৬ - ৩
বা, ৩ক = ২১৩
বা, ক = ২১৩ / ৩
∴ ক = ৭১
∴ বড় সংখ্যাটি হলো= ক + ২ = ৭১ + ২ = ৭৩
প্রশ্ন: একটি ৬০ মিটার দীর্ঘ ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলেছে। ট্রেনটি রাস্তার পাশের একটি খুঁটি অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?
সমাধান:
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৩৬ কি.মি. = (৩৬ × ১০০০) মিটার
= ৩৬০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট
= (৬০ × ৬০) সেকেন্ড
= ৩৬০০ সেকেন্ড
খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।
ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে
ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে
∴ ট্রেনটি ৬০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৬০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে
= ৬ সেকেন্ডে
৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৬০
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৪ × ৬০ = ৪৫
আবার, ২/৩ × ৬০ =৪০
আবার, ৪/৫ × ৬০ = ৪৮
এবং ৫/৬ × ৬০ = ৫০
সুতরাং সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।
প্রশ্ন: ৫ জন তাঁতি ৫ দিনে ৫ টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে ১০ জন তাঁতি ১০ দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে?
সমাধান:
৫ জন তাঁতি ৫ দিনে মাদুর তৈরি করে = ৫ টি
∴ ১ জন তাঁতি ১ দিনে মাদুর তৈরি করে = ৫/(৫ × ৫) টি
∴ ১০ জন তাঁতি ১০ দিনে মাদুর তৈরি করে = (৫ × ১০ × ১০)/(৫ × ৫) টি
= ২০ টি
∴ ২০ টি মাদুর তৈরি করতে পারবে।
প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় নেয়, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সেই সময়ের দ্বিগুণ সময় লাগে। সম্পূর্ণ যাতায়াতে মোট ১৫ ঘণ্টা সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগে?
সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা
∴ মোট যাতায়াতের সময় = x + ২x = ১৫
⇒ ৩x = ১৫
⇒ x = ১৫ ÷ ৩
∴ x = ৫ ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির ৫ ঘণ্টা সময় লাগে।