পাটিগণিত

4a = 2 × 2 × a
6a = 2 × 3 × a
সুতরাং, 4a ও 6a এর গ.সা.গু = 2a।

প্রশ্ন: তিনটি কাঠের টুকরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার। এগুলোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটলে একেকটি তক্তার সর্বাধিক দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: অমূলদ সংখ্যা কোনটি?

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং যার দশমিক অংশ অনন্ত ও অপরাবর্তক।

এখানে, 
√49 = 7 ⇒ মূলদ সংখ্যা
√7 ⇒ পূর্ণবর্গ নয়, তাই অমূলদ সংখ্যা 
√(8/18) = √(4/9) = 2/3 ⇒ মূলদ সংখ্যা
0.5 = 1/2 ⇒ মূলদ সংখ্যা

∴ অমূলদ সংখ্যা √7 

প্রশ্ন: তানভীর এপ্রিল মাসে দৈনিক গড়ে ৩২০০ টাকা আয় করে। মাসের প্রথম ২০ দিন সে গড়ে প্রতিদিন ১৮০০ টাকা খরচ করে এবং বাকি দিনগুলোতে প্রতিদিন ২০০০ টাকা করে খরচ করে। মাস শেষে তার আয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
এপ্রিল মাসে মোট দিন = ৩০
∴ ৩০ দিনে মোট আয় = ৩২০০ × ৩০
= ৯৬০০০ টাকা

প্রথম ২০ দিনের খরচ = ২০ × ১৮০০
= ৩৬০০০ টাকা

পরবর্তী ১০ দিনের খরচ = ১০ × ২০০০
= ২০০০০ টাকা

সর্বমোট খরচ = ৩৬০০০ + ২০০০০
= ৫৬০০০ টাকা

∴ সঞ্চয় = ৯৬০০০ − ৫৬০০০
= ৪০০০০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৯৬০০০ : ৪০০০০
= ৯৬ : ৪০
= ১২ : ৫

প্রশ্ন: একটি ট্রেন একটি খুঁটি অতিক্রম করতে ২০ সেকেন্ড এবং একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ৫০ সেকেন্ড সময় নেয়। প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = x মি.
এবং প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য  = y মি.

শর্তমতে,
x/২০ = (x + y)/৫০
⇒ x/২ = (x + y)/৫
⇒ ৫x = ২x + ২y
⇒ ৩x = ২y
⇒ y/x = ৩/২
∴ y : x = ৩ : ২

সুতরাং, প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য : ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩ : ২

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ১১টি সংখ্যার যোগফল = ৩৯৬

প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় ২৮.৫
∴ এদের সমষ্টি = (২৮.৫ × ৬) = ১৭১

শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৪৩.৫
∴ এদের সমষ্টি = (৪৩.৫ × ৬) = ২৬১

এখানে, মোট ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (২৬১ + ১৭১) = ৪৩২

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = (৪৩২ - ৩৯৬) = ৩৬

প্রশ্ন: যদি মাসের ৫ম দিন বৃহস্পতিবার হয়, তাহলে মাসের ২৬তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
মাসের ৫ম দিন বৃহস্পতিবার হলে, 
৫ + ৭ = ১২ = বৃহস্পতিবার
১২ + ৭ = ১৯ = বৃহস্পতিবার
১৯ + ৭ = ২৬ = বৃহস্পতিবার

সুতরাং, মাসের ২৬তম দিন হবে বৃহস্পতিবার। 

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৮ হলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
এখানে ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮ টাকা।
∴ লাভ = (৮ - ৫) টাকা 
= ৩ টাকা 

∴ শতকরা লাভ হবে = (লাভ × ১০০)/ক্রয়মূল্য
= (৩ × ১০০)/৫
= ৩ × ২০
= ৬০ টাকা

∴ শতকরা ৬০% লাভ হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 9 এবং তাদের ল.সা.গু 189। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 7x এবং 9x.
∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x
এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল = 63x²

আমরা জানি,
দুইটির গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
63x² = 189 × x
63x = 189
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3 × 7 = 21 এবং 3 × 9 = 27

প্রশ্নমতে, ২x/৩ - x/৩ = ১৭০০
বা, (২x - x)/৩ = ১৭০০
∴ x = ৫১০০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
আসল, P = ৮০০
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০ 
সময়, n = ২ বছর 

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৮০০ × {১ + (১/১০)}^২
= ৮০০ × (১১/১০)^২
= ৮০০ × (১২১/১০০)
= ৮০০ × ১.২১ 
= ৯৬৮ 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৯৬৮ । 

সুদাসল = ১৬২০ টাকা
আসল = ১৩৫০ টাকা
সুদ = ২৭০ টাকা
আমরা জানি,
সময় = (১০০× সুদ)/(আসল×হার)
=(১০০ × ২৭০)/(১৩৫০ × ১০)
= ২ বছর
∴বার্ষিক ১০% হার সুদে ১৩৫০ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে ১৬২০ টাকা হবে।

প্রশ্ন: ৮ টি সংখ্যার গড় ৪৫। এর সাথে ৪ টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪ টির গড় ৩০। সমষ্টিগত ভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 ৮টি সংখ্যার গড় ৪৫
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি (৪৫ × ৮) = ৩৬০

এবং
৪ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৩০) = ১২০

∴ (৮ + ৪) বা ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬০ + ১২০) = ৪৮০

∴ ১২ টি সংখ্যার গড় = (৪৮০/১২) = ৪০

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. গিয়ে এবং প্রতিকূলে ৩ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
মোট সময় = (২ + ৩) ঘণ্টা = ৫ ঘণ্টা
মোট দূরত্ব = (১৫ + ১৫) কি.মি. = ৩০ কি.মি. 

∴ ঘণ্টায় গড় গতিবেগ = (৩০/৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:
৫/৬ = ০.৮৩৩...
৩/৫ = ০.৬
৭/৯ = ০.৭৭৭...
১১/১৫ = ০.৭৩৩...

তুলনা করলে পাই,
০.৮৩৩ > ০.৭৭৭ > ০.৭৩৩ > ০.৬
অর্থাৎ, ৫/৬ > ৭/৯ > ১১/১৫ > ৩/৫

∴ ৫/৬ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪৫ মিনিটে এক শহর থেকে আরেক শহরে পৌঁছায়। দুটি শহরের দূরত্ব ৬০ মাইল হলে, ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৬০ মাইল
সময় = ৪৫ মিনিট = (৪৫/৬০) ঘণ্টা
= ৩/৪ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= ৬০/(৩/৪)
= ৬০ × (৪/৩)
= (৬০ × ৪)/৩
= ৮০ মাইল প্রতি ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৮০ মাইল প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: বাঁশের ৪/৯ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং বাকি ১০ মিটার পানির উপরে। বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

কাদায় ও পানিতে আছে= {(৪ক/৯) + (ক/৩)} অংশ
= {(৪ক + ৩ক)/৯} অংশ
= ৭ক/৯ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৭ক/৯)
= (৯ক - ৭ক)/৯ অংশ
= ২ক/৯ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/৯ = ১০ মিটার
⇒ ২ক = ৯ × ১০ 
⇒ ২ক = ৯০
⇒  ক = ৯০/২ 
⇒  ক = ৪৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৪৫ মিটার

প্রশ্ন: ৩৪৩ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৩৪৩ = ৭ × ৭ × ৭ = ৭^৩

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ৭ এর ঘাত ৩ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ৩৪৩ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: ৩ দিনে একটি কাজের ১/৯ অংশ শেষ হয়। তাহলে ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/৯ অংশ কাজ করে ৩ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (৯ × ৩) দিনে
= ২৭ দিনে।

সুতরাং, তিন গুণ কাজ করে = (২৭ × ৩) দিনে
= ৮১ দিনে

প্রশ্ন: ২০ বৎসর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ ছিল। ৪ বৎসর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বর্তমানে পিতার বয়স = x বৎসর 
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স = y বৎসর 
প্রথম শর্তানুসারে, x - ২০ = ৪(y - ২০) ........ (1) 
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x + ৪ = ২(y + ৪) ............ (2) 

(1) নং হতে পাই, 
x = ২০ + ৪y - ৮০ 
বা, x = ৪y - ৬০ ..........(3) 

x-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
৪y - ৬০ + ৪ = ২(y + ৪) 
বা, ৪y - ৫৬ = ২y + ৮ 
বা, ৪y - ২y = ৫৬ + ৮ 
বা, ২y = ৬৪
বা, y = ৬৪/২
∴ y = ৩২

y-এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = ৪ × ৩২ - ৬০
= ১২৮ - ৬০
∴ x = ৬৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬৮ বৎসর।

প্রশ্ন: একটি ভেড়া ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ভেড়াটি আরও ১২০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ভেড়াটির ক্রয়মূল্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ভেড়াটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, ৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ৮) টাকা
= ৯২ টাকা।

আবার, ৮% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৮) টাকা
= ১০৮ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় (১০৮ - ৯২) টাকা 
= ১৬ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য (১০০/১৬) টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১২০০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য {(১০০ × ১২০০)/১৬} টাকা
= ৭৫০০ টাকা

∴ ভেড়াটির ক্রয়মূল্য ৭৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y

তাহলে,
১২x - ১২y = ৬০
∴ ১২(x - y) = ৬০
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২xy
∴ ১২xy = ২৪৪৮
⇒ xy = ২৪৪৮/১২
⇒ xy = ২০৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২০৪
= ২৫ + ৮১৬
= ৮৪১

⇒ x + y = ২৯ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৪
⇒ x = ১৭

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৪
⇒ y = ১২

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১২ × ১৭ এবং ১২ × ১২
= ২০৪ ও ১৪৪

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৩ অংশ কাদায়, ১/৪ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।
কাদায় আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার
পানিতে আছে = ক এর ১/৪ = ক/৪ মিটার

∴ খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (ক/৩ + ক/৪) মিটার
= (৪ + ৩)/১২  মিটার
= ৭ক/১২ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (৭ক/১২) মিটার
= (১২ক - ৭ক)/১২  মিটার
= ৫ক/১২ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ ১০ মিটার।
∴ ৫ক/১২ = ১০
⇒ ৫ক = ১০ × ১২
⇒ ৫ক = ১২০
⇒ ক = ২৪

∴ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতি যথাক্রমে ঘণ্টায় ১২ ও ৬ কিলোমিটার। স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নৌকার গতি (স্থির জলে) = ১২ কিলোমিটার/ঘণ্টা 
স্রোতের গতি = ৬ কিলোমিটার/ঘণ্টা 
পথের দৈর্ঘ্য = ৪৮ কিলোমিটার

আমরা জানি, 
প্রতিকূলে গতি = নৌকার গতি - স্রোতের গতি
= ১২ - ৬
= ৬ কিমি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির সময় লাগবে = ৪৮/৬ ঘণ্টা 
= ৮ ঘণ্টা। 

সুতরাং, স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৪ কি.মি. বেগে দৌড়ালে, তিনি ২৮০০ মিটার অতিক্রম করতে কত মিনিট সময় নেবেন?
​
​সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৪ কি.মি. = (৪ × ১০০০) মিটার
= ৪০০০ মিটার

৪০০০ মিটার পথ যায় = ৬০ মিনিটে
১ মিটার পথ যায় = ৬০/৪০০০ মিনিটে
২৮০০ মিটার পথ যায় = (৬০ × ২৮০০)/৪০০০ মিনিটে
= ৪২ মিনিটে

প্রশ্ন: মুনাফা ১২% থেকে হ্রাস পেয়ে ৮% হলে কত টাকার বার্ষিক মুনাফা ৫০০ টাকা হ্রাস পাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
I = pnr
বা, p = I / (nr)
বা, p = ৫০০ / {(১২ - ৮)% × ১}
বা, p = ৫০০ / ৪%
বা, p = ৫০০ / (৪/১০০)
বা, p = (৫০০ × ১০০) / ৪

∴ আসল = ১২৫০০ টাকা

ধরি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = x
প্রশ্নমতে,
x(x+15) = 4500
⇒ x² + 15x - 4500 = 0
⇒ x² + 75x - 60x - 4500 = 0
⇒ x(x+75) - 60(x+75) = 0
⇒ (x+75)(x-60) = 0
∴ x = 60 [x = -75 গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রদত্ত সংখ্য = যোগফল – Given number
= y/x - x/y = (y² – x²)/xy

ধরি, অভির বর্তমান আয় = ১০০ টাকা
∴ ব্যায় = ৬০ টাকা এবং
সঞ্চয় = ৪০ টাকা
৩২% বৃদ্ধিতে নতুন আয় = ১৩২ টাকা
নতুন ব্যায় = ৬০+(৬০ এর ২০%) = ৭২ টাকা
∴ নতুন সঞ্চয় = ১৩২ - ৭২ = ৬০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ৬০ - ৪০ = ২০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধির হার = (২০×১০০)/৪০ = ৫০%