পাটিগণিত

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০। একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 
⇒ ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০ 
⇒ অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০ 
∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ ।

প্রশ্ন: একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণ যোগ করলে ৯১ হয়। প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক 
∴ পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা = ক + ২

শর্তমতে,
৪ক + ৫(ক + ২) = ৯১
⇒ ৪ক + ৫ক + ১০ = ৯১
⇒ ৯ক = ৯১ - ১০
⇒ ৯ক = ৮১
⇒ ক = ৮১/৯
⇒ ক = ৯

∴ প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যাটি ৯

প্রশ্ন: ৯ টি ক্রমিক সংখ্যার গড় ৪৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা ক হলে,
ক্রমিক সংখ্যাগুলো হবে: ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫), (ক + ৬), (ক + ৭), (ক + ৮)

ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) + (ক + ৫) + (ক + ৬) + (ক + ৭) + (ক + ৮)
= ৯ক + (১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮)
= ৯ক + ৩৬
= ৯(ক + ৪)

শর্তমতে,
৯(ক + ৪) = ৪৫ × ৯
⇒ ক + ৪ = (৪৫ × ৯) / ৯
⇒ ক + ৪ = ৪৫
⇒ ক = ৪৫ - ৪ = ৪১

অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ক = ৪১

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি হালি ডিম ৫০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৪ হালি ২৮০ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা
∴ ৪ হালি ডিমের  ক্রয়মূল্য = ৫০ × ৪ টাকা = ২০০ টাকা।

দেওয়া আছে,
৪ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২৮০ টাকা 
যেহেতু ডিমের ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।

∴  লাভ = (২৮০  - ২০০) টাকা = ৮০ টাকা।

এখন,
২০০ টাকায় লাভ হয় = ৮০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৮০/২০০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায়  লাভ হয় = (৮০ × ১০০)/২০০ = ৪০ টাকা। 

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ৪০%

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৮, ৪৫
১৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮
৪৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ১৮, ৪৫ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৩১, ৪৩
৩১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩১ (৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা)
৪৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৪৩ (৪৩ একটি মৌলিক সংখ্যা)
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১

∴ ৩১, ৪৩ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (গ): ১২, ৩৩
১২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২
৩৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ১১, ৩৩
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩

∴ ১২, ৩৩ সহমৌলিক নয়।

অপশন (ঘ): ২৭, ৯৯
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৯৯-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ২৭, ৯৯ সহমৌলিক নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) ৩১, ৪৩

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি বস্তুর নিদিষ্ট মূল্যের উপর 20% দাম বাড়িয়ে লেখেন এবং ক্রেতাকে তারপর 20% ছাড় দেন। মোটের উপর শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো? 

সমাধান:
ধরি, বস্তুর মূল মূল্য (ক্রয়মূল্য) = 100 টাকা

20% দাম বাড়ানো হলে, 
∴ বর্ধিত মূল্য = 100 + 20% এর 100 = 100 + 20 = 120 টাকা

আবার, 
20% ছাড় দেওয়া হলে, 
∴ ছাড় = 20% এর 120 = (20/100) × 120 = 24 

∴ বিক্রয়মূল্য = 120 - 24 = 96 টাকা

∴ ক্ষতি = মূল মূল্য - বিক্রয়মূল্য = 100 - 96 = 4 টাকা

∴শতকরা ক্ষতি = (4/100) × 100 = 4%

মেশিন চারটি এক ঘন্টায় যথাক্রমে কাজ করতে পারে ১/৩, ১/৪,১/৫ এবং ১/৬ অংশ।
এখানে বেশি ক্ষমতাসম্পন্ন মেশিন হলো প্রথম দুইটি মেশিন।
এরা একত্রে এক ঘন্টায় সর্বোচ্চ কাজ করতে পারে (১/৩+১/৪)=৭/১২ অংশ।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
প্রতিটি সংখ্যা:
2√243 = 2√3⁵ = 2 × 3²√3 =18√3 → অমূলদ সংখ্যা 
3√343 = 3√7³ = 3 × 7√7 = 21√73→ অমূলদ সংখ্যা 
3√392 = 3√(8 × 49) = 3√(8 × 7²) = 3 × 7√8 = 21√8 = 42√2→ অমূলদ সংখ্যা 
3√676 = 3√26² = 3 × 26 = 78 → পূর্ণ সংখ্যা → মূলদ

∴ মূলদ সংখ্যা = ৩√৬৭৬

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬ হলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬

ক্রয়মূল্য = ৫ক টাকা 
বিক্রয়মূল্য = ৬ক টাকা

লাভ = ৬ক - ৫ক = ক টাকা

৫ক টাকায় লাভ হয় ক টাকা
১ টাকায় লাভ হয় ক/৫ক টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (ক × ১০০)/৫ক টাকা
= ২০ টাকা

এখানে, ২ টির ক্রয়মূল্য = (১/১০ + ১/১৫) টাকা
= (৩ + ২) / ৩০
= ১/৬ টাকা
আবার, ১২ টির বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ২ টি কলার বিক্রয়মূল্য ১/৬ টাকা।
যেহেতু, ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সমান, সুতরাং লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে? 

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ 
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১ 
এখানে, 
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা। 
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৩৫০ টাকায় বিক্রয় করলে যত ক্ষতি হয়, ৪৪০ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
৩৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় "ক" টাকা।
তাহলে ক্রয়মূল্য = (৩৫০ + ক) টাকা

আবার ৪৪০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় = ২ক টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = ৪৪০ - ২ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৩৫০ + ক = ৪৪০ - ২ক
⇒ ক + ২ক = ৪৪০ - ৩৫০
⇒ ৩ক = ৯০
∴ ক = ৩০

∴ ক্রয়মূল্য = ৩৫০ + ৩০ = ৩৮০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৩২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ = ১৩২/৩ = ৪৪ 
ভাগশেষ = ভাজকের অর্ধেক = ৪৪/২ = ২২ 

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (৪৪ × ১৩২) + ২২ 
= ৫৮০৮ + ২২ 
= ৫৮৩০

নৌকার বেগ x ও স্রোতের বেগ y হলে,
x + y = 15
x - y = 5
∴ 2y = 10 (বিয়োগ করে)
y = 5

প্রশ্ন: ২/৫ এবং ৩/৭ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
∴ লব ২ ও ৩ এর ল.সা.গু = ৬
হর ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ২/৫ এবং ৩/৭ এর ল.সা.গু = ৬/১
= ৬ । 

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৪.৫% হার সরল সুদে ৪৫০ টাকার সুদ ৮১ টাকা হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৪৫০ টাকা
সুদের হার, r = ৪.৫%
সুদ, I = ৮১ টাকা
সময়, n = ? বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = (মূলধন × হার × সময়)/১০০
⇒ ৮১ = (৪৫০ × ৪.৫ × n)/১০০
⇒ ৮১ = (২০২৫ × n)/১০০
⇒ ৮১ × ১০০ = ২০২৫ × n
⇒ n = ৮১০০/২০২৫
∴ n = ৪ বছর

সুতরাং, বার্ষিক ৪.৫% হার সরল সুদে ৪৫০ টাকার সুদ ৮১ টাকা হতে ৪ বছর সময় লাগবে। 

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে দশমিক আকারে লিখলে:
৩/৫ = ০.৬
৪/৯ = ০.৪৪৪....
২/৭ = ০.২৮৬.....
১/৩ = ০.৩৩৩৩....

ভগ্নাংশগুলোর মাঝে ৩/৫ বড় 

মনে করি,
গমের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা
২১% কমালে, গমের বর্তমান মূল্য (১০০ - ২১) = ৭৯ টাকা
বর্তমানে ১০০ টাকায় ১০ কেজি গম বেশী কিনতে পারে।
অর্থাৎ,
∴ ১০ কেজি গমের বর্তমান মুল্য (১০০ - ৭৯) = ২১ টাকা
∴ প্রতি কেজি গমের বর্তমান মুল্য (২১/১০) = ২.১ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৩৬০০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০X৩৬০০০)/৮০ টাকা।
= ৪৫০০০ টাকা।
আবার,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬/১০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ৪৫০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬X৪৫০০০/১০০ টাকা।
= ৫২২০০ টাকা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪২ ও ৬৯ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৯ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান:
এখানে, 
২৮ - ৪ = ২৪
৪২ - ৬ = ৩৬
৬৯ - ৯ = ৬০

২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গুই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ 
= ১২ 

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ১২         

প্রশ্ন: একটি ৬০ ফুট লম্বা রশি এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের এক-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ১/৩)
= ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (ক/৩) = ৬০ 
বা, (৩ক + ক)/৩ = ৬০ 
বা, ৪ক = ৬০ × ৩
বা, ৪ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/৪
∴ ক = ৪৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = ৪৫/৩ 
= ১৫ ফুট ।

সংখ্যাটি x হলে,
প্রশ্নমতে-
x × ৭৫/১০০ = ৯০
বা, x = ৯০× ১০০/৭৫
∴ x = ১২০

প্রশ্ন: একটি ভোট কেন্দ্রে উপস্থিত ভোটারদের ৬০% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী নির্বাচিত হয়েছেন। তিনি একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ৭৫০০ ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোট কেন্দ্রে কতজন ভোটার উপস্থিত ছিল?

সমাধান: 
নির্বাচিত প্রার্থী ভোট পেয়েছেন ৬০%।
অন্যান্য প্রার্থী বা ভোট দিয়েছেন এমন ভোটারদের জন্য বাকি থাকে (১০০% - ৬০%) = ৪০% ভোট।
যেহেতু একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ৭৫০০ ভোট বেশি পেয়েছেন, এই ৭৫০০ ভোটটিই দুটি প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের মধ্যেকার পার্থক্য।

সুতরাং, ৬০% - ৪০% = ২০% ভোট হলো ৭৫০০ এর সমান।

∴ ২০% ভোট = ৭৫০০
∴ ১% ভোট = ৭৫০০/২০ = ৩৭৫
∴ ১০০% ভোট = ৩৭৫ × ১০০ = ৩৭৫০০ জন।

সুতরাং, মোট ভোটার সংখ্যা ৩৭৫০০ জন।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফা হারে কত টাকা তিন বছর জমা রাখলে মেয়াদান্তে মুনাফাসহ ৬,৬৫৫ টাকা পাওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে
আসল = 
মুনাফার r = ১০%
= ১০/১০০
= ১/১০

সময় n = ৩ বছর

আমরা জানি
C = P(1 + r)ⁿ
বা, ৬৬৫৫ = P(১ + ১/১০)^৩
বা, ৬৬৫৫ =  P(১.১)^৩
বা, P =৬৬৫৫/১.৩৩১
∴ P = ৫০০০ টাকা

বি: দ্র: সরল মুনাফা বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার কথা উল্লেখ করা নাই। সরল মুনাফা দিয়ে প্রশ্নটি সমাধান করলে অপশনের উত্তর আসেনা। তাই চক্রবৃদ্ধি মুনাফার সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে।

প্রশ্ন: ২৪০ মিটার, লম্বা একটি ট্রেন ১২০ মিটার লম্বা একটি সেতুকে ৩০ সেকেন্ড অক্রিম করে। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৪০ মিটার
সেতুর দৈর্ঘ্য = ১২০ মিটার
অতিক্রমের সময় = ৩০ সেকেন্ড
এবং, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = ২৪০ + ১২০ 
= ৩৬০ মিটার

∴ ৩০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০ মিটার
∴ 1 সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০/৩০ মিটার
∴ ৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৩৬০ × ৩৬০০)/৩০ মিটার
= ৪৩২০০ মিটার
= ৪৩২০০/১০০০
= ৪৩.২ কি.মি. 

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = ৪৩.২ কি.মি./ঘণ্টা 

সুতরাং, ট্রেনটির গতিবেগ ৪৩.২ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চারগুণ হলে শতকরা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
বিক্রয়মূল্য = ক টাকা
সুতরাং, ক্রয়মূল্য ৪ক টাকা

∴ ক্ষতি = (৪ক - ক) = ৩ক টাকা

এখন, 
৪ক টাকায় ক্ষতি হয় = ৩ক টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৩ক/৪ক টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৩ক × ১০০)/৪ক = ৭৫ টাকা

সুতরাং, শতকরা ৭৫% ক্ষতি হয়।

প্রশ্ন: ১৮০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১৮০০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়)।

তাই ২ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১৮০০ × ২ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

অনুপাতদ্বয়ের বিয়োগফল, ৫ - ১ = ৪
দুধের পরিমাণ ৪ লিটার বেশি হয় যখন পানি ১ লিটার
∴ দুধের পরিমাণ ৮ লিটার বেশি হয় পানি (১×৮)/৪ লিটার
= ২ লিটার

পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত = ৫ঃ২
অনুপাতের যোগফল = ৫ + ২ = ৭
৭০ লিটার মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = (৭০ X ৫/৭) = ৫০ লিটার
৭০ লিটার মিশ্রণে অকটেনের পরিমাণ = (৭০ X ২/৭) = ২০ লিটার
ধরি অকটেন মিশাতে হবে ক লিটার
প্রশ্নমতে, ৫০/(২০ + ক) = ২/১
বা, ৪০ + ২ক = ৫০
বা, ক = ৫

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কতটুকু বৃদ্ধি পায়?

সমাধান: 
ধরি, 
ব্যাসার্ধ r একক,
ক্ষেত্রফল A = πr² বর্গএকক

ব্যাসার্ধ, r 10% বৃদ্ধি পেলে নতুন r₁
= r  × (1 + 10/100)
= 1.1r একক

তাহলে,
নতুন ক্ষেত্রফল A₁ = πr² বর্গএকক
= π(1.1r)²
= 1.21πr² বর্গএকক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (1.21πr² - πr²) × 100%
= 0.21πr² × 100%
= 21%

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার 21% 

প্রশ্ন: সুমনের বেতন রহিমের বেতনের ২১০%। লিটনের বেতন লিজার বেতনের ৭০%। লিজার বেতন রহিমের বেতনের দ্বিগুণ। সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
রহিমের বেতন ১০০ টাকা
∴ সুমনের বেতন = ১০০ × ২১০%
= ১০০ × (২১০/১০০) = ২১০ টাকা

লিজার বেতন ২০০ টাকা
∴ লিটনের বেতন = ২০০ × ৭০%
= ১০০ × (৭০/১০০) = ১৪০ টাকা

∴ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০ : ১৪০
= ২১ : ১৪
= ৩ : ২