পাটিগণিত

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফ শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (100)² বর্গ একক
= 10000 বর্গ একক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (100 + 100 এর 10%) একক 
= (100 + 100 এর 10/100) একক 
= (100 + 10) একক 
= 110 একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (12100 - 10000) বর্গ একক = 2100 বর্গ একক 

এখন,
10000 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100 বর্গ একক
∴ 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100/10000 বর্গ একক
∴ 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(2100 × 100)/10000} বর্গ একক
= 21 বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = 21%

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩ + ১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ২০ গ্রাম
= ১৫ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ২০ গ্রাম
= ৫ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১৫ + ক)/৫ = ৪/১
বা, ১৫ + ক = ২০
বা, ক = ২০ - ১৫
বা, ক = ৫ গ্রাম।

প্রশ্ন: রুবেল ও সালমানের আয়ের অনুপাত ৫ : ৭ এবং সালমান ও জুয়েলের আয়ের অনুপাত ৪ : ৫। রুবেলের আয় ১৮০০ টাকা হলে জুয়েলের
আয় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রুবেল : সালমান = ৫ : ৭
সালমান : জুয়েল = ৪ : ৫

∴ রুবেল : সালমান : জুয়েল = (৫ × ৪) : (৭ × ৪) : (৫ × ৭) 
⇒ রুবেল : সালমান : জুয়েল = ২০ : ২৮ : ৩৫

আবার, 
দেওয়া আছে, 
রুবেলের আয় = ১৮০০ টাকা
এবং রুবেলের অংশ = ২০

∴ জুয়েলের আয় = {(১৮০০/২০) × ৩৫} টাকা 
= ৩৫ × ৯০
= ৩১৫০ টাকা

 সুতরাং, জুয়েলের আয় = ৩১৫০ টাকা

x এর 0.5% = 2
x = 0.5/100 = 2
x = (2 × 100)/0.5
= 400

প্রশ্ন: চার অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

পার্থক্য = ৯৯৯৯ - ১০০০ = ৮৯৯৯

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫ টাকা
১২০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৫ X ৩ X ১২০)/১০০ টাকা
= ১৮ টাকা
∴ সুদাসল = (১২০+ ১৮ ) টাকা = ১৩৮ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না সে সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। যেমন, √2, √3, π ইত্যাদি। 

ক) √18 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 18 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√18 = 3√2 যেখানে √2 অমূলদ।

খ) √12 = অমূলদ সংখ্যা। কারণ 12 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 
√12 = 2√3 যেখানে √3 অমূলদ।

গ) e = 2.71828...... যা অমূলদ সংখ্যা। এটি কোনো ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ঘ) সবগুলো

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার শতকরা কত হলে যে কোন আসল ২০ বছরে মুনাফা-আসলে পাঁচগুণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল P = ১০০ টাকা
২০ বছরে মুনাফা-আসল A = ১০০ × ৫ টাকা
 = ৫০০ টাকা
 
∴ মুনাফা I = ৫০০ - ১০০ = ৪০০ টাকা

সময় n = ২০ বছর
মুনাফার হার r = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
r = (I × ১০০)/Pn
r = (৪০০ × ১০০)/(১০০ × ২০)
∴ r = ২০%

∴ মুনাফার হার ২০% ।

প্রশ্ন: পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৫ বছর। পিতা ও পুত্রের গড় ৪২ বছর। মাতার বয়স কত?

সমাধান:
মাতার বয়স:
৩ × ৪৫ - ২ × ৪২
= ১৩৫ - ৮৪
= ৫১

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৫, ২০, ৩০ ও ৪৫ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রেই ৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
১৫, ২০, ৩০ ও ৪৫ এর ল.সা.গু = ১৮০
∴ সংখ্যাটি = ১৮০ + ৫ = ১৮৫

প্রশ্ন অনুসারে,
প্রথম চারটি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০০ - (৬ X ৩০) = ২২০
এবং শেষ চারটি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০০ - (৬ X ৪০) = ১৬০
∴ প্রথম চারটি এবং শেষ চারটি সংখ্যার সমষ্টি = ২২০ + ১৬০ = ৩৮০
∴ পঞ্চম এবং ষষ্ঠ সংখ্যার যোগফল = (৪০০ - ৩৮০) = ২০
সুতরাং, যদি পঞ্চম সংখ্যাটি ১৫ হয় তাহলে ষষ্ঠ সংখ্যাটি ৫ হবে। আবার উল্টোটাও হতে পারে।
তবে কোনটি কত, তা বের করার জন্য প্রশ্নে পর্যাপ্ত তথ্য নেই।
সুতরাং, এটি নির্দিষ্টভাবে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। 

ধরি,
নতুন সংখ্যা = a
∴ ৫৬ঃa = ৮ঃ৭
বা, ৫৬/a = ৮/৭
বা, ৮a = ৭ × ৫৬
∴ a = ৪৯

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৬০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ 
​= (১৬ + ৪) কি.মি.
​= ২০ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = (৬০/২০) ঘণ্টা 
​= ৩ ঘণ্টা 

​​আবার, 
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ 
​= (১৬ - ৪) কি.মি. 
​= ১২ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = (৬০/১২) ঘণ্টা 
​ = ৫ ঘণ্টা 
​
∴ মোট সময় লাগবে = (৩ + ৫) ঘণ্টা 
​ = ৮ ঘণ্টা । 

প্রশ্ন: দিনাজপুর থেকে ঢাকার দূরত্ব ৩৩০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৯ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে দিনাজপুর চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ৩ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব = ৩৩০ কিলোমিটার
∴ ট্রেনটি মোট (৯ - ৩) ঘণ্টা = ৬ ঘণ্টা যাত্রা করে

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময় 
= ৩৩০/৬
= ৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রশ্ন: রাহিম ও করিম আয়ের অনুপাত ৫ : ৪ এবং করিম : জাহিদ আয়ের অনুপাত ৬ : ৭। রাহিমের আয় ১৫০০ টাকা হলে, জাহিদের আয় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রাহিম : করিম = ৫ : ৪
করিম : জাহিদ = ৬ : ৭
রাহিমের আয় = ১৫০০ টাকা

∴ রাহিম : করিম = ৫ : ৪ = (৫ × ৬) : (৪ × ৬) = ৩০ : ২৪ = ১৫ : ১২
∴ করিম : জাহিদ = ৬ : ৭ = (৬ × ৪) : (৭ × ৪) = ২৪ : ২৮ = ১২ : ১৪

∴ রাহিম : করিম : জাহিদ = ১৫ : ১২ : ১৪

∴ জাহিদের আয় = (১৪/১৫) × ১৫০০ = ১৪০০ টাকা

সুতরাং, জাহিদের আয় ১৪০০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি জিনিস নির্মাতা ১৫% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রি করে। নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হলে, খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
১৫% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ১৫% টাকা 
= (২০০ + ৩০) টাকা 
= ২৩০ টাকা

আবার,
২০% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (২৩০ + ২৩০ এর ২০%)
= [২৩০ + {২৩০ এর (২০/১০০)}] টাকা
= (২৩০ + ৪৬) টাকা
= ২৭৬ টাকা

সুতরাং, খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ২৭৬ টাকা। 

২০% বৃদ্ধিতে চালের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা।
১২০ টাকায় কমাতে হবে ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমাতে হবে ২০/১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় কমাতে হবে (২০×১০০) / ১২০ টাকা
= ১৬.৬৭ টাকা

প্রশ্ন: একটি গ্রামের 10% বাসিন্দা কলেরায় আক্রান্ত হয়ে মারা যায়। আতঙ্ক সৃষ্টি হওয়ায়, বাকি বাসিন্দাদের 25% গ্রাম ছেড়ে চলে যান। ফলে জনসংখ্যা কমে হয় 4050, গ্রামের পূর্বের বাসিন্দা সংখ্যা কত ছিল? 

সমাধান:

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 31 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 31
⇒ (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 31
⇒ 2x + 1 = 31 
⇒ 2x = 30
⇒ x = 15

∴ একটি সংখ্যা= 15 এবং অপর সংখ্যাটি = x + 1 = 15 + 1 = 16

শর্টকাট:
বড় সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য + 1)/2
ছোট সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য - 1)/2

∴ বড় সংখ্যাটি = (31 + 1)/2 = 16 এবং ছোট সংখ্যাটি = (31 - 1)/2 = 15

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম। 
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪ 
∴ সংখ্যাটি = (১৪৪ - ৩)
= ১৪১ । 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা এমন যে, এটি ৮৯০ থেকে যত ছোট, ৬৭০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৬৭০ = ৮৯০ - ক
⇒ ক + ক = ৮৯০ + ৬৭০
⇒ ২ক = ১৫৬০
⇒ ক = ১৫৬০ ÷ ২
∴ ক = ৭৮০ 

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

ধরি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ‘ক’
বৃহত্তম সংখ্যা ‘ক+২’
ক×(ক+২)=২৪
ক^২+২ক=২৪
ক^২+২ক-২৪=০
(ক+৬)(ক-৪)=০
ক=৪;-৬

সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ কম।
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ১ = ১৪৩