পাটিগণিত

মনে করি, সোনাঃতামা = 1:x
তাই, 1gm সোনা x gm তামার সাথে মিশালে (1 + x) gm মিশ্রণ পাওয়া যাবে।
1gm সোনা + xgm তামা = (1 + x)gm মিশ্রণ
19w + 9w × x = (1 + x) × 15w
বা, 9x + 19 = 15+15x
∴ x = 2/3
নির্ণেয় সোনাঃতামা = ৩ঃ২

মোট ব্যায় = (১/১০) + (১/৩) + (১/৫) = ১৯/৩০ অংশ 

বাকি থাকে = ১ - (১৯/৩০)] = ১১/৩০ অংশ

শতকরা বাকী থাকে = (১১/৩০) × ১০০]℅
= ৩৬(২/৩)% 

লবণের পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে ২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য ১২৫ টাক।
১২৫ টাকায় খরচ কমাতে হবে ২৫ টাকা
∴ ১০০ 〃 〃 〃 〃 (২৫×১০০)/১২৫ টাকা
= ২০%

ধরি,
সংখ্যা দু'টি ২a, a
∴ (২a + a)/(২a - a)
= ৩a/a
= ৩/১
= ৩ঃ১

প্রশ্ন: একটি ৩০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৩০
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৩০
বা, ৫ক = ৯০
বা, ক = ৯০/৫
∴ ক = ১৮

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ১৮)/৩
= ১২ ফুট ।

ধরি, আগের বেতন ছিলো = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x + x এর ৩০% = ১১০৫
বা, x + ৩০x/১০০ = ১১০৫
বা, ১৩০x/ ১০০ = ১১০৫
বা, ১৩x/১০ = ১১০৫
বা, x = (১১০৫ × ১০)/১৩ = ৮৫০ টাকা

১ কেজি পেয়ারার ক্ষতি = ৮০ - ৭৫ = ৫ টাকা
∴ ১৫০০ টাকা ক্ষতি হয় = ১৫০০/৫ = ৩০০ কেজি

√0.3 = 0.547,
1/3 = 0.333,
2/3 = 0.67

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 0.3

প্রশ্ন: একটি দোকানের গত বছরের মাসিক বিক্রয় ও এ বছরের মাসিক বিক্রয়ের অনুপাত ৫ : ৪। গত বছরের তুলনায় এ বছরের মাসিক বিক্রয় শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?

সমাধান:
গত বছরের বিক্রয় ও এ বছরের বিক্রয়ের অনুপাত ৫ : ৪
ধরি, গত বছরের বিক্রয় = ৫ক টাকা
এবং এই বছরের বিক্রয়= ৪ক টাকা
বিক্রয় হ্রাস পেয়েছে = (৫ক - ৪ক) টাকা = ১ক টাকা

∴ বিক্রয় শতকরা হ্রাস পেয়েছে = {(১ক/৫ক) × 100}%
= ২০%

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে ৪২ লিটার রস আছে। আম ও কমলার অনুপাত ৪ : ৩। কমলার রস ৯ লিটার কমিয়ে দিলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট মিশ্রণ ৪২ লিটার।
আম ও কমলার রসের অনুপাত = ৪ : ৩
অনুপাতের যোগফল = (৪ + ৩) = ৭

সুতরাং, আমের রসের পরিমাণ = (৪২ এর ৪/৭ অংশ)
= (৪২ × ৪)/৭
= ৬ × ৪
= ২৪ লিটার

এবং, কমলার রসের পরিমাণ = (৪২ এর ৩/৭ অংশ)
= (৪২ × ৩)/৭
= ৬ × ৩
= ১৮ লিটার

এখন, কমলার রস ৯ লিটার কমিয়ে দিলে,
নতুন পরিমাণ হবে = (১৮ - ৯) = ৯ লিটার।

আমের রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ ২৪ লিটার।

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে,
= ২৪ : ৯
= ৮ : ৩

অতএব, নতুন অনুপাত হবে ৮ : ৩

আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে ১ম রাশি ✕ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২,
যেখানে, ১ম রাশি = ৮, ৩য় রাশি = ৫১২

(২য় রাশি)^২ = ৮ × ৫১২
২য় রাশি = ৬৪

ধরি,
R এর আয় = a টাকা
∴ Q এর আয় = ১২০a/১০০ টাকা
এবং p এর আয় = (১২০a×১২৫)/(১০০×১০০)

∴ আয়ের অনুপাত = {(১২০a×১২৫)/(১০০×১০০)} : (১২০a/১০০) : a
= (১২০×১২৫) : (১২০×১০০) : (১০০×১০০)
= ১৫০ঃ১২০ঃ১০০
=১৫ঃ১২ঃ১০

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(x/২) + ৬ = ২x/৩ 
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬ 
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬ 
বা, x/৬ = ৬ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬। 

প্রদত্ত অপশনগুলোতে ^৩√৮ একটি মূলদ সংখ্যা।
= (২^৩)^(১/৩)
= ২^(৩/৩)
= ২

দেওয়া আছে,
ক : খ = ২ : ৩
= ৮ : ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খ : গ = ৪ : ৫
= ১২ : ১৫
= (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং ক : খ : গ = ৮ : ১২ : ১৫
এবং ক : গ = ৮ : ১৫।

প্রশ্ন: ২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. নয়?

সমাধান:
১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩ - সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু = ১০০১

অন্যান্য সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. ২০০২।

দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ১০৪০
সুদের হার, r = ৪/১০০
আসল, p = ?
সময়, n = ১০
আমরা জানি, C = P(1 + rn)
বা, ১০৫০ = P {১ + (৪/১০০) × ১০}
বা, ১০৫০ = P (১ + ৪/১০)
বা, ১০৫০ = P (১৪/১০)
বা, P = ১০৫০ × ১০/১৪
বা, P = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: 18 এবং 72 এর গুণোত্তর গড় কোনটি? 

সমাধান:
গুণোত্তর গড়ের সূত্র: ⁿ√(a₁ × a₂ × ..... a_n)
এখানে a₁ = 18, a₂ = 72

গুণোত্তর গড় = √(18 × 72)
= √1296
= 36

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ৯০০ টাকায় একটি জিনিস ক্রয় করে ৪ মাস পর ৯৬৩ টাকায় বিক্রয় করল। তার বার্ষিক শতকরা কত লাভ হলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা  
বিক্রয়মূল্য = ৯৬৩ টাকা  
সময় = ৪ মাস = ৪/১২ = ১/৩ বছর

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য  
= ৯৬৩ - ৯০০
= ৬৩ টাকা

এখন, 
৪ মাসে লাভ হয় = ৬৩ টাকা 
∴ ১ মাসে লাভ হয় = ৬৩/৪ টাকা
∴ ১২ মাসে লাভ হয় = (৬৩ × ১২)/৪ = ১৮৯ টাকা

বার্ষিক শতকরা লাভের হার = (বার্ষিক লাভ × ১০০)/মূলধন  
= (১৮৯ × ১০০)/৯০০  
= ১৮৯/৯
= ২১ টাকা

∴ বার্ষিক ২১% লাভ হয়েছে।

অথবা 
বার্ষিক লাভের হার = (লাভ × ১০০ × ১২)/(মূলধন × মাস সংখ্যা)  
= (৬৩ × ১০০ × ১২)/(৯০০ × ৪)  
= ৭৫৬০০/৩৬০০  
= ২১%

প্রশ্ন: 250 টাকার 4% কত?

সমাধান:
250 টাকার 4% = 250 এর 4/100
= 10 টাকা

√০.০০০০০৮৪১
= √(০.০০২৯ × ০.০০২৯)
= √(০.০০২৯)^২
= ০.০০২৯

এখানে পূর্ব রাশিঃউত্তর রাশি = ৬ঃ১১
বা, পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৬/১১
বা, পূর্ব রাশি/৯৯ = ৬/১১
সুতরাং পূর্ব রাশি = ৫৪

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২:৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১২ : ৪০ + ৩ ঘণ্টা = ৩ : ৪০ টায়

প্রশ্ন: A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে। যদি A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হয়, তাহলে A এর লভ্যাংশ কত?

সমাধান:
A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে

A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭
মোট অনুপাতের যোগফল = ১৫

∴ A এর লভ্যাংশ = ২৭০০ এর ৩/১৫
= ১৮০ × ৩
= ৫৪০ টাকা 

∴ A এর লভ্যাংশ ৫৪০ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৫%
শুধু গণিতে ফেল = (৩৫ - ১৫)% = ২০%
শুধু পদার্থবিজ্ঞানে ফেল = (২৫ - ১৫)% = ১০%
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = {১০০ - (২০ + ১০ + ১৫)}%
= ৫৫%

প্রশ্নমতে,
৫৫% = ২৭৫ জন
বা, ১% = ২৭৫/৫৫ জন 
বা, ১০০% = (২৭৫ × ১০০)/৫৫ জন 
= ৫০০ জন

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান:
সব ভগ্নাংশে লব (উপরের সংখ্যা) হচ্ছে ২। তাহলে যে ভগ্নাংশের হর (নিচের সংখ্যা) বেশি, সেটাই সবচেয়ে ছোট হবে। কারণ: যত বেশি হর, তত ছোট ভগ্নাংশ (যদি লব সমান থাকে)।

অপশন অনুযায়ী:
২/২৪ = ০.০৮৩
২/২৫ = ০.০৮
২/২৬ = ০.০৭৭
২/২৭ = ০.০৭৪ ← সবচেয়ে ছোট

সাকিবঃমুশফিক = ৩ঃ২ = (৩×৩):(২×৩) =৯ঃ৬
মুশফিকঃ তামিম = ৩ঃ২ =(৩×২):(২×২) =৬ঃ৪
সাকিবঃমুশফিকঃতামিম = ৯ঃ৬ঃ৪
ধরি, সাকিব, মুশফিক ও তামিমের রান যথাক্রমে ৯ক, ৬ক ও ৪ক।
প্রশ্নমতে, ৯ক+৬ক+৪ক = ২০৯
বা, ১৯ক = ২০৯
∴ ক = ২০৯/১৯ = ১১
সুতরাং, মুশফিকের রান = ৬ক = ৬×১১ = ৬৬

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪ = ২ × ২  
৬ = ২ × ৩  
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৪, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০
অর্থাৎ ১৮০ সেকেন্ড পরে ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

এখন,  
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট  
∴ ১৮০/৬০ = ৩ মিনিট

∴ ৩ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার = ৪৫০ মিটার

ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি,
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
⇒ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
⇒ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড = ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন,
৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে
= ৫৪ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্নঃ একজন ব্যবসায়ী ১২০ টাকায় ৬ কেজি আলু ক্রয় করেন। পরে তিনি ৫ কেজি আলু ১২০ টাকায় বিক্রি করেন। তাঁর শতকরা লাভ কত?

সমাধানঃ
১ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ১২০/৬
= ২০ টাকা

১ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১২০/৫
= ২৪ টাকা

লাভ = ২৪ - ২০ = ৪ টাকা 

২০ টাকায় লাভ হয় ৪ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় ৪/২০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (৪ × ১০০) / ২০ 
= ২০% 

∴ব্যবসায়ীর শতকরা লাভ ২০% 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের গ সা.গু ৪ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = ৫ক এবং ৭ক
∴ গ.সা.গু = ক
∴ ক = ৪

∴ প্রথম সংখ্যা = ৫ × ৪ = ২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭ × ৪ = ২৮

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
⇒ ২০ × ২৮ = ৪ × ল.সা.গু
⇒ ৫৬০ = ৪ × ল.সা.গু
∴ ল.সা.গু = ৫৬০/৪ = ১৪০