পাটিগণিত

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় B হলে, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = A 
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PA

আবার, 
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = B 
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QB

মোট সংখ্যা = P + Q 
∴ তাদের সমষ্টি = PA + QB
∴ তাদের গড় = (PA + QB)/(P + Q)।

১০০ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে ৭৮ নম্বর।
∴ ১ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে ৭৮/১০০ নম্বর।
∴ ৮০০ নম্বরের মধ্যে পেয়েছে (৭৮ × ৮০০)/১০০ = ৬২৪ নম্বর।

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ৩০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার

∴ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনকে অতিক্রম করতে হবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= ৩০০ + ২০০ = ৫০০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ছাগল ১১৪০ টাকায় বিক্রয় করায় ৬০ টাকা ক্ষতি হলো। শতকরা ক্ষতির হার কত?

সমাধান:

ছাগলটি ১১৪০ টাকায় বিক্রয় করায় ক্ষতি হয় ৬০ টাকা।

আমরা জানি,
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি
= (১১৪০ + ৬০) টাকা
= ১২০০ টাকা।

এখন,
 ১২০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৬০ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৬০/১২০০ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (৬০ × ১০০)/১২০০ টাকা
= ৫ টাকা।

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষতির হার ৫%।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২। ৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২

ধরি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক
৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৩) : (২ক + ৩) = ৭ : ৩
বা, (৫ক + ৩)/(২ক + ৩) = ৭/৩
বা, ৩(৫ক + ৩) = ৭(২ক + ৩)
বা, ১৫ক + ৯ = ১৪ক + ২১
বা, ১৫ক − ১৪ক = ২১ − ৯
∴ ক = ১২

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৫ × ১২ = ৬০ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২ × ১২ = ২৪ বছর

প্রশ্ন: 400 গ্রাম চিনির একটি মিশ্রণে 25% চিনি রয়েছে। ঐ দ্রবণে চিনির পরিমাণ 40% করতে অতিরিক্ত কতটুকু চিনি যোগ করতে হবে?

সমাধান:
দ্রবণে চিনি আছে = 400 এর 25%
= 400 × (25/100)
= 100 গ্রাম
এবং, ঐ দ্রবণে অন্য পদার্থ আছে = 400 - 100 = 300 গ্রাম (যা অপরিবর্তিত থাকবে)।

ধরি, অতিরিক্ত x গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।
∴ নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = (400 + x) গ্রাম
∴ নতুন চিনির পরিমাণ = (100 + x) গ্রাম

প্রশ্নানুযায়ী, নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 40% হবে।
প্রশ্নমতে,
(100 + x)/(400 + x) = 40%
⇒ (100 + x)/(400 + x) = 40/100
⇒ (100 + x)/(400 + x) = 2/5
⇒ 5(100 + x) = 2(400 + x)
⇒ 500 + 5x = 800 + 2x
⇒ 5x - 2x = 800 - 500
⇒ 3x = 300
∴ x = 100 

∴ আরো 100 গ্রাম লবণ যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: এক ক্লাসে ১০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১৫ বছর। যদি আরও ৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় এবং নতুন গড় হয় ১৬ বছর, নতুন যোগকৃত ৫ জনের গড় বয়স কত?

 সমাধান:
প্রথমে,
১০ জনের মোট বয়স = ১০ × ১৫ = ১৫০ বছর

আবার,
৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় নতুন শিক্ষার্থী = ১০ + ৫ = ১৫ জন 
∴ ১৫ জনের মোট বয়স = ১৫ × ১৬ = ২৪০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের মোট বয়স = ২৪০ - ১৫০ = ৯০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের গড় বয়স = ৯০/৫ = ১৮ বছর

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৬০ × ক = ১২ × ১৮০
⇒ ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০
∴ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৯০০ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা 
= ৯০ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৯০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৯০০)/৯০ টাকা 
= ১০০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ১০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১৬ গুণ। সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল ১০২৪ হলে ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ১৬x 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ১৬x × x = ১০২৪ 
⇒  ১৬x^২ = ১০২৪ 
⇒ x^২ = ১০২৪/১৬
⇒  x^২ = ৬৪  
⇒ x^২ = ৮^২  
∴ x = ৮

∴ ল.সা.গু = ১৬ × ৮ 
= ১২৮ ।

প্রশ্ন: A একটি কাজ ১৮ দিনে করতে পারে এবং B একই কাজ ১২ দিনে করতে পারে। B কাজটি ১০ দিন করার পর চলে যায়। তাহলে বাকি কাজটি A একা কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
B একা,
১২ দিনে কাজ করে = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ দিনে কাজ করে = ১/১২ অংশ
∴ ১০ দিনে কাজ করে = ১০/১২ = ৫/৬ অংশ

এখন, কাজটি ১০ দিন করার পর B চলে যাওয়ায় বাকি কাজ = ১ - (৫/৬)
= (৬ - ৫)/৬
= ১/৬ অংশ

আবার,
A একা,
কাজটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ করতে পারে = ১৮ দিনে 
∴ ১/৬ অংশ শেষ করতে পারে = ১৮ × (১/৬) = ৩ দিনে

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু = ৮৪০
এখন,
৮৪০/৬০ = ১৪ মিনিট

∴ ১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

ভগ্নাংশগুলো = ২(২/৫), ৩/৫, ৬/১৫
= ১২/৫, ৩/৫, ৬/১৫

∴ গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ৩/১৫
= ১/৫

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৪.৫ × ৪) টাকা = ১৮ টাকা
তাহলে সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা
সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল = (১০০/১১৮) × ৮২৬ টাকা
                                             = ৭০০ টাকা।

৪/৭ = ০.৫৭
৫/৮ = ০.৬৩
৭/১১ = ০.৬৪
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং, ২/৩ হচ্ছে বৃহত্তম ভগ্নাংশ।

স্রোতের অনুকূলে, নৌকার বেগ = ১০ + ৫ = ১৫ কি. মি./ঘন্টা
∴ ৩০ কি. মি. পথ যেতে সময় লাগবে = ৩০/১৫ = ২ ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে, নৌকার বেগ = ১০ - ৫ = ৫ কি. মি./ঘন্টা
∴ ৩০ কি. মি. পথ ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৩০/৫ = ৬ ঘন্টা
∴ মোট সময় লাগবে = ২ + ৬ = ৮ ঘন্টা।

২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৫)/১০০ টাকা
= ৬ টাকা
সুতরাং ৬ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২ টি কলা
সুতরাং ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২/৬ টি কলা
সুতরাং ৩০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২×৩০/৬ টি কলা
= ১০ টি কলা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি ৪ক ও ৫ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২০ক

প্রশ্নমতে,
২০ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/২০
∴ ক = ৯

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৪ক + ৫ক = ৯ক
= ৯ × ৯ = ৮১

মোট ছাত্রী = ৬৬ - ৩০ = ৩৬ জন।
মোট দিন = ২৬ - ৮ = ১৮ দিন।
৬৬ জন ছাত্রীর খাবার আছে ১৮ দিনের।
১ ছাত্রীর খাবার আছে ৬৬ X ১৮ দিনের।
৩৬ ছাত্রীর খাবার আছে (৬৬ X ১৮)/৩৬ দিনের।
= ৩৩ দিনের।

সংখ্যা দু'টি = x,y
∴ x² + y² = 5 এবং x² - y² = 3
∴ 4x²y² = (x²+y²)² - (x²-y²)² = 5² - 3² = 16
বা, x²y² = 4
∴ xy = 2

প্রশ্ন: লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত ২ : ৩। তাদের দুজনের বয়সের সমষ্টি ৩০ বছর হলে, কার বয়স কত?

সমাধান:
লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত = ২ : ৩
ধরি, তাদের বয়স যথাক্রমে ২ক বছর ও ৩ক বছর।

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৩০
বা, ৫ক = ৩০
∴ ক = ৬

তাহলে, লিজার বয়স = (২ × ৬) বছর = ১২ বছর
এবং, শিখার বয়স = (৩ × ৬) বছর = ১৮ বছর

উত্তর: ১২ বছর এবং ১৮ বছর।

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম । এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১ । এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
গহনার ওজন = ১৬ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (১৬ × ৩)/৪ = ১২ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (১৬ × ১)/৪ = ৪ গ্রাম

ধরি,
ক পরিমাণ সোনা মিশাতে হবে

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ : ৪ = ৪ : ১
(ক + ১২)/৪ = ৪/১
ক + ১২ = ১৬
ক = ১৬ - ১২
ক = ৪

∴ অতিরিক্ত সোনা মেশাতে হবে ৪ গ্রাম

Question: A man invested Tk. 17,000 at an annual interest rate of 12% per annum. After 7 months, he withdrew the entire amount and had to pay an early withdrawal charge of Tk. 375. Calculate the net profit he earned from the investment.

Solution:
Given,
Principle (P) = 17000 Tk.
Number of Year (n) = (7/12) [7 months out of 12 months]
Rate (r) = 12% per annum.
Charge = 375 Tk.

Net Profit = Interest - Charge 
= 1190 - 375
= 815 Tk.

∴ Net profit Tk. 815

প্রশ্ন: ১৬ টাকায় ৪টি করে পেয়ারা কিনে ৩০০ টাকায় কয়টি পেয়ারা বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
৪টি পেয়ারার বিক্রয়মূল্য = ১৬ × (১২৫/১০০) টাকা = ২০ টাকা

২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪ টি পেয়ারা
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪/২০ টি পেয়ারা
∴ ৩০০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৪/২০) × ৩০০ টি পেয়ারা
= (৪ × ৩০০)/২০ টি
= ১২০০/২০ টি
= ৬০ টি পেয়ারা

∴ ৩০০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ৬০ টি পেয়ারা বিক্রি করতে হবে।

- ২ এবং ৪২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১২টি।
- সংখ্যাগুলো হলো: ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১।
- কিন্তু যদি বলা হতো ২ থেকে ৪২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তাহলে ২ অন্তর্ভূক্ত হতো এবং সংখ্যা হতো ১৩টি।

প্রশ্ন: A, B ও C এর মধ্যে ১২৪ টাকা (১/২) : (১/৩) : (১/৫) অনুপাতে ভাগ করলে, A কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A : B : C = ১/২ : ১/৩ : ১/৫
= (৩০/২) : (৩০/৩) : (৩০/৫)  ; [২, ৩, ৫ এর ল.সা.গু = ৩০] 
= ১৫ : ১০ : ৬ 
∴ A : B : C = ১৫ : ১০ : ৬ 

অনুপাতের সমষ্টি = ১৫ + ১০ + ৬ = ৩১ অংশ
এবং মোট = ১২৪ টাকা

∴ A পাবে = (১২৪ এর ১৫/৩১) টাকা 
= ৬০ টাকা 

অতএব, A পাবে ৬০ টাকা। 

প্রশ্ন: ১২.৫% সরল সুদে কোনো মূলধন কত বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, মূলধন = P টাকা
সুদের হার, r = ১২.৫%
সময় = n বছর

সুদে-আসলে ৩ গুণ হলে, সুদ-আসল = ৩P
∴ সুদ, I = ৩P - P = ২P টাকা

আমরা জানি,
I = (P × n × r)/১০০
⇒ ২P = (P × n × ১২.৫)/১০০
⇒ ২ = (n × ১২.৫)/১০০
⇒ ২ × ১০০ = ১২.৫n
⇒ ২০০ = ১২.৫n
⇒ n = ২০০/১২.৫
∴ n = ১৬ বছর

সুতরাং, ১৬ বছরে মূলধন সুদে-আসলে তিনগুণ হবে।

প্রশ্ন: ০.৯৬০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
√০.৯৬০৪
= √(৯৬০৪/১০০০০)
= √(৯৮^২/১০০^২)
= ৯৮/১০০
= ০.৯৮

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৪২ থেকে যত ছোট, ৬১২ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

Solution:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৮৪২ - ক = ক - ৬১২
⇒ ৮৪২ + ৬১২ = ক + ক
⇒ ১৪৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৪৫৪/২
∴ ক = ৭২৭

বিকল্প পদ্ধতি:
সংখ্যাটি হলো প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড় বা মধ্যবর্তী মান।
সংখ্যাটি = (৮৪২ + ৬১২)/২
= ১৪৫৪/২
= ৭২৭

∴ সংখ্যাটি হলো ৭২৭