পাটিগণিত

ধরি, সংখ্যাদুটি x ও y
প্রশ্নমতে,
xy = 2250
বা, x/2250 = 1/y
এবং x/y = 9/10
বা, x.1/y = 9/10
বা, x.x/2250 = 9/10
বা, x^2 = (9×2250)/10
বা, x = 45
তাহলে 45.1/y = 9/10
বা, y = 50
সুতরাং y - x = 50 - 45 = 5.

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক:
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১২ : ৪০ + ৩ ঘণ্টা = ৩ : ৪০ টায়

- সাধারণত পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
- যেহেতু √২৫ = ৫, √৬৪ = ৮, √৮১ = ৯, তাই এগুলো মূলদ সংখ্যা।
- কিন্তু √৯৯ পূর্ণবর্গ নয় তাই √৯৯ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: লবণের দাম ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায়, ৫০০ টাকায় একজন ব্যক্তি আগের চেয়ে ১০ কেজি লবণ কম পায়। পূর্বে লবণের দাম কেজি প্রতি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, লবণের পূর্বমূল্য = x টাকা/কেজি 
২৫% মূল্য বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = x + (x × ২৫%)  
= x + (২৫x/১০০)
= x + (x/৪)
= ৫x/৪

প্রশ্নমতে,
(৫০০/x) - {৫০০/(৫x/৪০} = ১০ 
⇒ (৫০০/x) - (৪০০/x) = ১০
⇒ (৫/x) - (৪/x) = ১০/১০০
⇒ (১/x) = ১/১০
∴ x = ১০ 

প্রথম শর্তমতে,
 (ক/২) + (খ/৩) = ৪৫
বা, (৩ক + ২খ)/৬ = ৪৫
বা, (৩ক + ২খ) = ২৭০………(১)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
(খ/২) + (ক/৫) = ৪০
বা, (২ক + ৫খ)/১০ = ৪০
বা, ২ক + ৫খ = ৪০০…………(২)

(১) নং х ২ - (২) নং х ৩,
৬ক  + ৪খ - ৬ক - ১৫খ  = ৫৪০ - ১২০০
- ১১খ = - ৬৬০
 খ = ৬০

খ এর মান ১ নং এ বসিয়ে পাই,
৩ক + ১২০ = ২৭০
৩ক = ২৭০ - ১২০ 
৩ক = ১৫০ 
ক = ৫০

৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৮৪০
সুতরাং পাঁচটি ঘণ্টা ৮৪০ সেকেন্ড বা (৮৪০ ÷ ৬০) = ১৪ মিনিট পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

আসল + ৫ বছরের সুদ = ৫৪০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ = ৪৮৪ টাকা
(-) করে, ∴ ২ বছরের সুদ = ৫৬ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = (৫৬ × ৩)/২
= ৮৪ টাকা
∴ আসল = ৪৮৪ - ৮৪ = ৪০০ টাকা
∴ সুদের হার = (৮৪ × ১০০)/(৪০০ × ৩)
= ৭

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়? 

সমাধান:
১০০ এর চেয়ে ক্ষুদ্র পূর্ণ বর্গ সংখ্যা ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১ 

একটি সংখ্যা ১ হলে অপরটি ৮ টির (৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) যেকোন একটি হতে পারে।  
একটি সংখ্যা ৪ হলে অপরটি ৭ (৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১ ) টির যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ৯ হলে অপরটি ৬ (১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) টির যেকোন একটি হতে পারে।  
একটি সংখ্যা ১৬ হলে অপরটি ৫ (২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) টির যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ২৫ হলে অপরটি ৩ টির (৩৬, ৪৯, ৬৪) যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ৩৬ হলে অপরটি ১ টি (৪৯) হতে পারে। 
আবার, (১ + ১), (৪ + ৪), (৯ + ৯), (১৬ + ১৬), (২৫ + ২৫), (৩৬ + ৩৬), (৪৯+৪৯) এই ৭ টি সংখ্যা ১০০ অপেক্ষা ছোট।  

মোট = ৮ + ৭ + ৬ + ৫ + ৩ + ১ + ৭ = ৩৭ টি

৩টি সংখ্যা ৫০,৬৫,৮৫ দুইবার গণনা করা হয়েছে। 
অতএব, সঠিক উত্তর ৩৭ - ৩ = ৩৪ টি। 

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: ৪/৯, ৬/১৫ ও ৮/২১ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে, লব ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু. = ২৪
এবং হর ৯, ১৫ ও ২১ এর গ.সা.গু. = ৩

∴ ল.সা.গু. = ২৪/৩ = ৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬) × ৮ 
= ৩০ × ৮ 
= ২৪০ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৪০ ।

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৪x ও ৯x।
প্রশ্নমতে,
(৪x+২) : (৯x+২) = ১:২
বা, (৪x+২)/(৯x+২) = ১/২
বা, ৮x + ৪ = ৯x + ২
∴ x = ২
সুতরাং সংখ্যা দুইটি (৪×২) = ৮ এবং (৯×২) = ১৮।

ক্ষতি= (২০-১৮) টাকা = ২ টাকা
ক্ষতির হার = (২×১০০)/২০ = ১০%

প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: p/q আকারে প্রকাশযোগ্য সংখ্যা যা p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। উদাহরণ: √25 = 5, 5/1 = 5, 5/6, 1/2 ইত্যাদি।

• অমূলদ সংখ্যা: এমন সংখ্যা যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (p ও q পূর্ণসংখ্যা ও q ≠ 0)। উদাহরণ: √2 ≈ 1.414213......,  √3 ≈ 1.732...... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) e = 2.71828...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

খ) π = 3.14159...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

গ) 1/√5
√5 অমূলদ, ফলে 1/√5 ও অমূলদ।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √3/√108 = √3/√(36 × 3)
= √3/(6√3) = 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1, q = 6।
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

উত্তর: ঘ) √3/√108

মোট লোকসংখ্যা = (৯+৩) = ১২ জন।
এখন,
৯ জন করতে পারে ১৫ দিনে
১ জন করতে পারে = (১৫ X ৯) দিনে
∴ ১২ জন করতে পারে (১৫ X ৯)/ ১২
= ১১(১/৪) দিনে

ধরি,
একটি সংখ্যা = x
এবং অপর সংখ্যাটি = y
১ম শর্তমতে,
x + y = 65 ------- (i)
২য় শর্তমতে,
x - y = 5 -------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 70
∴ x = 35
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে -
y = 30

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষায় ৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬০ জন ছাত্র ফেল করলে পাশের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৯০ জন
ফেল করে = ৬০ জন
∴ পাশ করে = ৯০ - ৬০ = ৩০ জন 

এখন,
৯০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = ৩০ জন
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (৩০/৯০) জন
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (৩০ × ১০০)/৯০ = (১০০/৩)%
 
 ∴ পাশের হার = (১০০/৩)%

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে পারে। দুইটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/১৫ + ১/৩০) অংশ
= (২ + ১)/৩০ অংশ
= ৩/৩০ অংশ
= ১/১০ অংশ

উভয় নল দ্বারা ১/১০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ উভয় নল দ্বারা ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ১০) মিনিটে
= ১০ মিনিটে

ধরি,
m = 5
n = 3
∴ m²n² = 25 × 9 = 225

প্রশ্ন: 20% ডিসকাউন্টের পরে একটি বইয়ের খরচ 400 টাকা দাড়ায়। তবে বইটির প্রকৃত মূল্য কত?

সমাধান:
20% ডিসকাউন্টে,
ক্রয়মূল্য দাড়ায় = (100 - 20) টাকা
= 80 টাকা

বইয়ের ক্রয়মূল্য 80 টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = 100 টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = 100/80 টাকা
বইয়ের ক্রয়মূল্য 400 টাকা হলে প্রকৃত মূল্য = (100 × 400)/80 টাকা
= 500 টাকা

প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪৬। সংখ্যাগুলোর প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৪৫। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
পাঁচটি সংখ্যার গড় = ৪৬
পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪৬) = ২৩০

চারটি সংখ্যার গড় = ৪৫
চারটি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৪৫) = ১৮০।
পঞ্চম সংখ্যাটি = ২৩০ - ১৮০ = ৫০

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা।
এবং ৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১০৫ - ৯০) = ১৫ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬০)/১৫ টাকা
= ৪০০ টাকা।

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা।

আমরা জানি,
সুদাসল C, মুলধন P, সুদের হার r, এবং সময় n হলে

C = P (১ + nr/১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১ + n × ৬ ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮ = ৪৫০ (১০০ + ৬n ∕ ১০০)
⇒ ৫৫৮০০ ∕ ৪৫০ = ১০০ + ৬n
⇒ ৬n = ১২৪ - ১০০
⇒ n = ২৪ ∕ ৬

∴ n = ৪ বছর

প্রশ্ন: চার বছর পূর্বে কন্যার বয়স ছিলো মাতার বয়সের এক-সপ্তমাংশ। চার বছর পর মাতার বয়স কন্যার বয়সের তিনগুণ হলে মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
মাতার বর্তমান বয়স = ক বছর 
কন্যার বর্তমান বয়স = খ বছর

প্রশ্নমতে,
(খ - ৪) = (ক - ৪)/৭
⇒ ৭(খ - ৪) = ক - ৪
⇒ ৭খ - ২৮ = ক - ৪
⇒ ক - ৭খ = - ২৮ + ৪
⇒ ক - ৭খ =  - ২৪ ....................... (১)

আবার,
৪ বছর পরে,
(ক + ৪) = ৩(খ + ৪)
⇒ ক + ৪ = ৩খ + ১২
⇒ ক - ৩খ =  ১২ - ৪
⇒ ক - ৩খ = ৮ ............ (২)

(১) নং সমীকরণ থেকে (২) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(ক - ৭খ) - (ক - ৩খ) = - ২৪ - ৮
⇒ ক - ৭খ - ক + ৩খ = - ৩২
⇒ - ৪খ = - ৩২
⇒ খ = (- ৩২)/(- ৪)
⇒ খ = ৮

খ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ক - (৩ × ৮) = ৮
⇒ ক - ২৪ = ৮ 
⇒ ক = ৮ + ২৪
⇒ ক = ৩২

∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৩২ বছর 

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি পণ্য 20% লাভে বিক্রি করে। যদি সে পণ্যটি 10% কম মূল্যে ক্রয় করত এবং 21 টাকা কম মূল্যে বিক্রি করত, তবে তার 30% লাভ হত। পণ্যটির আসল ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
 পণ্যটির আসল ক্রয়মূল্য হলো x টাকা।

এখন, 
দোকানদার পণ্যটি 20% লাভে বিক্রি করে।
∴ আসল বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + 20% লাভ
= x + x এর 20% = x + x(20/100) = 6x/5
∴ আসল বিক্রয়মূল্য = 6x/5

আবার, 
যদি সে পণ্যটি ১০% কম মূল্যে ক্রয় করত, তাহলে
নতুন ক্রয়মূল্য = আসল ক্রয়মূল্য - 10% কম
= x - x এর 20% = x - x(10/100) = 9x/10
∴ নতুন ক্রয়মূল্য = 9x/10

যদি সে পণ্যটি 21 টাকা কম মূল্যে বিক্রি করত তাহলে,
∴ নতুন বিক্রয়মূল্য = আসল বিক্রয়মূল্য - 21 টাকা
= (6x/5) - 21 টাকা 

এবং, 
নতুন ক্রয়মূল্য এবং নতুন বিক্রয়মূল্যে তার 30% লাভ হত। লাভ সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব করা হয়।
∴ নতুন লাভ = নতুন ক্রয়মূল্যের 30%
 = (9x/10) × (30/100) = 27x/100

আমরা জানি,
নতুন লাভ = নতুন বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য
27x/100 = {(6x/5) - 21} - (9x/10)
⇒ 27x/100 = (12x - 210 - 9x)/10
⇒ 27x/100 = (3x - 210)/10
⇒ 27x = 10(3x - 210)
⇒ 27x = 30x - 2100
⇒ 3x = 2100
∴ x = 700

∴ পণ্যটির আসল ক্রয়মূল্য হলো 700 টাকা।