পাটিগণিত

প্রশ্ন: মাতার বর্তমান বয়স, কন্যার বর্তমান বয়সের ৫ গুণ।৩ বছর পর মাতার বয়স হবে কন্যার বয়সের ৪ গুণ। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
কন্যার বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৫ক বছর

৩ বছর পরে,
কন্যার বয়স হবে = (ক + ৩) বছর
মাতার বয়স হবে = (৫ক + ৩) বছর

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৩ = ৪(ক + ৩)
⇒ ৫ক + ৩ = ৪ক + ১২
⇒ ৫ক - ৪ক = ১২ - ৩
⇒ ক = ৯

∴ মাতার বর্তমান বয়স
= ৫ × ৯
= ৪৫ বছর।

অতএব, মাতার বর্তমান বয়স হলো ৪৫ বছর।

প্রশ্ন: ৪% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৪% = ৪/১০০ = ১/২৫ = ০.০৪
আসল, P = ১০০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ 
= ১০০০০ × (১ + ০.০৪)^২
= ১০০০০ × (১.০৪)^২
= ১০০০০ × ১.০৪ × ১.০৪
= ১০০০০ × (১০৪/১০০) × (১০৪/১০০)
= ১০৮১৬ টাকা

মোট পরীক্ষার্থী, n(S) = ১০০%
গণিতে পাশ, n(M) = ৮০%
বাংলায় পাশ, n(B) = ৭০%
গণিত এবং বাংলায় পাশ, n(M∩B) = ৬০%
গণিত অথবা বাংলায় পাশ, n(M∪B) = ?
আমরা জানি, n(M∪B) = n(M) + n(B) - n(M∩B)
= ৮০% + ৭০% - ৬০%
= ৯০%
সুতরাং গণিত অথবা বাংলা দুটি বিষয়েই ফেল = ১০০% - ৯০%
= ১০%

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ৪০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক
= ১০০০০ বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ৪০% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ৪০%) একক 
= [১০০ + {১০০ এর (৪০/১০০)}] একক 
= (১০০ + ৪০) একক 
= ১৪০ একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১৪০)^২ = ১৯৬০০ বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৯৬০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৯৬০০ বর্গ একক 

এখন,
১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(৯৬০০ × ১০০)/১০০০০} বর্গ একক
= ৯৬ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ৯৬%

প্রশ্ন: সরল সুদের হার কত হলে যে কোনো মূলধন 8 বছরে সুদে- আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = P টাকা 
সময় = 8 বছর
সুদে-আসল = 3P
অতএব, সুদ = 3P - P = 2P
আমরা জানি,
I = (P × R × T)/100
⇒ R = (2 × 100)/8
⇒ R = 25
∴ 25 টাকা।

প্রশ্ন: ৪৫ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ১৮%? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক এর ১৮% = ৪৫ 
বা, ক × (১৮/১০০) = ৪৫ 
বা, ক = ৪৫ × (১০০/১৮) 
∴ ক = ২৫০ 

∴ ৪৫ সংখ্যাটি ২৫০ এর ১৮% ।

প্রশ্ন: যদি P এবং Q উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিম্নের কোনটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরি, P = 2 এবং Q = 4 (যেহেতু P ও Q দুটিই জোড় সংখ্যা)।

এখন অপশনগুলোতে মান বসিয়ে পাই,
(ক) P² + Q = 2² + 4 = 4 + 4 = 8 (জোড়)
(খ) 3P + Q = 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10 (জোড়)
(গ) P + Q + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 (বিজোড়)
(ঘ) 2P + Q² = 2(2) + 4² = 4 + 16 = 20 (জোড়)

∴ সঠিক উত্তর: (গ) P + Q + 1

প্রশ্ন: √- 18  × √- 2 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
i = √- 1
বা, i² = - 1

দেওয়া আছে, 
√- 18  × √- 2
= √(- 1  × 18)  × √(- 1 × 2)
= √(- 1) × √18 × √(- 1) × √2
= {√(- 1) × √(- 1)} × √(18 × 2)
= i × i × √(36)
= 6i²
= - 6

পিতার বর্তমান বয়স = ৭০ এর ৫/৭ = ৫০ বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = ৭০ এর ২/৭ = ২০ বছর
∴ ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত= (৫০+১০) : (২০+১০) = ২ : ১

প্রথম ক্ষেত্রে, মুনাফা = (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
বা, মুনাফা = ৩০০ × ১ × ২০/১০০
বা, মুনাফা = ৬০ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, মুনাফা = (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
বা, মুনাফা = ২০০ × ১ × ১৫/১০০
বা, মুনাফা = ৩০ টাকা

সুতরাং মোট সুদ = (৬০ + ৩০) টাকা
= ৯০ টাকা।

প্রশ্ন: পাড়সহ একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৯০ মিটার ও প্রস্থ ৬০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৭ মিটার হয়, তবে পুকুরপাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (৯০ × ৬০) বর্গমিটার
= ৫৪০০ বর্গমিটার।

পাড় বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য
= {৯০ − (৭ × ২)} মিটার
= ৭৬ মিটার।

পাড় বাদে পুকুরের প্রস্থ
= {৬০ − (৭ × ২)} মিটার
= ৪৬ মিটার।

∴ পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (৭৬ × ৪৬) বর্গমিটার
= ৩৪৯৬ বর্গমিটার।

∴ পুকুরপাড়ের ক্ষেত্রফল
= (৫৪০০ − ৩৪৯৬) বর্গমিটার
= ১৯০৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: যদি (a/b) = (b/c) = (2/3) হয়, তবে a : c এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(a/b) = (b/c) = (2/3)

তাহলে, 
a/b = 2/3
∴ a = (2/3) × b ......(1) 
এবং , 
b/c = 2/3
∴ b = (2/3) × c

এখন, b এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ a = (2/3) × (2/3) × c
⇒ a = (4/9) × c
⇒ a/c = 4/9
∴ a : c = 4 : 9

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ৮ ইনিংসে রানের গড় ৪৫। ৯ম ইনিংসে সে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংস মিলিয়ে তার রানের গড় ৪৮ হবে? 

সমাধান:
৮ ইনিংসে মোট রান (৪৫ × ৮) = ৩৬০
৯ ইনিংসে মোট রান (৪৮ × ৯) = ৪৩২

∴ ৯ম ইনিংসে রান করতে হবে = (৪৩২ – ৩৬০) = ৭২

প্রশ্ন: a : b = 3 : 5 এবং b : c = 4 : 7 হলে, এর ‍a : c : b এর মান কোনটি?

সমাধান: 
a : b = 3 : 5 = 12 : 20
b : c = 4 : 7 = 20 : 35

a : b  : c = 12 : 20 : 35
a : c : b = 12 : 35 : 20

ইংরেজিতে ফেল করে = ১০০ - ৮৫ = ১৫ জন।
১৫ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন।
১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/১৫ জন।
৭৫ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ X ৭৫/১৫ জন।
= ৫০০ জন।

৫ + ৭ = ১২ এবং ৭২/১২ = ৬
অর্থাৎ, (৫x৬) = ৩০ এবং (৫x৬) = ৪২ জন হবে।

যদি কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক বা গুননীয়ক না থাকে তবে ঐ ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করা হয়েছে বোঝায়।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) ভগ্নাংশটির অর্থাৎ ১১৩/৩৫৫ এর লব ও হরের মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই। 
অন্যদিকে, ৭৭/১৪৩ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১১, ১০২/২৮৯ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১৭ এবং ৩৪৩/১০০১ এর সাধারণ গুণনীয়ক ৭। 
সুতরাং সঠিক উত্তর (গ)।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০×৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০×৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০×১০০/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

1/(x - 1) = 0 হলে, 1 = 0 হয় যা অসম্ভব।

প্রশ্ন: একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ২। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ২৫ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:
দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২

দুধের পরিমাণ = ৭ক লিটার
পানির পরিমাণ = ২ক লিটার

প্রশ্ন অনুসারে,
৭ক - ২ক = ২৫
⇒ ৫ক = ২৫
⇒ ক = ৫

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = ২ × ৫ = ১০ লিটার

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৪২০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

ধরি, 
অপর সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক × ৬০ = ১৫ × ৪২০
⇒ ক = (১৫ × ৪২০)/৬০
∴ ক = ১০৫

∴ অপর সংখ্যাটি = ১০৫

লবণের পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য ১২০ টাক।
১২০ টাকায় খরচ কমাতে হবে ২০ টাকা
∴ ১০০ 〃 〃 〃 〃 (২০×১০০)/১২০ টাকা
= ১৬.৬৭%

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৪৮ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = (১৮ + ৬) কি.মি./ঘণ্টা
= ২৪ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = (১৮ - ৬) কি.মি./ঘণ্টা
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ মোট সময় = (৪৮/১২) + (৪৮/২৪) ঘণ্টা 
= ৪ + ২ ঘণ্টা
= ৬ ঘণ্টা ।

২০% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য হয় ৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (৫৬০X১০০)/৮০ = ৭০০ টাকা