পাটিগণিত

অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য = ৩৮০+২০ = ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
⇒ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ২০/৪০০টাকা
⇒ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০X১০০)/৪০০ = ৫ টাকা
∴ ক্ষতির শতকরা হার = ৫%

প্রশ্ন: ২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর। যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড় ২ বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর
২০ জন শিক্ষার্থীর মোট বয়স (১০ × ২০) = ২০০ বছর

যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়,
তাহলে, ২০ জন শিক্ষার্থী + ১ জন শিক্ষক = ২১ জন

২১ জনের গড় বয়স ১২ বছর
২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) = ২৫২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) = ৫২ বছর

প্রশ্ন:  পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ১ হলে, পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
৬ বছর পর তাদের বয়সের গড় হবে = ৩০ + ৬ = ৩৬ বছর 
৬ বছর পর মোট বয়স হবে = ৩৬ × ২ = ৭২ বছর
৬ বছর পর পুত্রের বয়স = ৭২ × (১/৬)
= ১২ বছর 
বর্তমানে পুত্রের বয়স = (১২ – ৬) বছর
= ৬ বছর

প্রশ্ন: মি. করিম তার সম্পদের ২০% স্ত্রীকে, ৫০% ছেলেকে এবং অবশিষ্ট ৯০০০০ টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পদের মোট মূল্য কত? 
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​স্ত্রীকে দিল = ২০%
​ছেলেকে দিল = ৫০%
​
 ∴ মেয়েকে দিল = {১০০ - (২০ + ৫০)​}% = ৩০%
​
∴ ৩০% = ৯০০০০
∴ ​১% = ৯০০০০/৩০
∴ ​১০০% = (৩০০০ × ১০০) = ৩০০০০০ টাকা

এখানে,
r = ১০-৮ = ২
I = ১২৮
n = ৪
P = ?
আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, ১২৮ = (P×৯×২)/১০০
বা, ৮P = ১০০×১২৮
বা, P = (১০০×১২৮)/৮
P = ১৬০০ টাকা

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু = ৮৪০
এখন,
৮৪০/৬০ = ১৪ মিনিট

∴ ১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: রফিক একটি রাস্তার ১/৩ অংশ ঘণ্টায় ১২ কি.মি. বেগে এবং বাকি ২/৩ অংশ ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. বেগে অতিক্রম করে। পুরো পথ অতিক্রম করতে তার ৭ ঘন্টা সময় লাগে। রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট দূরত্ব = ক কি.মি.

এখানে,
প্রথম ১/৩ পথ = (ক/৩) কি.মি.,
এবং গতি = ১২ কি.মি./ঘন্টা

বাকি ২/৩ পথ = (২ক/৩) কি.মি.,
এবং গতি = ১৮ কি.মি./ঘন্টা

∴ প্রথম অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (ক/৩)/১২
= ক/৩৬ ঘন্টা

∴ দ্বিতীয় অংশে সময় = দূরত্ব/গতি
= (২ক/৩)/১৮
= ক/২৭ ঘন্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৩৬) + (ক/২৭) = ৭
⇒ (৩ক + ৪ক)/১০৮ = ৭
⇒ ৭ক = ৭ × ১০৮
⇒ ক = (৭ × ১০৮)/৭ 
∴ ক = ১০৮

∴ রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য = ১০৮ কি.মি.।

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা ২৪ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতিত হয়?

সমাধান: 
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ঘণ্টায় ১ বার সমাপতিত হয়।
তবে প্রতি ১২ ঘণ্টায় ১১ বার সমাপতিত হয়, কারণ ১১ টা থেকে ১২ টা এর মধ্যে কাঁটা দুইটি দুইবারের পরিবর্তে ১ বার সমাপতিত হয়।
∴ ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতিত হয় = (১১ × ২) বার
= ২২ বার।

৪০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৪০০×৫) বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ = (৫০০×৬) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ (২০০০+৩০০০) বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪৫০ টাক
∴ ১০০ টাকার ১বছরের সুদ (৪৫০×১০০)/৫০০০ টাকা
= ৯ টাকা

প্রশ্ন: ১৮০ টি আপেল তিন বোনের মধ্যে (১/৩) : (১/৪) : (১/৬) অনুপাতে ভাগ করে দেয়া হলো। দ্বিতীয় বোন কতটি আপেল পাবে?

সমাধান:
আপেল পাওয়ার অনুপাত = (১/৩) : (১/৪) : (১/৬) 
= (১/৩) × ১২ : (১/৪) × ১২ : (১/৬) × ১২
= ৪ : ৩ : ২

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (৪ + ৩ + ২) = ৯

∴ দ্বিতীয় বোন পাবে = (১৮০ × ৩/৯) = ৬০ টি

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ৫% আয়কর দেন। তিনি ৬০০ টাকা আয়কর দিলে তার মোট আয় কত? 

সমাধান: 
আয়কর ৫ টাকা হলে মোট আয় = ১০০ টাকা 
∴ আয়কর ১ টাকা হলে মোট আয় = ১০০/৫ টাকা 
∴ আয়কর ৬০০ টাকা হলে মোট আয় = (১০০ × ৬০০)/৫ টাকা 
= ১২০০০ টাকা ।

প্রশ্ন: ৬০০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
৬০০০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,

৬০০০ = (২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ × ৫)
= ২^৪ × ৩ × ৫^৩

পূর্ণবর্গ সংখ্যা পেতে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সূচক (power) জোড় হতে হবে।

এখানে, ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড়।
তাই পূর্ণবর্গ করতে প্রয়োজন = ৩ × ৫ = ১৫

প্রশ্ন: ৪৮ টাকা ডজন দরে ক্রয় করা কিছু সংখ্যক কলা ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলে এক কুড়ি কলার বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১ ডজন বা ১২ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৪৮ টাকা 
∴ ২০ টি কলার ক্রয়মূল্য = (৪৮ × ২০)/১২ = ৮০ টাকা 

১৫% লাভ করলে,
২০ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৮০ + ৮০ এর ১৫% 
= ৮০ + ৮০ × (১৫/১০০)
= (৮০ + ১২) টাকা 
= ৯২ টাকা  

প্রশ্ন: ০.০০২৪০১ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

সমাধান:
√০.০০২৪০১
= √(২৪০১/১০০০০০০)
= √(৪৯^২/১০০০^২)
= ৪৯/১০০০
= ০.০৪৯

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ৯ কি.মি. ও ৩ কি.মি.। নদীপথে ৩৬ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = ৯ + ৩ = ১২ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ৯ - ৩ = ৬ কি.মি./ঘণ্টা

 ∴ মোট সময় = (৩৬/১২) + (৩৬/৬) ঘণ্টা
= (৩ + ৬) ঘণ্টা
= ৯ ঘণ্টা 

৬৪ কেজি মিশ্রণে বালির পরিমাণ (৬৪ × ২৫/১০০) = ১৬ কেজি
∴ পাথরের পরিমাণ (৬৪ - ১৬) = ৪৮ কেজি।
এখন, ৪০% = ৪৮ কেজি
∴ ১০০% = (৪৮×১০০)/৪০ কেজি
= ১২০ কেজি
১২০ কেজিতে বালির পরিমাণ = (১২০ - ৪৮) = ৭২ কেজি
∴ বালি মিশাতে হবে = (৭২ - ১৬) = ৫৬ কেজি

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক নয়? 

সমাধান: 
সহমৌলিক সংখ্যা: দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

ক) ৩১ ও ৪৩
৩১ এবং ৪৩ উভয়ই মৌলিক সংখ্যা, তাই কোন সাধারণ উৎপাদক নেই।
∴ ৩১ ও ৪৩ সহমৌলিক

খ) ২৭ ও ৩৮
২৭ = ৩ × ৩ × ৩ 
৩৮ = ২ × ১৯
সাধারণ উৎপাদক নেই। 
২৭ ও ৩৮ সহমৌলিক

গ) ১৬ ও ২৮
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২ 
২৮ = ২ × ২ × ৭
সাধারণ উৎপাদক = ৪
১৬ ও ২৮ সহমৌলিক নয়। 

ঘ) ২১০, ১৪৩
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
১৪৩ = ১১ × ১৩
কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই
২১০ ও ১৪৩ সহমৌলিক

সুতরাং, ১৬ ও ২৮ জোড়াটি সহমৌলিক নয়। 

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি বেগে চলে। রাস্তার পাশের একটি খুঁটিকে ট্রেনটি কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩৬ কি.মি = (৩৬ × ১০০০) মিটার 
= ৩৬০০০ মিটার 

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

এখন, 
ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৫০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৫০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
= ৫ সেকেন্ডে 

∴ খুঁটিকে ট্রেনটি ৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করবে।

প্রশ্ন: দুটি রাশির অনুপাত ৬ : ১৩। পূর্ব রাশি ৫৪ হলে উত্তর রাশি কত? 

সমাধান:
পূর্ব রাশি : উত্তর রাশি = ৬ : ১৩
⇒ পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৬/১৩
⇒ ৫৪/উত্তর রাশি = ৬/১৩
⇒ ৬ × উত্তর রাশি = ৫৪ × ১৩
⇒ ৬ × উত্তর রাশি = ৭০২
⇒ উত্তর রাশি = ৭০২/৬
∴ উত্তর রাশি = ১১৭

প্রশ্ন: আপনার মোবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে ৪২০ টাকা। যদি ১ বছর পর ১০% বৃদ্ধি পায় এবং আরো ৬ মাস পর ২০% হারে বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর আপনার বিল কত হবে?

সমাধান:
১ম বছর শেষে বিল আসে = (৪২০ + ৪২০ এর ১০%) টাকা
= {৪২০ + (৪২০ × ১০/১০০)} টাকা
= (৪২০ + ৪২) টাকা
= ৪৬২ টাকা

আবার,
৬ মাস শেষে বিল আসে = (৪৬২ + ৪৬২ এর ২০%) টাকা
= {৪৬২ + (৪৬২ × ২০/১০০)} টাকা
= (৪৬২ + ৯২.৪) টাকা
= ৫৫৪.৪ টাকা

∴ ১৮ মাস শেষে বিল আসে = ৫৫৪.৪ টাকা

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৮ : ৩। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৯ : ৪ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৮ : ৩

ধরি,
মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়স যথাক্রমে ৮ক ও ৩ক

 ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৯ : ৪

প্রশ্নমতে,
(৮ক + ৫) : (৩ক + ৫) = ৯ : ৪
⇒ (৮ক + ৫)/(৩ক + ৫) = ৯/৪
⇒ ৩২ক + ২০ = ২৭ক + ৪৫
⇒ ৩২ক - ২৭ক = ৪৫ - ২০
⇒ ৫ক = ২৫
⇒ ক = ২৫/৫
∴ ক = ৫

∴ মাতার বর্তমান বয়স = (৮ × ৫) = ৪০ বছর ।

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের দ্বিগুণ এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ। ভাগফল ৩৬ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৩৬

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল × ২ = ৩৬ × ২ = ৭২
এবং ভাগশেষ = ভাজক × (১/৪) = × (১/৪)
= ১৮

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (৩৬ × ৭২) + ১৮
= ২৫৯২ + ১৮
= ২৬১০

প্রশ্ন: ৩/৫ এর শতকরা কত ৯/১০ হবে?

সমাধান:
ধরি,
৩/৫ এর ক% = ৯/১০
⇒ (৩/৫) × (ক/১০০) =৯/১০
⇒ (৩ক/৫০০) = ৯/১০
⇒ ৩ক = (৯ × ৫০০)/১০
⇒ ক = (৯ × ৫০০)/(১০ × ৩)
∴ ক= ১৫০

অর্থাৎ, ৩/৫ এর ১৫০% হলে সেটা ৯/১০ হয়।

প্রশ্ন: ০.০০১ × ০.০১ = কত?

সমাধান:
০.০০১ × ০.০১
= (১/১০০০) × (১/১০০)
= (১/১০০০০০)
= ০.০০০০১

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৪৪ এবং গ.সা.গু ১২। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৪ক/৩) = ১৪৪ × ১২
⇒ (৪/৩)ক^২ = ১৭২৮
⇒ ক^২ = ১৭২৮ × ৩/৪
⇒ ক^২ = ১২৯৬
⇒ ক = √১২৯৬
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩৬
∴ বড় সংখ্যাটি = (৩৬ × ৪)/৩ = ৪৮

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৪৮

প্রশ্ন: ৫০ থেকে ৭০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান: 
৫০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭
∴ তাদের মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৬৭ 

আবার,
তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩ 

∴ সংখ্যাদ্বয়ের গড় = (৫৩ + ৬৭)/২ 
= ১২০/২ 
= ৬০  । 

১২৫ = ৫ × ৫ × ৫
এবং,
১৪৫ = ৫ × ২৯
∴ গ. সা. গু. = ৫

প্রশ্ন: কোনো একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করে। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে কত টাকা লাভ হতো? 

সমাধান: 
১৫% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৫০০)/১০০ টাকা 
= ৫৭৫ টাকা 

ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে = {৫০০ - (৫০০ × ১৫)/১০০} টাকা 
= ৪২৫ টাকা 

∴ মোট লাভ = (৫৭৫ - ৪২৫) টাকা 
= ১৫০ টাকা।

প্রশ্ন : যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৬ হয়, তবে নিচের কোনটি সমতুল অনুপাত?

সমাধান:
⇒ ৪ : ৬ = ২ : ৩
⇒ ৮ : ১২ = ২ : ৩
⇒ ৬ : ৯ = ২ : ৩
সুতরাং সবগুলো সমতুল অনুপাত।

সমতুল অনুপাত:
- দুটি বা ততোধিক অনুপাতকে যদি একই সংখ্যক দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অন্য অনুপাত পাওয়া যায়, সেই সব অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়।

দুইটি সংখ্যার গুনফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু