পাটিগণিত

প্রশ্ন: ১৫ এর কত শতাংশ ১ এর ১৫ শতাংশের সমান? 

সমাধান: 
মনে করি,
১৫ এর ক% = ১ এর ১৫%
বা, ১৫ × ক/১০০ = ১ × ১৫/১০০
বা, ১৫ × ক × ১০০ = ১০০ × ১৫
বা, ক = (১০০ × ১৫)/(১৫ × ১০০)
বা, ক = ১৫০০/১৫০০
∴ ক = ১

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ২০ মিনিট, ৪০ মিনিট, ৬০ মিনিট, ৮০ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৭ টায় চারটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০, ৪০, ৬০, ৮০ এর ল. সা. গু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।
২০, ৪০, ৬০, ৮০ এর ল. সা. গু = ২৪০

তাহলে,
ঘণ্টাগুলো ২৪০ মিনিট বা (২৪০/৬০) বা ৪ ঘণ্টা পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

অতএব, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (৭ + ৪) = ১১ অর্থাৎ সকাল ১১ টায়।

প্রশ্ন: ৩৯০ টাকা ৩ জনকে (১/২) : (১/৩) : (১/৪) অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রথম জন ও তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (১/২) : (১/৩) : (১/৪)
= {(১ × ১২)/২} : {(১ × ১২)/৩} : {(১ × ১২)/৪}   ;[ ২, ৩, ৪ এর ল, সা গু = ১২ ]
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের সমষ্টি = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

এখন,
প্রথম জন পাবে = (৩৯০ এর ৬/১৩) = (৩০ × ৬) = ১৮০ টাকা
তৃতীয় জন পাবে = (৩৯০ এর ৩/১৩) = (৩০  ৩) = ৯০ টাকা

∴ প্রথম জন এবং তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য = ১৮০ - ৯০ = ৯০ টাকা

প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ২১০। সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাগুলো হলো, (ক - ১), ক, (ক + ১)

প্রশ্নমতে, 
(ক - ১) × ক × (ক + ১) = ২১০ 
⇒ ক (ক^২ - ১) = ২১০
⇒ ক^৩ - ক - ২১০ = ০

এখন, ক এর মান বসিয়ে পাই, 
ক = ৬ হলে, 
(৬)^৩ - ৬ - ২১০
= ২১৬ - ৬ - ২১০
= ০ 

সুতরাং, ক = ৬
∴ সংখ্যাগুলো = ৫, ৬, ৭ 

∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫ + ৬ + ৭ = ১৮ 

প্রশ্ন: একজন কর্মচারীর বেতন ১৫% বৃদ্ধি পায় এবং সঞ্চয়ও সমান হারে বৃদ্ধি পায়। বৃদ্ধির পর তার সঞ্চয় ২৩০০ টাকা হলো। পূর্বের সঞ্চয় কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্মচারীর পূর্বের মাসিক সঞ্চয় = ক টাকা।

সঞ্চয় ১৫% বৃদ্ধি পাওয়ার ফলে নতুন সঞ্চয় হয়, 
ক + ক এর ১৫% = ২৩০০
অর্থাৎ,
⇒ ক + (১৫/১০০)ক = ২৩০০
⇒ ক × ১.১৫ = ২৩০০
⇒ ক = ২৩০০/১.১৫
⇒ ক = (২৩০০ × ১০০)/১১৫
⇒ ক = ২০০০

∴ কর্মচারীর পূর্বের মাসিক সঞ্চয় ছিল ২০০০ টাকা।

৬, ৮, ১০ ও ১২ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২×২×৩×২×৫ = ১২০
সুতরাং নির্ণেয় বর্গ সংখ্যাটি = ২×২×৩×৩×২×২×৫×৫
= ৩৬০০

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা । স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, স্রোতের অনুকূলে ৬০ কি.মি. যেতে নৌকাটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
 স্থির পানিতে,
একটি নৌকার বেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে বেগ, a = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ( ১০ + ৫ ) কি.মি./ঘণ্টা 
= ১৫ কি.মি./ঘণ্টা

তাহলে,
 স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির ১৫ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগবে ১ ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির ১ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগবে (১/১৫) ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির  ৬০ কি.মি. অতিক্রম করতে সময় লাগবে = (১/১৫) × ৬০ ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: 18 ফুট x 12 ফুট মাপের ফ্লোর সর্বোচ্চ বর্গাকৃতির (বর্গফুট) মাপের কতটি টাইলসে ঢাকা যাবে?

সমাধান: 
ফ্লোরের মাপ: 18 ফুট × 12 ফুট
আমরা চাই, সর্বোচ্চ বর্গাকার টাইলসের সংখ্যা, মানে আমরা বড় বর্গাকার টাইল ব্যবহার করতে চাই যাতে পুরো ফ্লোর ঠিকভাবে ঢেকে যায়।
এজন্য আমাদের 18 এবং 12 এর সর্বোচ্চ সাধারণ গুণক (HCF) বের করতে হবে।

18 এর গুণক: 1, 2, 3, 6, 9, 18
12 এর গুণক: 1, 2, 3, 4, 6, 12

সাধারণ গুণক: 1, 2, 3, 6

সর্বোচ্চ সাধারণ গুণক = 6 ফুট

এখন প্রতিটি টাইলসে 6 ফুট × 6 ফুট।

ফ্লোরে টাইলসের সংখ্যা:
দৈর্ঘ্যে: 18 ÷ 6 = 3
প্রস্থে: 12 ÷ 6 = 2

মোট টাইলস: 3 × 2 = 6
সঠিক উত্তর: ঘ) 6 টি

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ৪ কি.মি.। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ৩ ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। একই দূরত্ব স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে,
নৌকাটির গতিবেগ = দূরত্ব/সময় = (১৮/৩) কি.মি./ঘণ্টা = ৬ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের বেগ = স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ - স্থির পানিতে নৌকার বেগ
= (৬ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা

ফিরে আসার সময়,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ
= (৪ - ২)কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা

এখন, স্রোতের প্রতিকূলে,
২ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ১ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = ১/২ ঘণ্টা
∴ ১৮ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = (১ × ১৮)/২ ঘণ্টা = ৯ ঘণ্টা

আমরা জানি,
৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৫৯ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১।
সুতরাং সংখ্যা দুটির যোগফল = ৫৯ + ৩১
= ৯০

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার জন্য সেই সংখ্যাকে ২ এবং ৩ উভয় দ্বারাই বিভাজ্য হতে হবে।
অর্থাৎ, শেষ অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬, ৮ হবে এবং অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।)

(ক) ৫২৫
শেষ অঙ্ক ৫; ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়
যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়

(খ) ২১৪
শেষ অঙ্ক ৪; ২ দ্বারা বিভাজ্য
অঙ্কের যোগফল = ২ + ১ + ৪ = ৭ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়। 
 
(গ) ৪৩২
শেষ অঙ্ক ২ ; যা ২ দ্বারা বিভাজ্য
অঙ্কের যোগফল = ৪ + ৩ + ২ = ৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
সুতরাং ৬ দ্বারা বিভাজ্য (৪৩২ ÷ ৬ = ৭২)

(ঘ) ৭৪১
শেষ অঙ্ক ১ ; যা ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়

সঠিক উত্তর: (গ) ৪৩২

১০ জন পুরুষ কাজ করে = ১২ জন বালকের
∴ ১৫ জন পুরুষ কাজ করে = (১২/১০) × ১৫ = ১৮ জন বালকের
∴ মোট বালক = ১৮ + ৬ = ২৪ জন
প্রশ্নমতে,
১২ জন বালক একটি কাজ করে = ২৪ দিনে
∴ ২৪ জন বালক ঐ কাজটি করে (১০×১২)/২৪ = ৫ দিনে

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৮১০ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা 
= ৯০ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮১০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮১০)/৯০ টাকা 
= ৯০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা।

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ১০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

সমাধান:
মনে করি,
চিনির মূল্য ১০০ টাকা।

১০% কমলে চিনির মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা।

বর্তমান মূল্য ৯০ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা।
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০/৯০ টাকা।
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকায় পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/৯০
=

∴ চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে = [(১০০০/৯) - ১০০]%
= (১০০/৯)%
=

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি টাকায় ২ টি এবং টাকায় ৪ টি করে সমান সংখ্যক লেবু ক্রয় করে টাকায় ৩ টি করে লেবু বিক্রয় করলেন। ঐ ব্যক্তির শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
টাকায় ২ টি করে ২ টাকায় ব্যক্তিটি ৪ টি লেবু ক্রয় করলো
টাকায় ৪ টি করে ১ টাকায় আরো ৪ টি লেবু ক্রয় করলো
৮ টি লেবু ক্রয় করলো ৩ টাকায়
∴ ১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য ৩/৮ টাকা

৩ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= (৩/৮) - (১/৩)
= (৯ - ৮)/২৪
= ১/২৪ টাকা

∴ শতকরা ক্ষতির হার = {(ক্ষতি/ক্রয়মূল্য) × ১০০}%
= {(১/২৪)/(৩/৮) × ১০০}%
= (১ × ৮ × ১০০)/(২৪ × ৩)%
= (১০০/৯)%
= ১১.১১% (প্রায়)

∴ ঐ ব্যক্তির শতকরা ১১.১১% ক্ষতি হলো।

অশিক্ষিত = ৭/২৫
∴ শিক্ষিত = ১ - ৭/২৫
= (২৫ - ৭)/২৫
= ১৮/২৫
∴ শিক্ষিতের শতকরা হার = (১৮/২৫) × ১০০
= ৭২%

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x এর ৩/৭ = ৪৮
∴ x = (৪৮×৭)/৩ = ১১২

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + (২৪০ - ক)/৪০ = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ সে ৮০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১৬০ কি.মি গিয়েছিল।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ৫ মিটার হলে চৌবাচ্চার পানি ধারণ ক্ষমতা হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৪ মিটার
চৌবাচ্চার প্রস্থ ২ মিটার
চৌবাচ্চার উচ্চতা ৫ মিটার

চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা ঘনএ
= ৪ × ২ × ৫ ঘন মিটার
= ৪০ ঘন মিটার

১ ঘন মিটার = ১০০০ লিটার
⇒ ৪০ ঘন মিটার = ৪০ × ১০০০ = ৪০০০০ লিটার

১ লিটার পানির ওজন = ১ কেজি
⇒ ৪০০০০ লিটার পানির ওজন = (৪০০০০ × ১) কেজি
= ৪০০০০ কেজি

√(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬)
= ৩/৪
যা একটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১২ কি.মি ও ৩ কি.মি । স্রোতের অনুকূলে ৪৫ কি.মি পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১২ কি.মি/ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ৩ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (১২ + ৩) = ১৫ কি.মি/ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১২ - ৩) = ৯ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ ৪৫ কি.মি পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৪৫/১৫ = ৩ ঘণ্টা 

এবং 
৪৫ কি.মি পথ পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৪৫/৯ = ৫ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৫ = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একই সুদে ৬০০ টাকার ৩ বছরের সুদ এবং ৭০০ টাকার ৪ বছরের সুদ একত্রে ৪৬০ টাকা হলে সুদের হার কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​সরল সুদ, I = Pnr/১০০
যেখানে, P = আসল, n = সময় এবং r = সুদের হার।

১ম ক্ষেত্রে,
P = ৬০০ টাকা
n = ৩ বছর
সুদ, I₁ = (৬০০ × ৩ × r)/১০০ 
​= ১৮r টাকা

২য় ক্ষেত্রে,
P = ৭০০ টাকা
n = ৪ বছর
সুদ, I₂ = (৭০০ × ৪ × r)/১০০ = ২৮r টাকা

প্রশ্নমতে,
I₁ + I₂ = ৪৬০
বা, ১৮r + ২৮r = ৪৬০
বা, ৪৬r = ৪৬০
বা, r = ৪৬০/৪৬
∴ r = ১০

∴ সুদের হার ১০%।

প্রশ্ন: x² - 9, x² + 6x + 9, এবং x³ - 27 রাশিগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x² + 6x + 9
= x² + 2 . x . 3 + 3² 
= (x + 3)²
= (x + 3)(x + 3)

৩য় রাশি = x³ - 27
= x³ - 3³
= (x - 3)(x² + 3x + 9)

∴ নির্ণেয় লসাগু = (x + 3)(x + 3)(x - 3)(x² + 3x + 9)
= (x + 3)²(x³ - 27)

প্রশ্ন: ০.০০৫৭৭৬ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

সমাধান:
√০.০০৫৭৭৬ = √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৭৬^২/১০০০^২)
= ৭৬/১০০০
= ০.০৭৬

প্রশ্ন: কোনো কারখানায় একজন কর্মীর দৈনিক মজুরি ছিল ১০০ টাকা। মন্দার কারণে মজুরি ৫০% কমানো হয়। পরে কমানো মজুরির ওপর ৬০% বৃদ্ধি করা হয়। বর্তমানে দৈনিক মজুরি কত?

সমাধান:
৫০% কমার পর দৈনিক মজুরি = (১০০ - ১০০ এর ৫০%) টাকা 
= [১০০ - {100 × (50/100)}] টাকা
= (১০০ - ৫০) টাকা
= ৫০ টাকা

আবার, ৬০% বৃদ্ধিতে দৈনিক মজুরি = (৫০ + ৫০ এর ৬০%) টাকা
= [৫০ + {৫০ × (৬০/১০০)}] টাকা
= (৫০ + ৩০) টাকা 
= ৮০ টাকা  

মনে করি, সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক এর ৪০% - ৪০ = ৪০
বা, ক এর ৪০/১০০ = ৪০ + ৪০
বা, ৪০ক = ৮০০০
বা, ক = ২০০

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে
- দুইটি জোড় সংখ্যার গুণফল এর গুণিতক জোড় সংখ্যা।
-বিজোড় সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
যেমন: 1 বর্গ = 1² = 1 এবং 3 বর্গ = 3² = 9
- পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা।
যেমন √২, √৩ যা অমূলদ সংখ্যা।

১০ টি লেবুর ক্রয় মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ৫/১০ = ০.৫ টাকা
আবার,
৮ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য ৫/৮ = ০.৬২৫ টাকা
সুতরাং লাভ = (০.৬২৫ - ০.৫) = ০.১২৫
০.৫ টাকায় লাভ হয় ০.১২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (০.১২৫×১০০) / ০.৫ টাকা
= ২৫ টাকা
সুতরাং ২৫% লাভ হয়।

রোমান সংখ্যার Face Value - I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, এবং M = 1,000
সুতরাং, 
MMMDCCLXXVII = 1000 + 1000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1
= 3777

লাভ = ১.২৬ - ১.০৫
= ০.২১
∴ লাভের হার = (০.২১ × ১০০)/১.০৫
= ২০%

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৩ : ২। যদি ঐ মিশ্রণে ২০ লিটার পানি যোগ করা হয়, তাহলে অনুপাত হয় ৩: ৪। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
ধরি, 
প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ক  
এবং পানির পরিমাণ = ২ক

২০ লিটার পানি যোগ করার পর পানির পরিমাণ = ২ক + ২০

প্রশ্নমতে,
৩ক : (২ক + ২০) = ৩ : ৪
বা, ৩ক/(২ক + ২০) = ৩/৪
বা, ৩ক × ৪ = ৩ × (২ক + ২০)
বা, ১২ক = ৬ক + ৬০
বা, ১২ক − ৬ক = ৬০
বা, ৬ক = ৬০
∴ ক = ১০

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩ × ১০ = ৩০ লিটার

৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ ফুট
৬৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ X ৬৪/৪ = ৯৬ ফুট

ধরি, a = 2 ,b = 4(যেহেতু a,b যদি দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা)। তাহলে b²+1 = 4²+1 = 17, যা স্পষ্টত বিজোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: রায়হান গড়ে প্রতি ঘন্টায় ৪ কি.মি. গতিতে একটি পথ অতিক্রম করতে ক ঘন্টা সময় নেয়। ফারুক একই পথ ক/২ ঘন্টায় শেষ করে। তাহলে ফারুকের গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
এখানে,
রায়হান গড়ে ঘণ্টা প্রতি ৪ কি.মি. গতিতে একটি ট্রিপ শেষ করতে ক ঘণ্টা সময় নেয়।
∴ রায়হানের দূরত্ব = ৪ × ক = ৪ক কি.মি.

ফারুক একই পথ অতিক্রম করতে সময় নেয় = ক/২ ঘন্টা

∴ ফারুকের গড় গতি = দূরত্ব/সময়
= ৪ক ÷ (ক/২) = ৪ক × ২/ক = ৮ কি.মি./ঘন্টা

∴ ফারুকের গড় গতি = ৮ কি.মি./ঘন্টা

প্রশ্ন: ৭৫০ কে তিন অংশে এমন ভাবে ভাগ করুন যাতে তাদের অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ হয়।

সমাধান:
৭৫০ কে ৪ : ৫ : ৬ অনুপাতে ভাগ করতে হবে।
প্রথমে অনুপাতের মোট অংশ বের করি:
অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫ অংশ

∴ প্রতি অংশের মান = ৭৫০/১৫
= ৫০

তাহলে তিন অংশ হবে যথাক্রমে,
প্রথম অংশ = ৪ × ৫০ = ২০০
দ্বিতীয় অংশ = ৫ × ৫০ = ২৫০
তৃতীয় অংশ = ৬ × ৫০ = ৩০০

অতএব, ৭৫০-কে ৪ : ৫ : ৬ অনুপাতে ভাগ করলে অংশ তিনটি হবে যথাক্রমে ২০০, ২৫০ এবং ৩০০।

ধরি ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ লিখিত মূল্য  ১২০ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য = ১২০ × ৯৫/১০০ = ১১৪
∴ লাভের হার = ১১৪ - ১০০ = ১৪%