পাটিগণিত

রহিম ও করিমের টাইপ করতে সময়ের অনুপাত = ৫ঃ৮
সুতরাং তাদের কাজের গতিবেগ = ৮ঃ৫।
অর্থাৎ যার কাজ করতে কম সময় লাগে তার গতিবেগ বেশি।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭২০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৭২০ = ৮২০ - ক
⇒ ক + ক = ৮২০ + ৭২০
⇒ ২ক = ১৫৪০
∴ ক = ৭৭০

10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য 100-10 = 90 টাকা
90 টাকায় বিক্রয় করা হলে, ক্রয়মূলয় ছিল 100 টাকা
1 টাকায় বিক্রয় করা হলে, ক্রয়মূলয় ছিল 100/90 টাকা
270 টাকায় বিক্রয় করা হলে, ক্রয়মূলয় ছিল (100 X 270)/90 টাকা = 300 টাকা

প্রশ্ন: মামুনের বয়স ৪ বছর ও তার বোনের বয়স ৬ মাস হলে, তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মামুনের বয়স = ৪ বছর
তার বোনের বয়স = ৬ মাস

এখন, প্রথমে দুজনের বয়সকে একই এককে (মাসে) রূপান্তর করে পাই,
মামুনের বয়স = ৪ বছর = ৪ × ১২ = ৪৮ মাস ; [১ বছর = ১২ মাস] 
এবং বোনের বয়স = ৬ মাস

এখন অনুপাত = মামুন : বোন
= ৪৮ মাস : ৬ মাস
= ৪৮ : ৬
= ৮ : ১ ; [৬ দিয়ে ভাগ করে] 

সুতরাং, মামুন ও তার বোনের বয়সের অনুপাত = ৮ : ১

প্রশ্নমতে,
১৮ টি আমের বিক্রয় মূল্য = ( ১৮ - ৬ ) = ১২ টি আমের ক্রয় মূল্য
১২ টি আমের ক্রয় মূল্য ৬০০ টাকা
১ টি আমের ক্রয় মূল্য ৬০০/১২ = ৫০ টাকা
অপশনে ৫০ টাকা দেওয়া নেই, তাই উত্তর হবে কোনোটি নয়।

প্রশ্ন: একজন দৌড়বিদ ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে দৌড়ালে ৫ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গতিবেগ = ১০ মিটার/সেকেন্ড
দূরত্ব = ৫ কি.মি. = ৫ × ১০০০ = ৫০০০ মিটার

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতিবেগ
= ৫০০০ ÷ ১০
= ৫০০ সেকেন্ড

৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট
∴ ৫০০ সেকেন্ড = ৮ মিনিট ২০ সেকেন্ড

∴ ৫ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার ৮ মিনিট ২০ সেকেন্ড সময় লাগবে

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যা p ও q (যেখানে q ≠ 0) এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৫/৩, ২.৫, √৯ = ৩ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৭, √১১ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) √১৪৪ = ১২। এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ১৪৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) ৭/১১ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √৫০ = √(২৫ × ২) = ৫√২। এখানে √২ একটি অমূলদ সংখ্যা এবং ২ পূর্ণবর্গ নয়।
√৫০ = ৭.০৭১০৬৭৮১১৮...... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) ৪.২৫ = ৪২৫/১০০ = ১৭/৪, এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √৫০ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: P ও Q উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।

ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি P = 5 এবং Q = 7,

ক) PQ = (5 × 7) = 35 (বিজোড় সংখ্যা),
খ) PQ + 2 = (5 × 7) + 2 = 35 + 2 = 37 (বিজোড় সংখ্যা),
গ) P + Q = (5 + 7) = 12 (জোড় সংখ্যা) এবং
ঘ) P + Q + 1 = (5 + 7 + 1) = 13 (বিজোড় সংখ্যা)।

∴ (P + Q) জোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১৪টি আপেল এবং ২৩টি কমলালেবু আছে ।বাক্স থেকে কতগুলো কমলালেবু বের করতে হবে যাতে ফলগুলোর ৭০% আপেল হয়? 

সমাধান: 
আপেল = ১৪টি
কমলালেবু = ২৩টি

বাক্সে ফল = ১৪ + ২৩ = ৩৭ টি 

ধরি 
বাক্স থেকে কমলালেবু বের করতে হবে = ক টি 

এখন 
(৩৭ - ক) এর ৭০% = ১৪ 
বা, (৩৭ - ক) এর ৭০/১০০ = ১৪ 
বা, ৭(৩৭ - ক)/১০ = ১৪
বা, (৩৭ - ক)/১০ =  ২
বা, ৩৭ - ক = ২০ 
বা, ৩৭ - ২০ = ক 
∴ ক = ১৭ 

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭

প্রশ্ন: ৬০ কিমি/ ঘণ্টা গতিবেগে যাওয়া ১০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন, তার দ্বিগুণ গতিসম্পন্ন বিপরীত দিকে যাওয়া অপর ট্রেনকে ১০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৬০ কিমি/ ঘণ্টা
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ১২০ কিমি/ ঘণ্টা

আপেক্ষিক গতিবেগ = (৬০ + ১২০) কিমি/ ঘণ্টা
= ১৮০ কিমি/ ঘণ্টা

ট্রেনগুলো ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ১৮০০০০ মিটার 
ট্রেনগুলো ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ১৮০০০০/৩৬০০ মিটার 
ট্রেনগুলো ১০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে (১৮০০০০ × ১০)/৩৬০০ মিটার 
= ৫০০ মিটার 

দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫০০ - ১০০) মিটার 
= ৪০০ মিটার 

প্রশ্ন: ৫ জন তাঁতির ৫টি পোশাক তৈরি করতে ৫ দিন লাগলে ১০ জন তাঁতির ১০টি পোশাক তৈরি করতে কত দিন সময় লাগবে?

সমাধান: 
৫ জন তাঁতির ৫টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = ৫ দিন
∴ ১ জন তাঁতির ১টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৫ × ৫)/৫ দিন
∴ ১০ জন তাঁতির ১০টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৫ × ৫ × ১০)/(৫ × ১০) দিন
= ৫ দিন। 

প্রশ্ন: একটি ব্যাংকে ১০০০০ টাকা ২ বছরের জন্য বার্ষিক ১০% হারে বিনিয়োগ করা হলো। সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার মধ্যে পার্থক্য কত টাকা?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 

সূত্র: SI = (P × R × T) / ১০০

দেওয়া আছে:

আসল, P = ১০০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, SI = (P × r × n)/১০০
= (১০০০০ × ১০ × ২)/১০০
= ২০০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, CI = P(১ + r/১০০)ⁿ - P
= ১০০০০ × (১ + ১০/১০০)^২ - ১০০০০
= ১০০০০ × (১.১)^২ - ১০০০০ 
= (১০০০০ × ১.২১) - ১০০০০
= ১২১০০ - ১০০০০ 
= ২১০০ টাকা

∴ পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা = ২১০০ - ২০০০ = ১০০ টাকা

ধরি, হিমাগারের দৈর্ঘ্য x একক, প্রস্থ y একক এবং উচ্চতা z একক।
হিমাগারের আয়তন xyz ঘন একক।
30% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য (x + x এর 30/100) একক
= (x + 3x/10) = 13x/10 একক
50% বৃদ্ধিতে প্রস্থ (y + y এর 50/100) একক
= 3y/2 একক
20% হ্রাসে উচ্চতা (z - z এর 20/100) একক
= (z - z/5) = 4z/5 একক
হিমাগারের নতুন আয়তন (13x/10 × 3y/2 × 4z/5) ঘন একক
= 39xyz/25 ঘন একক
বৃদ্ধিপ্রাপ্ত অংশ = (39xyz/25 - xyz) ঘন একক
= (39xyz - 25xyz)/25 = 14xyz/25 ঘন একক
নতুন হিমাগারের আয়তন পুরনো হিমাগারের আয়তনের
= [(14xyz × 100)/(25 × xyz)] %
= 56%

এখানে,
P = ৫০০০
r = ১০
n = ৩
সরল মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, I = (৫০০০×৩×১০)/১০০ = ১৫০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মূলধন,
C = P (১+(r/১০০))ⁿ
= ৫০০০(১+(১০/১০০))^৩
= ৫০০০(১+(১/১০০))^৩
= ৫০০০(১+০.১)^৩
= ৫০০০×(১.১)^৩
= ৫০০০×১.৩৩১
= ৬৬৫৫ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = (৬৬৫৫-৫০০০) = ১৬৫৫ টাকা।
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল-মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫-১৫০০) = ১৫৫ টাকা।

 প্রশ্ন: ০.৫ × ০.০৩ × ০.০৪ = কত?

সমাধান:

৫০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ১০০ টাকা
১ টাকার ৫ বছরের সুদ ১০০/৫০০০ টাকা
∴ ২০০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ (১০০×২০০০০)/৫০০০ = ৪০০ টাকা

মনে করি চিনির আগের মূল্য = ১০০ টাকা
১৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা
১১৫ টাকাতে খরচ কমাতে হবে = ১৫ টাকা
১ '' '' '' '' '' '' '' = ১৫/১১৫ ''
১০০  '' '' '' '' '' '' '' = (১৫×১০০)/১১৫ = ১৩.০৪ টাকা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ৮ মাইল/ঘন্টা পায়ে হেঁটে এবং ১৩ মাইল/ঘন্টা সাইকেলে ভ্রমণ করেছেন। তিনি ৮ ঘণ্টায় ৮৪ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করেছেন। তিনি কত ঘণ্টা সাইকেল চালিয়েছেন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
হাঁটার গতি = ৮ মাইল/ঘণ্টা
সাইকেলের গতি = ১৩ মাইল/ঘণ্টা
মোট সময় = ৮ ঘণ্টা
মোট দূরত্ব = ৮৪ মাইল

ধরি, সাইকেল চালিয়েছেন = ক ঘণ্টা
এবং হেঁটেছেন = (৮ - ক) ঘণ্টা

প্রশ্নমতে, 
৮(৮ - ক) + ১৩ক = ৮৪ 
⇒ ৬৪ - ৮ক + ১৩ক = ৮৪
⇒ ৫ক = ৮৪ - ৬৪ 
⇒ ৫ক = ২০ 
⇒ ক = ২০/৫ 
∴ ক = ৪ 

সুতরাং, তিনি ৪ ঘণ্টা সাইকেল চালিয়েছেন।

প্রশ্ন: দুধের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি দুধের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি দুধের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

সমাধান:
ধরি,
২৫% বৃদ্ধিতে দুধের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

এখন,
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ দুধের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০)% = ২০%

অর্থাৎ, তিনি পূর্বের ব্যবহারের তুলনায় ২০% কম দুধ ব্যবহার করবেন।

প্রশ্ন: বর্তমানে বাবার বয়স মেয়ের বয়সের ৩ গুণ। ১০ বছর পর বাবার বয়স মেয়ের বয়সের ২ গুণ হবে। মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, মেয়ের বর্তমান বয়স = ক বছর
তাহলে, বাবার বর্তমান বয়স = ৩ক বছর

এখন,
১০ বছর পর,
মেয়ের বয়স = ক + ১০ বছর
বাবার বয়স = ৩ক + ১০ বছর

প্রশ্নমতে,
৩ক + ১০ = ২(ক + ১০)
⇒ ৩ক + ১০ = ২ক + ২০
⇒ ৩ক - ২ক = ২০ - ১০
⇒ ক = ১০

সুতরাং, মেয়ের বর্তমান বয়স ১০ বছর।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে কত টাকা লাভ হতো? 

সমাধান: 
১৫% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ৫০০)/১০০ টাকা 
= ৫৭৫ টাকা 

ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে = {৫০০ - (৫০০ × ১৫)/১০০} টাকা 
= ৪২৫ টাকা 

∴ মোট লাভ = (৫৭৫ - ৪২৫) টাকা 
= ১৫০ টাকা।

Let the numbers be 2x, 3x, 5x and 7x respectively
Then their LCM = (2×3×5×7)x = 210x. [∴ 2, 3, 5, 7 are prime numbers]
So, 210x = 630 or x = 3
∴ The numbers are 6, 9, 15 and 21
Required difference = 21 - 6 = 15

প্রশ্ন: একটি পিপায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নলটি খুলে দিলে পিপাটি ২০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দ্বিতীয় নলটি খুলে দিলে ৩০ মিনিটে পরিপূর্ণ পিপাটি খালি হয়। দুটি নল এক সঙ্গে খুলে দিলে খালি পিপাটি কত সময়ে পূর্ণ হয়?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় পিপাটির ১ অংশ
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় পিপাটির ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে খালি হয় পিপাটির ১ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় পিপাটির ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা 1 মিনিটে পূর্ণ হয়  = {(১/২০) - (১/৩০)} অংশ
= (৩ - ২)/৬০ অংশ 
= ১/৬০ অংশ

১/৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৬০)/১ মিনিটে
= ৬০ মিনিটে

প্রশ্ন: a ও b উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে? 

সমাধান: 
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।

ধরি, 
বিজোড় সংখ্যা দুইটি a = 3 এবং b = 5, 
ক) ab = (3 × 5) = 15 (বিজোড় সংখ্যা),
খ) ab + 2 = (3 × 5) + 2 = 15 + 2 = 17 (বিজোড় সংখ্যা), 
গ) a + b = (3 + 5) = 8 (জোড় সংখ্যা) এবং
ঘ) a + b + 1 = (3 + 5 + 1) = 9 (বিজোড় সংখ্যা)।

∴ (a + b) জোড় সংখ্যা হবে। 

শফিক, রফিক এবং অনিকের বেতন যথাক্রমে ৭x, ৫x, ৩x টাকা
শর্তমতে, 
৫x - ৩x = ৭২০০
বা, ২x = ৭২০০
∴ x = ৩৬০০ টাকা
∴ শফিকের বেতন = ২৫,২০০ টাকা

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ১ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৪ আছে এমন সংখ্যা তিনটি।
সংখ্যাগুলো হলো = ১১, ৩১ এবং ৪১।
তাদের যোগফল = ১১ + ৩১ + ৪১
= ৮৩

প্রশ্ন: রফিক ও করিমের আয়ের অনুপাত ৫ : ২। রফিকের আয়, করিমের আয়ের চেয়ে ১৮০০ টাকা বেশি হলে, করিমের আয় কত?

সমাধান:
ধরি,
রফিক ও করিমের আয় যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক

∴ তাদের আয়ের পার্থক্য = ৫ক - ২ক = ৩ক

প্রশ্নমতে,
৩ক = ১৮০০
বা, ক = ১৮০০/৩
∴ ক = ৬০০ টাকা

∴ করিমের আয় = ২ক
= ২ × ৬০০ = ১২০০ টাকা

এখানে,
৫|৫, ৮, ২০
  ৪|১, ৮, ৪
     ১, ২, ১
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৪ × ১ × ২ × ১ = ৪০
∴ চকোলেট সংখ্যা = ৪০ + ৩
= ৪৩ টি

ট্রেনের গতি = ৫৪ কি.মি./ঘন্টা = ১৫ মি./সে. [শর্টকাটঃ ৫/১৮ দিয়ে গুণ দিলেই হবে]
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
ধরা যাক,
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = x মিটার

তাহলে,
(x + 300)/36 = 15
⇒ x + 300 = 540
x = 240 মিটার

প্রশ্ন: ২৫০ টাকা ৬ বছরে মুনাফা-আসলে ৫৫০ টাকা হলে, বার্ষিক সরল মুনাফার হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ২৫০ টাকা
সময়, n = ৬ বছর
মুনাফা-আসল, A = ৫৫০ টাকা
মুনাফা, I = মুনাফা-আসল - আসল = ৫৫০ - ২৫০ = ৩০০ টাকা 

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা, I = (P × r × n)/১০০ 
⇒ ৩০০ = (২৫০ × r × ৬)/১০০
⇒ ৩০০ = ১৫r
⇒ r = ৩০০/১৫ 
∴ r = ২০ 

সুতরাং, বার্ষিক সরল মুনাফার হার ২০% হবে।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ৪ মিটার পানির উপরে, বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/২) + (ক/৩) অংশ
= (৩ক + ২ক)/৬  অংশ
= ৫ক/৬ অংশ

আবার,
পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬) = ক/৬ অংশ

শর্তমতে,
ক/৬ = ৪  মিটার
∴ ক  = ২৪ মিটার

অতএব, বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার। 

সঞ্চয় = ৫০০০ - ৪৫০০ = ৫০০ টাকা।
∴ ব্যয় ∶ সঞ্চয় = ৪৫০০ ∶ ৫০০ = ৯ ∶ ১

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ১? 

সমাধান: 
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৫, ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ বেশি

∴ ৩, ৫, ৬ এর ল.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা ৩০ + ১ = ৩১

প্রশ্ন: ৪৮ লিটার তেলের মিশ্রণে ডিজেল ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ৫। মিশ্রণে আর কত লিটার ডিজেল যোগ করলে নতুন অনুপাত ৫ : ৬ হবে?
 
সমাধান:
ডিজেল ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ৫
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫ = ৮

∴ ডিজেল পরিমাণ = ৪৮ এর ৩/৮
 = ১৮ লিটার 
∴ পেট্রলের পরিমাণ = ৪৮ এর ৫/৮
= ৩০ লিটার 

ধরি,
ক লিটার ডিজেল মিশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
(১৮ + ক) : ৩০ = ৫:৬ 
বা, ৬ (১৮ + ক)  = ৫ × ৩০
বা, ১০৮ + ৬ ক = ১৫০
বা, ৬ ক = ৪২
বা, ক = ৭ 

∴ মিশ্রণে আর ৭  লিটার ডিজেল যোগ করলে নতুন অনুপাত ৫ : ৬ হবে।

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ১২০ জন ছাত্রের ২০ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আরও ৩০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কত দিন চলবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১২০ জন ছাত্রের ২০ দিনের খাবার আছে।

৫ দিন পর অবশিষ্ট দিন = (২০ - ৫) দিন
= ১৫ দিন।

অর্থাৎ, ৫ দিন পর ১২০ জন ছাত্রের জন্য ১৫ দিনের খাবার অবশিষ্ট থাকে।

নতুন ছাত্র সংখ্যা = ৩০ জন
∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = (১২০ + ৩০) জন = ১৫০ জন

১২০ জন ছাত্রের খাবার আছে = ১৫ দিনের
∴ ১ জন ছাত্রের খাবার আছে = (১২০ × ১৫) দিনের
∴ ১৫০ জন ছাত্রের খাবার আছে = (১২০ × ১৫)/১৫০ দিনের
= ১২ দিন

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ১২ দিন চলবে।

২/৯ = ০.২২
৫/২৭ = ০.১৮
৭/৩৬ = ০.১৯
১১/৪৫ = ০.২৪
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭

প্রশ্ন: ৪/৩, ৮/৯, ১২/৬ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
লবগুলোর গ.সা.গু বের করি,
৪ = ২ × ২
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
৪, ৮, ১২ এর গ.সা.গু = ৪

হরগুলোর ল.সা.গু বের করি,
৩ = ৩
৯ = ৩ × ৩
৬ = ২ × ৩
৩, ৯, ৬ এর ল.সা.গু = ১৮

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ৪/১৮
= ২/৯