পাটিগণিত

প্রশ্ন: ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে লব ৯ ও ১২ এর ল.সা.গু:
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬

এবং হর ৮ ও ৫ এর গ.সা.গু:
৮ = ২ × ২ × ২
৫ = ৫
যেহেতু এদের মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু = ১

অতএব, ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু = ৩৬/১
= ৩৬

সংখ্যাটি = (৬৫০+৮২০)/২
= ১৪৭০/২
= ৭৩৫

প্রশ্ন: একটি নির্বাচনী এলাকায় মোট ভোটারের ৭৫% উপস্থিত ছিলো। দুইজন প্রার্থীর একজন, উপস্থিত ভোটারদের ৫৫% ভোট পাওয়ায় দেখা গেলো যে অপর প্রার্থী অপেক্ষা তিনি ৭৫,০০০ ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোটারদের মোট সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, মোট ভোটার সংখ্যা = ক
উপস্থিত ছিল = ৭৫%
উপস্থিত ভোটার = 0.৭৫ক
একজন প্রার্থী পেয়েছে উপস্থিত ভোটারের ৫৫% ভোট

এক = ০.৫৫ × ০.৭৫ক = 0.৪১২৫ক
অপরজন পেয়েছে
দুই = ০.৪৫ × ০.৭৫ক = ০.৩৩৭৫ক

তাদের ভোটের ব্যবধান
এক - দুই = ০.৪১২৫ক - ০.৩৩৭৫ক = ০.০৭৫ক
প্রশ্ন অনুযায়ী,
০.০৭৫ক = ৭৫০০০

অতএব,
ক = ৭৫০০০/০.০৭৫
ক = ১০,০০,০০০

∴মোট ভোটার সংখ্যা = ১০,০০,০০০ (দশ লক্ষ)

১০% কমে, পূর্বাপেক্ষা আলুর দাম কমে = (১০×৯০০)/১০০
= ৯০০ টাকা
অর্থাৎ ১০০ কেজি আলুর মূল্য = ৯০০ টাকা
∴ ১ কেজি আলুর মূল্য = ৯ টাকা

১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ = ১৫ টাকা
৭০০০ টাকার ৮ মাসের সুদ = (১৫×৭০০০×৮)/(১০০×১২)
= ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: চিনি ও পানির মিশ্রণে পানি ও চিনির অনুপাত ৮ : ৩ । আরও ২ কেজি চিনি মেশালে মিশ্রণে পানি ও চিনির অনুপাত হয় ২ : ১ । মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
​ধরি, 
মূল মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৮x কেজি
​এবং মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৩x কেজি 

শর্তমতে, 
৮x/(৩x + ২) = ২/১
বা, ৮x = ২ (৩x + ২)
বা, ৮x = ৬x + ৪
বা, ৮x - ৬x = ৪
বা, ২x = ৪
বা, x = ৪/২
∴ x = ২

∴ মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৩x কেজি 
= (৩ × ২) কেজি 
= ৬ কেজি।

প্রশ্ন: দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল কী হতে পারে?

সমাধান: 
 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ বা অমূলদ উভয়ই হতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ:
 যখন √2 এবং √8 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা, তখন তাদেরগুণফল হলো
√2 × √8 = √16 = 4 যা একটি মূলদ সংখ্যা। 

আবার, 
যখন √2 এবং √3 দুটি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা, তখন তাদের গুণফল হলো √2 × √3 = √6; যা একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: ৬, ৪ ও ১২ এর ৪র্থ সমানুপাতি কোনটি?

সমাধান: 
১ম রাশি = ৬
২য় রাশি = ৪ 
৩য় রাশি = ১২
৪র্থ রাশি = ? 

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি 
বা, ৬ × ৪র্থ রাশি = ৪ × ১২
বা, ৪র্থ রাশি = (৪ × ১২)/৬
 বা, ৪র্থ রাশি = ৪৮/৬

∴ ৪র্থ রাশি = ৮

মূলধন p = ৬৫০ টাকা,
সময় n = ২ বছর,
মুনাফার হার r = ৪%
∴ সরল মুনাফা = ৬৫০ × ২ × ৪/১০০
= ৫২ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৬৫০(১ + ৪/১০০)² - ৬৫০
= ৬৫০ × (১০৪ × ১০৪)/(১০০ × ১০০) - ৬৫০
= ৫৩.০৪ টাকা
∴ পার্থক্য = ৫৩.০৪ - ৫২
= ১.০৪ টাকা
= ১ টাকা (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি পণ্য ৫০০ টাকায় বিক্রি করায় ১০০ টাকা লাভ হলো। লাভের শতকরা হার কত?

সমাধান:
বিক্রয়মূল্য = ৫০০ টাকা
লাভের পরিমাণ = ১০০ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য - লাভ
= ৫০০ - ১০০ টাকা
= ৪০০ টাকা

৪০০ টাকায় লাভ হয় ১০০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৪০০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ১০০)/৪০০ টাকা
= ২৫ টাকা 

∴ লাভ = ২৫%

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৬০০ টাকায় ক্রয় করে ২০% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ২০% কম হলে কত টাকা লাভ হতো?

সমাধান:
২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০/১০০) × ৬০০
= ৭২০ টাকা

ক্রয়মূল্য ২০% কম হলে = {৬০০ - ৬০০ × (২০/১০০)}
= (৬০০ - ১২০) = ৪৮০ টাকা

∴ মোট লাভ = (৭২০ - ৪৮০) = ২৪০ টাকা

এখানে, সুদ, I = ২১৬ টাকা
আসল, P = ১২০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
এবং সুদের হার, r = ?
আমরা জানি, I = pnr
বা, ২১৬ = ১২০০ × ৩ × r
বা, r = ২১৬/(১২০০×৩)
বা, r = ৬/১০০
বা, r = (৬/১০০ × ১০০)%
বা, r = ৬%

১ম রাশি,
x² - 3x
= x ( x - 3 )
২য় রাশি,
x² -9
= ( x + 3 ) ( x - 3 )
৩য় রাশি,
x² - 4x + 3
= ( x - 3 ) ( x - 1 )
নির্ণেয় গ. সা. গু. = ( x - 3 ) 

প্রশ্ন: একটি চেয়ার 180 টাকায় বিক্রি করার 20% লাভ হলো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান:
২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা বা ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য  ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০/১২০) টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১৮০)/১২০ টাকা
= ১৫০ টাকা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: x টাকার x% সরল মুনাফায় 4 বছরের মুনাফা x টাকা হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = x টাকা
সরল মুনাফার হার, r = x%
সময়, n = 4 বছর
মুনাফা, I = x টাকা

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
মুনাফা, I = Pnr/100
বা, x = (x × x × 4)/100
বা, x = 4x²/100
বা, 100x = 4x²
বা, 4x² - 100x = 0
বা, 4x(x - 25) = 0

হয় x = 0 (যা গ্রহণযোগ্য নয়),
অথবা x - 25 = 0 বা, x = 25

অতএব, x-এর মান = 25

মনে করি,
সম্পত্তির মূল্য ক টাকা।
সুতরাং ক এর ৩/৪ = ৩৬০০০
বা, ক = ৪/৩ × ৩৬০০০
বা, ক = ৪৮০০০
সুতরাং সম্পত্তির ২/৩ = ২/৩ × ৪৮০০০
= ৩২,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: গতকাল শেয়ারের দাম ৩০% বেড়েছিল, কিন্তু আজ ২৫% কমেছে। শেয়ারের দাম মোট কত কমেছে বা বেড়েছে?

সমাধান: 
ধরি,
শেয়ারের প্রকৃত মূল্য = ১০০ টাকা
৩০% বৃদ্ধিতে শেয়ারের মূল্য হয় = ১০০ + ৩০ = ১৩০ টাকা

আবার,
২৫% হ্রাস পেয়ে শেয়ারের মূল্য হয় = ১৩০ - (১৩০ এর ২৫%) = ১৩০ - ৩২.৫০ = ৯৭.৫০  টাকা

সুতরাং, শেয়ারের মূল্য কমেছে = ১০০ - ৯৭.৫০ = ২.৫০ টাকা 

Rate of discount
= ((12/80)×100)%
= 15%

প্রশ্ন: রবি একটি কাজ ১২ মিনিটে করতে পারে এবং মাসুদ ঐ কাজটি করতে দ্বিগুণ সময় নেয়। দুইজন একত্রে ঐ কাজটি কত সময়ে করতে পারবে?

সমাধান:
রবি,
১২ মিনিটে করে কাজটির =  ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/১২ অংশ

মাসুদ,
(১২ × ২) বা ২৪ মিনিটে করে কাজটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/২৪ অংশ 

∴ দুইজন একত্রে ১ মিনিটে করে কাজটির = (১/১২) + (১/২৪)
= (২ + ১)/২৪
= ৩/২৪
= ১/৮ অংশ 

দুইজন একত্রে,
১/৮ অংশ কাজ করতে সময় লাগে = ১ মিনিট 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করতে সময় লাগে = (১ × ৮) মিনিট  = ৮ মিনিট 

৩৩(১/৩)% বা (১০০/৩)% লাভে,
প্রতি ডজন কলার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০০+(১০০/৩) = ৪০০/৩ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৪০০/৩ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৪০০/(১০০×৩) টাকা
ক্রয়মূল্য ৭২ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (৪০০×৭২)/(১০০×৩) টাকা
= ৯৬ টাকা
∴ প্রতি ডজন কলা ৯৬ টাকা বিক্রি করলে ৩৩(১/৩)% লাভ হতো।

সকল সংখ্যাকে দশমিকে রুপান্তর করে -
০.৩
১/৩ = ০.৩৩
√০.৩ = ০.৫৪৭৭
২/৫ = ০.৪
অর্থাৎ √০.৩ সংখ্যাটি বড়।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি কেজি আলু ২০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৪ কেজি ১০০ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ২০ টাকা
∴ ৪ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ৪ × ২০ = ৮০ টাকা

৪ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ১০০ - ৮০ = ২০ টাকা

৮০ টাকায় লাভ হয় ২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ২০/৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (২০× ১০০)/৮০ টাকা
= ২৫ টাকা

সুতরাং, লাভ ২৫%।

প্রশ্ন: একজন বোলার গড়ে ১৮ রান দিয়ে ৭ টি উইকেট পান। পরবর্তী ইনিংসে গড়ে ১০ রান দিয়ে ৩ টি উইকেট পান। তিনি উইকেট প্রতি গড়ে কত রান দিয়েছেন? 

সমাধান: 
৭ টি উইকেট পেতে গড়ে রান দেয় = ১৮
∴ ৭ টি উইকেট পেতে মোট রান দেয় = (১৮ × ৭)
= ১২৬ 

আবার, পরবর্তীতে 
৩ টি উইকেট পেতে গড়ে রান দেয় = ১০
∴ ৩ টি উইকেট পেতে মোট রান দেয় = (১০ × ৩)
= ৩০ 

∴ সর্বমোট রান দেয় = (১২৬ + ৩০) 
= ১৫৬ 
এবং সর্বমোট প্রাপ্ত উইকেট = (৭ + ৩) 
= ১০ 

∴ উইকেট প্রতি গড়ে রান দেয় = ১৫৬/১০ 
= ১৫.৬। 

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩৫ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৭ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩৫ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ৩) বছর
= ১০৫ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২৭ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২৭ × ২) বছর 
= ৫৪ বছর 

∴ পিতার বয়স = (১০৫ - ৫৪) বছর 
= ৫১ বছর।

প্রশ্ন: একটি খেলনা পিস্তল ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করাতে ক্রয়মূল্যের উপর ৩০% ক্ষতি হয়। খেলনা পিস্তলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
৩০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ - ৩০) = ৭০ টাকা
বিক্রয়মূল্য  ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৭০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৫৬০)/৭০ টাকা
= ৮০০ টাকা

প্রশ্ন: এক লিটার খাঁটি দুধে ২০০ মিলি লিটার পানি মিশ্রিত করলে মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে-

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ লিটার খাঁটি দুধ = ১০০০ মিলি লিটার
পানি মেশানো হলো = ২০০ মিলি লিটারগ্রাম
∴ মোট মিশ্রণ = ১০০০ + ২০০ = ১২০০ মিলি লিটার

∴ মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে = ২০০/১২০০ = ১/৬ অংশ