পাটিগণিত

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৪ অংশের সাথে ৭ যোগ করলে, ঐ সংখ্যাটির ৩/৪ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(x/৪) + ৭ = ৩x/৪
⇒ (x + ২৮)/৪ = ৩x/৪
⇒ (x + ২৮) = (৩x/৪) × ৪
⇒ x + ২৮ = ৩x
⇒ ২x = ২৮
∴ x = ১৪

∴ সংখ্যাটি ১৪

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

∴ দুটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/৩০) অংশ  
= (২ + ১)/৩০ অংশ  
= ৩/৩০ অংশ  
= ১/১০ অংশ

১/১০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে  
১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ১০ মিনিটে

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে = ১০ মিনিটে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৮ ও অনুপাত ৩ : ১ হলে তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলোর অনুপাত ৩ : ১
ধরি,
সংখ্যাগুলো হল ৩ক ও ক

প্রশ্নমতে
৩ক +ক = ৮
৪ক = ৮
ক = ২

সংখ্যাগুলো ৬ ও ২
সংখ্যাগুলোর গুণফল = ৬ × ২ = ১২

প্রশ্ন: একটি কলম ১১ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১১০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১১)/১১০ টাকা
= ১০ টাকা

প্রশ্ন: একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ৪ ঘণ্টায়, ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চা খালি হয় ৮ ঘণ্টায়। নল দুটি খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১/৪ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় খালি হয় ১/৮ অংশ

নল দুটি একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে (১/৪ - ১/৮) অংশ
= ১/৮ অংশ

∴ ১/৮ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায় 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে = ৮ ঘণ্টায়

সুতরাং, দুটি নল একসাথে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি ৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে।

প্রশ্ন: 6 জন তাঁতী 6 দিনে 6 টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে 12 জন তাঁতী 12 দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে?

সমাধান: 
 6 জন তাঁতি 6 দিনে মাদুর তৈরি করে = 6 টি
∴ 1 জন তাঁতি 1 দিনে মাদুর তৈরি করে = 6/(6 × 6) টি
∴ 12 জন তাঁতি 12 দিনে মাদুর তৈরি করে = (6 × 12 × 12)/(6 × 6) টি
= 24 টি 

∴ 24 টি মাদুর তৈরি করতে পারবে।  

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান: 
৭/১২ = ০.৫৮৩
৫/৯ = ০.৫৫৬
৪/৭ = ০.৫৭১
৩/৫ = ০.৬০০

সবচেয়ে ছোট মান = ০.৫৫৬ বা ৫/৯

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৫/৯

প্রশ্ন: সর্বাধিক কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১২০টি চকলেট এবং ১৪৪টি বিস্কুট সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ১২০ এবং ১৪৪ এর গ.সা.গু।

১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৪৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩

এখানে সাধারণ উৎপাদকগুলো হলো ২, ২, ২ এবং ৩
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

অতএব, সর্বাধিক ২৪ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে চকলেট ও বিস্কুটগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

প্রশ্ন: একটি জিনিস ১২০০ টাকায় ক্রয় ১৫% লাভে বিক্রয় করা হয়। ক্রয়মূল্য যদি ১৫% কম হতো তাহলে লাভের পরিমাণ কত হতো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ১২০০ টাকা
লাভ = ১৫%

∴ বিক্রয়মূল্য = ১২০০ × (১১৫/১০০) 
= ১২ × ১১৫
= ১৩৮০ টাকা

আবার, 
নতুন ক্রয়মূল্য = ১২০০ এর ৮৫%   ; [১৫% কম]
= ১২০০ × (৮৫/১০০)
= ১২ × ৮৫
= ১০২০ টাকা

∴ নতুন লাভের পরিমাণ = বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য
= ১৩৮০ - ১০২০
= ৩৬০ টাকা

অতএব, ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে লাভের পরিমাণ হবে ৩৬০ টাকা।

৫ টি গরুর মূল্য ১৫ টি ছাগলের মূল্যের সমান। একটি গরুর মূল্য ৬০০০ টাকা হলে
৫ টি গরুর মূল্য ৫ × ৬০০০ = ৩০০০০ টাকা
অর্থাৎ, ১৫ টি ছাগলের মূল্য ৩০০০০ টাকা
সুতরাং, ১ টি ছাগলের মূল্য = ৩০০০০/১৫ = ২০০০ টাকা।

প্রশ্ন: ১৪৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৪৫২ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,
১৪৫২ = ২ × ২ × ৩ × ১১ × ১১
= ২^২ × ৩ × ১১^২

এখানে, ৩ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)। সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৪৫২ কে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।
 ১৪৫২ × ৩ = ৪৩৫৬ = ৬৬^২

∴ ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫, ৭৫ এবং ৩৫১০। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৫x ও ১৫y

তাহলে,
১৫x - ১৫y = ৭৫
∴ ১৫(x - y) = ৭৫
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১৫xy
∴ ১৫xy = ৩৫১০
⇒ xy = ৩৫১০/১৫
⇒ xy = ২৩৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২৩৪
= ২৫ + ৯৩৬
= ৯৬১

⇒ x + y = ৩১ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৬
⇒ x = ১৮

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৬
⇒ y = ১৩

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১৫ × ১৮ এবং ১৫ × ১৩
= ২৭০ ও ১৯৫

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x এর 40% + 42 = x
বা, 0.4x + 42 = x
বা, 42 = x - 0.4x
বা, 0.6x = 42
বা, x = 42/0.6 = 70

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪২ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির সমান হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি হলো ক

প্রশ্নমতে, 
​ক এর ৪০% + ৪২ = ক
বা, ক × (৪০/১০০) + ৪২ = ক
বা, ২ক/৫ + ৪২ = ক
বা, (২ক + ২১০)/৫ = ক 
বা, ২ক + ২১০ = ৫ক
বা, ৩ক = ২১০
বা, ক = ৭০

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ৭০।

প্রশ্ন: ৬০ মিটার একটি বাঁশকে ৩ : ৭ : ১০ অনুপাতে ভাগ করলে বাঁশের করাগুলির আকার হবে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
অনুপাত = ৩ : ৭ : ১০
অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ৩ + ৭ + ১০ = ২০ 

∴ প্রথম খণ্ডের পরিমাণ = ৬০ এর ৩/২০ = ৯ মিটার 
∴ দ্বিতীয় খণ্ডের পরিমাণ = ৬০ এর ৭/২০ = ২১ মিটার 
∴ তৃতীয় খণ্ডের পরিমাণ = ৬০ এর ১০/২০ = ৩০ মিটার 

সুতরাং, বাঁশের খণ্ডগুলির আকার হবে: ৯ মিটার, ২১ মিটার, ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৫০০ জন শ্রমিকের ৪৮ দিন সময় লাগে। ৩০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে? 

সমাধান: 
৪৮ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৫০০ জন 
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৫০০ × ৪৮ জন 
∴ ৩০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (৫০০ × ৪৮)/৩০ জন 
= ৮০০ জন 

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৮০০ - ৫০০) জন 
= ৩০০ জন।

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৫৭২ টাকায় বিক্রয় করায় ৩০% লাভ হলো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
৩০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৩০ = ১৩০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৩০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৩০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৭২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫৭২)/১৩০ টাকা
= ৪৪০ টাকা

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৪৪০ টাকা

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ২০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আসল, P = ২,০০০ টাকা
মুনাফা হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, A = P × (১ + r/১০০)ⁿ
= ২০০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ২০০০ × (১ + ১/১০)^২
= ২০০০ × (১১/১০)^২
= ২০০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
= ২০ × ১২১ 
= ২৪২০ টাকা

সুতরাং, ২ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন ২৪২০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি জাহাজ ১৫ কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে ১৮ দিনে একটি বন্দরে পৌঁছায়। একটি লঞ্চ একই স্থান থেকে ১ দিন পরে রওনা করে ১০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে, জাহাজটি বন্দরে পৌঁছানোর কতদিন পরে লঞ্চটি বন্দরে পৌঁছাবে?

সমাধান:
জাহাজের বেগ = ১৫ কিমি/ঘণ্টা,
জাহাজটি বন্দরে পৌঁছাতে সময় নেয় = ১৮ দিন।

∴ পথের মোট দূরত্ব = বেগ × সময় = (১৫ × ২৪ × ১৮) কি.মি. = ৬৪৮০ কি.মি.

এখন, লঞ্চের বেগ = ১০ কিমি/ঘণ্টা
∴ লঞ্চ ১ দিনে যায় = (১০ × ২৪) কি.মি. = ২৪০ কি.মি.

লঞ্চের ২৪০ কি.মি যেতে সময় লাগে ১ দিন
∴ লঞ্চের ১ কি.মি যেতে সময় লাগে ১/২৪০ দিন
∴ লঞ্চের ৬৪৮০ কি.মি যেতে সময় লাগে ১ × ৬৪৮০ / ২৪০ দিন  
= ২৭ দিন

১ দিন পর রওয়ানা হওয়ায় লঞ্চের সময় লাগে মোট = (২৭ + ১) দিন = ২৮ দিন

∴ জাহাজ পৌঁছানোর (২৮ - ১৮) দিন বা ১০ দিন পর লঞ্চ পৌঁছাবে

অতএব, নির্ণেয় সময় = ১০ দিন (উত্তর)

প্রশ্ন: অনিক দৈনিক ৬ ঘণ্টা চলে ৫ দিনে ২৪০ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। দৈনিক ১০ ঘণ্টা চলে কতদিনে সে ৪০০ কি.মি. পথ অতিক্রম করবে?

সমাধান: 
অনিক দৈনিক ৬ ঘণ্টা চলে ২৪০ কি.মি. পথ অতিক্রম করে ৫ দিনে
∴ অনিক দৈনিক ১ ঘণ্টা চলে ২৪০ কি.মি. পথ অতিক্রম করে (৬ × ৫) দিনে
∴ অনিক দৈনিক ১ ঘণ্টা চলে ১ কি.মি. পথ অতিক্রম করে {(৬ × ৫)/২৪০} দিনে
∴ অনিক দৈনিক ১০ ঘণ্টা চলে ৪০০ কি.মি. পথ অতিক্রম করে {(৬ × ৫ × ৪০০)/(২৪০ × ১০)} দিনে
= ৫ দিনে

প্রশ্ন: ০.৫ মেট্রিক টন = কত কিলোগ্রাম? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ মেট্রিক টন = ১০০০ কিলোগ্রাম 
∴ ০.৫ মেট্রিক টন = (১০০০ × ০.৫) কিলোগ্রাম 
= ৫০০ কিলোগ্রাম। 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১৫, ২০ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
এখন,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৭
= ১১৩

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ. সা. গু. ও ল. সা. গু. যথাক্রমে ৩ ও ৪৮০। একটি সংখ্যা ১৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৩
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৪৮০
একটি সংখ্যা = ১৫

​আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ১৫ × দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩ × ৪৮০
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = (৩ × ৪৮০) / ১৫
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৪৪০ / ১৫
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯৬

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৯৬।

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্রদেরকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
স্কুলের ছাত্র সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ৩ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৩ যোগ করলেই নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮০ 

যেহেতু প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট ছাত্র সংখ্যা হবে ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ বেশি।
∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা = (১৮০ + ৩) জন = ১৮৩ জন।

প্রশ্ন: যদি ডালের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে ডালের ব্যবহার কী পরিমাণ কমালে খরচের পরিমাণ একই থাকবে?

সমাধান:
খরচ = মূল্য × ব্যবহার
খরচ একই রাখতে চাইলে মূল্য বাড়লে ব্যবহারের পরিমাণ কমাতে হয়।

মূল্য বৃদ্ধি = ২৫%
নতুন মূল্য = ১০০% + ২৫% = ১২৫%

ব্যবহার কমানোর হার = বৃদ্ধি / নতুন মূল্য × ১০০%
= ২৫ / ১২৫ × ১০০%
= ১/৫ × ১০০%
= ২০% 

∴ ডালের দাম ২৫% বাড়লে খরচ সমান রাখতে ব্যবহার ২০% কমাতে হবে। 

ধরি,
মূলধন p = a টাকা
∴ সুদে-আসলে = ২a টাকা
∴ সুদ, I = ২a - a = a টাকা
সময় n = ৮ বছর
সুদের হার r% = ?
আমরা জানি, I = pnr
বা, a = a × ৮ × r%
বা, r = ১/৮ × ১০০
       = ১২.৫%

প্রশ্ন: P = x² - 9, Q = x² + 7x + 12, R = 3x + 9 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 9
Q = x² + 7x + 12
R = 3x + 9

∴ P = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3) (x - 3)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 3x + 9
= 3(x + 3)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 3)

প্রশ্ন: যদি x : y = 2 : 3 এবং y : z = 5 : 7 হয়, তবে x : y : z = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x : y = 2 : 3 এবং y : z = 5 : 7

এখন, 
x : y = 2 : 3 = (2 × 5) : (3 × 5) = 10 : 15

এবং, 
 y : z = 5 : 7 = (5 × 3) : (7 × 3) = 15 : 21

∴ x : y : z = 10 : 15 : 21