পাটিগণিত

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ২১ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ২৪ কি.মি./ঘণ্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত ছিল?

সমাধান: 
মনে করি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ১০ 
বা, ক/৪২ + ক/৪৮ = ১০ 
বা, ৮ক + ৭ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ১৫ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ক = (১০ × ৩৩৬)/১৫ 
∴ ক = ২২৪ কি.মি. 
​
∴ ​মোট দূরত্ব = ২২৪ কি.মি. 

প্রশ্ন: একটি নৌকা ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে গতিশীল স্রোতের অনুকূলে যে দূরত্ব অতিক্রম করতে ২০ সেকেন্ড লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে সে দূরত্ব অতিক্রম করতে ১০ সেকেন্ড সময় বেশি লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = x মিটার/সেকেন্ড

স্রোতের অনুকূলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১০ + x) × ২০ মিটার
স্রোতের প্রতিকূলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১০ - x) × ৩০ মিটার

প্রশ্নমতে,
(১০ + x) × ২০ = (১০ - x) × ৩০
বা, ২০ + ২x = ৩০ - ৩x
বা, ৫x = ১০
∴ x = ২

∴ স্রোতের বেগ ২ মিটার/সেকেন্ড।

প্রশ্ন: ৩০ সেকেন্ডে একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে, এবং ২০ সেকেন্ডে ১০০ মিটার লম্বা ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/৩০ = (ক + ১০০)/২০
⇒ ২০(ক + ২০০) = ৩০(ক + ১০০)
⇒ ২০ক + ৪০০০ = ৩০ক + ৩০০০
⇒ ৩০ক - ২০ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ১০ক = ১০০০ 
⇒ ক = ১০০০/১০ 
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব ছোট এবং হর বড় সেইসকল ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৩/৫, ৪/৭ ইত্যাদি।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব বড় এবং হর ছোট সেইসকল ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৫/৩, ৯/৫ ইত্যাদি।

মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণ সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ হয় তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - 

প্রশ্ন: a ∈ N হলে, a² + 2a + 1 কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান: 
কারণ a² + 2a + 1 রাশিটিকে (a + 1)² হিসাবে লেখা যায়।
এখানে a একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N), তাই (a + 1) ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।

আমরা জানি, 
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সর্বদা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ,
যদি a = 1 হয়, তবে (1 + 1)² = 2² = 4, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
যদি a = 2 হয়, তবে (2 + 1)² = 3² = 9, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।

ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ৮ক - ২ক = ৭২
বা, ৬ক = ৭২
বা, ক = ১২

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখানে,
ক) ১.৫= ৩/২ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
খ) ১.০৭ =১০৭/১০০[অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
গ) ১.৮  = ১৮/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
ঘ)০.০৭ = ৭/১০০[প্রকৃত ভগ্নাংশ]

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ ০.০৭ । 

৫,১০,১৫ এর লসাগু=৩০, তাই ৩০ মিনিট পরে পরে তারা একত্রে চকলেট খাই

প্রশ্ন: ঝন্টু ও তার বাবার বয়সের সমষ্টি বর্তমানে ৪০ বছর। ঝন্টুর বাবা তার চাইতে ২৮ বছরের বড়। ১৩ বছর পর তাদের দু'জনের বয়সের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ঝন্টুর বর্তমান বয়স = ক বছর
ঝন্টুর বাবার বর্তমান বয়স = ক + ২৮ বছর

প্রশ্নমতে 
ক + ক + ২৮ = ৪০ 
২ক + ২৮ = ৪০ 
২ক = ৪০ - ২৮ 
২ক = ১২
ক = ৬ 

ঝন্টুর বর্তমান বয়স = ৬ বছর
ঝন্টুর বাবার বর্তমান বয়স = ৬ + ২৮ বছর = ৩৪ বছর

১৩ বছর পর ঝন্টুর বয়স = ৬ + ১৩ = ১৯ বছর
১৩ বছর পর বাবার বয়স = ৩৪ + ১৩ = ৪৭ বছর

১৩ বছর পর তাদের দু'জনের বয়সের সমষ্টি = (১৯ + ৪৭) বছর
= ৬৬ বছর 

2x এর 50% = 2x × 50/100 = x

প্রশ্ন: ৭৭ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৭০%? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক এর ৭০% = ৭৭ 
⇒ ক × (৭০/১০০) = ৭৭ 
⇒ ক × ৭০ = ৭৭ × ১০০ 
⇒ ক = (৭৭ × ১০০)/৭০
∴ ক = ১১০ 

∴ সংখ্যাটি = ১১০ 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 এবং প্রস্থ 5। এই আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ধরে এবং প্রস্থ আগের মতো 5 ধরে নতুন আয়তক্ষেত্র আঁকা হলে, নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় শতকরা কত শতাংশ বড় হবে?

সমাধান:
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁ = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 12 × 5 = 60 বর্গএকক

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সূত্র:
d = √(L² + W²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 বর্গএকক

নতুন দৈর্ঘ্য = কর্ণ = 13 একক, প্রস্থ = 5 একক
A₂ = 13 × 5 = 65 বর্গএকক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A₂ - A₁ = 65 - 60 = 5 একক
শতকরা বৃদ্ধি = 5/60 × 100% = 8.33%

∴ শতকরা বৃদ্ধি = 8.33%

প্রশ্ন: ১৩০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৩ : ৪ : ৬ অনুপাতে ভাগ করলে মাঝের টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৩ক, ৪ক, ৬ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৬ক = ১৩০
বা, ১৩ক = ১৩০
∴ ক = ১০

∴ মাঝের টুকরার দৈর্ঘ্য = ৪ক
= ৪ × ১০ = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৭ : ৯। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪২০ কি.মি. যায়, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান:
গতিবেগের অনুপাত = ৭ : ৯

ধরি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৭ ক
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ ক

প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৪২০ ÷ ৬ = ৭০ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৭ ক  = ৭০
∴ ক = ১০

∴ দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ × ১০ = ৯০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: সাতটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম চারটি সংখ্যার যোগফল ৪২ হলে, শেষ চারটি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ধরি প্রথম চারটি সংখ্যার মধ্যে ১ম সংখ্যা = ক
∴ ২য় সংখ্যা = ক + ১
∴ ৩য় সংখ্যা = ক + ২
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ক + ৩

প্রথম চারটির যোগফল = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ৪ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৬ = ৪২
⇒ ৪ক = ৩৬
⇒ ক = ৯

অর্থাৎ প্রথম চারটি সংখ্যা: ৯, ১০, ১১, ১২

যেহেতু সংখ্যা ক্রমিক, সাতটি সংখ্যা হবে: ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫

∴ শেষ চারটি সংখ্যা = ১২, ১৩, ১৪, ১৫
∴ শেষ চারটির গড় = (১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫)/৪ = ১৩.৫

দুটি নল একত্রে,
৮ মিনিটে পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা
৪মিনিটে পূর্ণ করে = (৪/৮ X ১) অংশ
= ১/২ অংশ
চৌবাচ্চাটির (১-১/২) অংশ খালি থাকে।

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১/২ অংশ পূর্ণ হয় ৬ মিনিটে
১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় = (৬ X ২) = ১২ মিনিটেে

আবার দ্বিতীয় নল দ্বারা,
৬ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/২ অংশ
৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ X ৪/২ X ৬ = ১/৩ অংশ
প্রথম নল দ্বারা ৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২-১/৩) অংশ
= (৩-২)/৬
= ১/৬ অংশ

প্রথম নল দ্বারা ১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ৪ মিনিটে
প্রথম নল দ্বারা ১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় (৪ X ৬) মিনিটে
= ২৪ মিনিটে

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি ডজন কলম ৬০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৩ ডজন ২১৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১ ডজন কলমের ক্রয়মূল্য ৬০ টাকা
∴ ৩ ডজন কলমের ক্রয়মূল্য = ৬০ × ৩ টাকা = ১৮০ টাকা।

দেওয়া আছে,
৩ ডজন কলমের বিক্রয়মূল্য = ২১৬ টাকা
যেহেতু কলমের ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।

∴ লাভ = (২১৬ - ১৮০) টাকা = ৩৬ টাকা।

এখন, ১৮০ টাকায় লাভ হয় = ৩৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৩৬/১৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩৬ × ১০০)/১৮০ টাকা 
= ২০ টাকা।

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ২০%

প্রশ্ন: যশোর থেকে খুলনা যাওয়ার সময় একটি ট্রেনের গতিবেগ ছিল ১০০ কি.মি./ঘণ্টা এবং খুলনা থেকে যশোর ফিরে আসার সময় এর গতিবেগ ছিল ১৫০ কি.মি./ঘণ্টা। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ = ২ × x × y/(x + y)
= (২ × ১০০ × ১৫০)/(১০০ + ১৫০)
= (২ × ১০০ × ১৫০)/২৫০ 
= ১২০ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ক : খ = ৬ : ৭ এবং খ : গ = ১৪ : ৯ হলে ক : গ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৬ : ৭
খ : গ = ১৪ : ৯

প্রথম অনুপাত থেকে, ক/খ = ৬/৭
দ্বিতীয় অনুপাত থেকে, খ/গ = ১৪/৯

এখন,
ক/গ = (ক/খ) × (খ/গ)
= (৬/৭) × (১৪/৯)
= ৮৪/৬৩
= ৪/৩

∴ ক : গ = ৪ : ৩

প্রশ্ন: একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক থেকে গুলি ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে  লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে  ১১০০ ফুট। লক্ষবস্তুর দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
ধরি, লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x ফুট

x ফুট যেতে বুলেটের সময় লাগে = x/১৫৪০ সেকেন্ড
এবং x ফুট আসতে শব্দের সময় লাগে = x/১১০০  সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,  (x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
⇒ (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
⇒ ১২x = ৭৭০০ × ৩
⇒ x = (৭৭০০ × ৩)/১২
∴ x = ১৯২৫

প্রশ্ন: তিন ভাই ও তাদের বোনের গড় বয়স ১৯ বছর। তিন ভাইয়ের গড় বয়স ২১ বছর হলে বোনের বয়স কত?

সমাধান:
তিন ভাই ও এক বোনের গড় বয়স = ১৯ বছর
∴ তাদের মোট বয়স = (১৯ × ৪) = ৭৬ বছর

তিন ভাইয়ের গড় বয়স = ২১ বছর
∴ তিন ভাইয়ের মোট বয়স = ২১ × ৩ = ৬৩ বছর

∴ বোনের বয়স = ৭৬ − ৬৩ = ১৩ বছর

প্রশ্ন: ৫% সরল মুনাফা হারে কত সময়ে ১০০০ টাকার মুনাফা ২০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ১০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ২০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
বা, n = I/Pr 
বা, n = ২০০/(১০০০ × ১/২০) 
বা, n = ২০০/৫০ 
∴ n = ৪ বছর । 

প্রশ্ন: ২০০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি. বেগে চলে। রাস্তার পাশে দাঁড়িয়ে থাকা একজন ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২০০ মি
গতি = ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা
= ৩৬ × (১০০০/৩৬০০)
= ১০ মি/সে

∴ সময় = দূরত্ব ÷ গতি
= ২০০ ÷ ১০
= ২০ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের অর্ধেক হলো ভাজক এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের অর্ধেক = ৪০/২ = ২০
ভাগশেষ = ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ = ২০/৫ = ৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২০ × ৪০) + ৪
= ৮০০ + ৪
= ৮০৪

∴ ভাজ্য = ৮০৪

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় ক। এদের মধ্যে তিনটি সংখ্যার গড় খ এবং অবশিষ্ট তিনটি সংখ্যার গড় গ হলে, নিচের কোনটি সত্য? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ছয়টি সংখ্যার গড় = ক
∴ ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬ক 

তিনটি সংখ্যার গড় = খ
∴ তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩খ 
এবং 
অবশিষ্ট তিনটি সংখ্যার গড় = গ
∴ অবশিষ্ট তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩গ 

প্রশ্নমতে, 
৬ক = ৩খ + ৩গ
⇒ ক = ৩(খ + গ)/৬ 
⇒ ক = (খ + গ)/২ 
∴ ২ক = খ + গ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর: খ) ২ক = খ + গ

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক 
∴ ৩ক ও ৫ক এর গ.সা.গু = ক 

প্রশ্নমতে, 
গ.সা.গু = ক 
∴ ক = ৪ 

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে- 
৩ক = ৩ × ৪ = ১২
এবং
৫ক = ৫ × ৪ = ২০ 

এখন, 
১২ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬০

ধরি, 50 পয়সার মুদ্রা সংখ্যা = x টি।
প্রশ্নমতে,
0.5x+ 0.25×2x+0.1×5x = 33
Or, 0. 5x+ 0.5x+0.5x = 33
Or, 1.5 x = 33
Or, x = 22
সুতরাং, শুধু 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে সেখানে = 0.5×22 = 11 টাকা আছে।

এখানে, a:b = ৪ঃ১
∴ a:b এর দ্বিগুণানুপাত = ১৬ঃ১