পাটিগণিত

০.৪ × ০.০৪ × ০.০০৩
= ৪/১০ × ৪/১০০ × ৩/১০০০
= ৪৮/১০০০০০০
= ০.০০০০৪৮

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১৭ : ৬। কন্যার বর্তমান বয়স ১২ বছর হলে ৪ বছর পর মাতার বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি, মাতার বর্তমান বয়স ক বছর

শর্তমতে,
ক/১৭ = ১২/৬
⇒ ক/১৭ = ২
⇒ ক = ২ × ১৭
⇒ ক = ৩৪

∴ মাতার বর্তমান বয়স ৩৪ বছর।
এবং ৪ বছর পর মাতার বয়স = ৩৪ + ৪ = ৩৮ বছর 

হর গুলোর লসাগু = ৮০
সবগুলো হরকে ৮০ কে পরিবর্তন করলে নতুন ভগ্নাংশগুলো হবে,
৭/৮ = ৭০/৮০
১৩/১৬ = ৬৫/৮০
৩১/৪০ = ৬২/৮০
৬৩/৮০ = ৬৩/৮০
এর মধ্যে, ৭০/৮০ বৃহত্তম।
অর্থাৎ, উত্তর ৭/৮

প্রশ্ন: ৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে-

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা:
মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় এমন স্বাভাবিক সংখ্যা, যার কেবলমাত্র দুটি উৎপাদক থাকে- ১ এবং সংখ্যাটি নিজে।
অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন, ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি হলো মৌলিক সংখ্যা।

এখন, 
৫ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংথ্যাগুলো হলো ৫ ও ৭।
সুতরাং এদের গুনফল = ৫ × ৭ = ৩৫

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি.। পাত দুটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি. এর গ.সা.গু.

১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭  
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২ × ৩ × ৭

∴ ১৬৮ ও ২১০ এর গ.সা.গু. = ৪২

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৪২ সেমি.

প্রশ্ন: পানি ও চিনির একটি মিশ্রণে পানি ও চিনির অনুপাত ছিল ৫ : ১। পরে এতে ২ কেজি চিনি যোগ করা হলে পানি ও চিনির অনুপাত পরিবর্তিত হয়ে ৩ : ১ হয়। মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ কত কেজি ছিল?

সমাধান: 
ধরি, 
মূল মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৫x কেজি 
এবং মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = x কেজি। 

শর্তমতে, 
৫x/(x + ২) = ৩/১ 
বা, ৫x = ৩x + ৬ 
বা, ৫x - ৩x = ৬
বা, ২x = ৬
বা, x = ৬/২ 
∴ x = ৩

∴ মূল মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৩ কেজি
= ৩ কেজি

মনির ও তপনের আয়ের অনুপাত = ৪ঃ৩ = ২০ঃ১৫
তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত = ৫ঃ৪ = ১৫ঃ১২
∴ মনিরের আয়ঃতপনের আয়ঃরবিনের আয় = ২০ঃ১৫ঃ১২
∴ মনিরের আয়ঃরবিনের আয় = ২০ঃ১২
বা, রবিনের আয় = (১২/২০) × মনিরের আয়
= (১২/২০) × ১২০
= ৭২ টাকা
∴ রবিনের আয় = ৭২ টাকা।

প্রশ্ন: ১৯৪৪ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

​সমাধান:
​১৯৪৪ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করে পাই,
​১৯৪৪ = ২ × ২ × ২ ×৩ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
​= ২^৩ × ৩^৫ 

​​একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক গুণনীয়কের সূচক (exponent) জোড় সংখ্যা হতে হয়।

​এখানে ২ ও ৩ উভয়ের সূচকই বিজোড় সংখ্যা।
​তাই পূর্ণবর্গ করতে প্রয়োজন = ২ × ৩ = ৬

​সুতরাং, ১৯৪৪ সংখ্যাটিকে (২ × ৩) বা ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১৯৪৪ × ৬ = ১১৬৬৪ = ১০৮^২

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৭ : ৫। যদি ৮ জন ছাত্র এবং ৪ জন ছাত্রী নতুন ভর্তি হয়, তাহলে অনুপাত হয়ে যায় ৩ : ২। প্রথমে ছাত্র সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ৭ : ৫

ধরি, 
ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যা যথাক্রমে = ৭ক ও ৫ক

এখন,
৮ জন ছাত্র নতুন ভর্তি হলে ছাত্র সংখ্যা হবে= (৭ক + ৮)
৪ জন ছাত্রী নতুন ভর্তি হলে ছাত্রী সংখ্যা হবে= (৫ক + ৪)

প্রশ্নমতে,
(৭ক + ৮) : (৫ক + ৪) = ৩ : ২ 
⇒ (৭ক + ৮)/(৫ক + ৪) = ৩/২
⇒ ২(৭ক + ৮) = ৩(৫ক + ৪)
⇒ ১৪ক + ১৬ = ১৫ক + ১২
⇒ ১৫ক - ১৪ক = ১৬ - ১২
∴ ক = ৪

সুতরাং, প্রথমে ছাত্র সংখ্যা ছিল = ৭ক = (৭ × ৪) = ২৮ জন

প্রশ্ন: একটি পাত্রে ৪৮ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৫। পাত্রে কত লিটার পানি মিশ্রিত করলে দুধ ও পানির অনুপাত ২ : ৫ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণের পরিমাণ = ৪৮ লিটার 
মোট অংশ = ৭ + ৫ = ১২ অংশ

∴ দুধের পরিমাণ = ৪৮ এর (৭/১২) = ২৮ লিটার
এবং
পানির পরিমাণ = ৪৮ এর (৫/১২) = ২০ লিটার

মনে করি,
পানি যোগ করতে হবে = ক লিটার 

প্রশ্নমতে,
২৮/(২০ + ক) = ২/৫
⇒ ২(২০ + ক) = ১৪০
⇒ ৪০ + ২ক = ১৪০
⇒ ২ক = ১৪০ - ৪০
⇒ ২ক = ১০০
⇒ ক = ১০০/২
∴ ক = ৫০

সুতরাং ৫০ লিটার পানি মিশ্রিত করলে দুধ ও পানির অনুপাত ২ : ৫ হবে।

প্রশ্ন: ৩/৬, ১০/১৫, ২০/১৮ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে,
ভগ্নাংশের লব = ১, ১০, ২০
ভগ্নাংশের হর = ৬, ১৫, ১৮

লব ৩, ১০, ২০ এর গসাগু = ১
হর ৬, ১৫, ১৮ এর লসাগু = ৯০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ১/৯০
= 

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হারে ১২০০০ টাকা ৩ বছরে সরল মুনাফাসহ ১৫৬০০ টাকা হয়। তাহলে মুনাফার হার কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ১২০০০ টাকা
মোট টাকা (মুনাফাসহ) = ১৫৬০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সরল মুনাফা = মোট টাকা - মূলধন
= ১৫৬০০ − ১২০০০
= ৩৬০০ টাকা

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (মূলধন × মুনাফার হার × সময়)/১০০
বা, ৩৬০০ = (১২০০০ × মুনাফার হার × ৩) / ১০০
বা, মুনাফার হার = (৩৬০০ × ১০০)/(১২০০০ × ৩)
= ৩৬০/৩৬
= ১০

সুতরাং, মুনাফার হার ১০%

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি হালি ডিম ২০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ২ হালি ৫০ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান: 
১ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ২০ টাকা
∴ ২ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য = (২০ × ২) টাকা 
= ৪০ টাকা

∴ লাভ = (৫০ - ৪০) টাকা
= ১০ টাকা।

৪০ টাকায় লাভ হয় ১০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১০/৪০) টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় {(১০ × ১০০)/৪০} টাকা
= ২৫ টাকা।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ৬ × ৩৫ 
= ২১০

√০.০০০০০৭৮৪ = √(০.০০২৮ × ০.০০২৮)
= √(০.০০২৮)^২
= ০.০০২৮

সংখ্যা দু'টি যথাক্রমে = ৩×৬ এবং ৫×৬
অর্থ্যাৎ, ১৮ এবং ৩০।

∴ সমষ্টি = ১৮ + ৩০ = ৪৮
∴ সমষ্টির বর্গমূল = √৪৮
= ৪√৩ ; যা অমূলদ সংখ্যা

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে?

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [৬০ × (৩/৫)] = ৩৬ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৬০ × (২/৫)] = ২৪ লিটার

ধরি,
ক লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩

প্রশ্নমতে,
⇒ ৩৬ : (২৪ + ক) = ২ : ৩
⇒ ৩৬/(২৪ + ক) = ২/৩
⇒ ১০৮ = ৪৮ + ২ক
⇒ ২ক = ১০৮ - ৪৮ 
⇒ ২ক = ৬০
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০ 

∴ ৩০ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

গ.সা.গু. a হলে,
a×৯৬ = ১৫৩৬
∴ a = ১৬

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯

∴ নির্ণেয় অন্তর = ১০০০০ - ৯৯৯
= ৯০০১

মোট পরীক্ষার্থীর (৭৫-৬৮)% বা ৭% = ১৪ জন
মোট পরীক্ষার্থীর ১% = ২ জন
সুতরাং মোট পরীক্ষার্থীর ১০০% = ২০০ জন।

(A+ B) ১ দিনে করে ( ১/১৫ + ১/২০) = ৭/৬০
(A+ B) ৪ দিনে করে (৭/৬০) × ৪ = ৭/১৫
অবশিষ্ট কাজ ( ১ - ৭/১৫) = ৮/১৫

প্রশ্ন: পানি ও চিনির একটি ৫০ লিটারের মিশ্রণে চিনির পরিমাণ ৩ শতাংশ। মিশ্রণটি থেকে কতটুকু পানি বাষ্পীভূত করলে চিনির পরিমাণ ৫ শতাংশতে বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
৫০ লিটার মিশ্রণে চিনির পরিমাণ = ৫০ এর ৩%
= (৫০ × ৩)/১০০ = ১.৫ কেজি (বা লিটার)

পানি বাষ্পীভূত হলেও চিনির পরিমাণের কোনো পরিবর্তন হবে না। অর্থাৎ নতুন মিশ্রণেও চিনির পরিমাণ ১.৫ কেজিই থাকবে।

শর্তমতে, নতুন মিশ্রণে এই ১.৫ লিটার চিনির পরিমাণই হবে মোট মিশ্রণের ৫%।

মনে করি, নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = ক লিটার।

প্রশ্নমতে,
ক এর ৫% = ১.৫
⇒ ক × (৫/১০০) = ১.৫
⇒ ৫ক/১০০ = ১.৫
⇒ ৫ক = ১৫০
⇒ ক = ১৫০/৫
⇒ ক = ৩০

নতুন মিশ্রণের পরিমাণ ৩০ লিটার হলে,
বাষ্পীভূত পানির পরিমাণ = (৫০ - ৩০) লিটার
= ২০ লিটার

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২৩৫ থেকে যত ছোট, ১৬৫ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি
সংখ্যাটি = ক
তাহলে, 
২৩৫ - ক = ক - ১৬৫
⇒ ২ক = ২৩৫ + ১৬৫
⇒ ২ক = ৪০০
⇒ ক = ৪০০/২
∴ ক = ২০০

সঠিক উত্তর গ) ২০০

শর্টকাট:
সংখ্যাটি = (২৩৫ + ১৬৫)/২ = ৪০০/২ = ২০০

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ১৫ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
ক ও খ একত্রে ১০ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ 
∴ ক ও খ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের ১/১০ অংশ 

ক একা ১৫ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
∴ ক একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/১৫ অংশ

∴ খ একা ১ দিনে করতে পারবে
= কাজের (১/১০ - ১/১৫) অংশ
= (৩ - ২)/৩০ অংশ 
= ১/৩০ অংশ 

খ একা ১/৩০ অংশ কাজ করতে পারে ১ দিনে 
∴ খ একা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করতে পারে ৩০ দিনে

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট ম্যাচে হাসান প্রথম তিন ইনিংসে যথাক্রমে ৪৫, ৫২ ও ৬০ রান করেন। চতুর্থ ইনিংসে তাকে কত রান করতে হবে যেন তার গড় রান ৫৫ হয়?

সমাধান:
ধরি, চতুর্থ ইনিংসে রান করতে হবে = x

প্রশ্নমতে,
(৪৫ + ৫২ + ৬০ + x)/৪ = ৫৫
বা, (১৫৭ + x)/৪ = ৫৫
বা, ১৫৭ + x = ২২০
বা, x = ২২০ - ১৫৭
∴ x = ৬৩

∴ চতুর্থ ইনিংসে তাকে ৬৩ রান করতে হবে।

প্রশ্ন: রফিক ২ মিনিট হেঁটে ১ মিনিট রেস্ট নিয়ে পুনরায় ২ মিনিট হাঁটল। এর মধ্যে সে ৭৫০ মিটার অতিক্রম করেছে। তার গড় বেগ কত মিটার/সেকেন্ড? 

সমাধান: 
এখানে, 
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৭৫০ মিটার 
মোট সময় = (২ + ১ + ২) মিনিট 
= ৫ মিনিট 
= (৫ × ৬০) সেকেন্ড 
= ৩০০ সেকেন্ড 

আমরা জানি, 
গড় বেগ = মোট দূরত্ব / মোট সময় 
= ৭৫০/৩০০ 
= ২.৫ মিটার/সেকেন্ড ।

প্রশ্ন: ক এর বেতন ১০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন ১০% বাড়ানো হলে ক এর কতটুকু ক্ষতি হলো?

সমাধান:
ধরি, ক এর মূল বেতন = ১০০ টাকা

১০% কমানোর পর বেতন = ১০০ - (১০০ এর ১০%)
= ১০০ - (১০০ এর ১০/১০০)
= ১০০ - ১০
= ৯০ টাকা

আবার, ১০% বৃদ্ধিতে বর্তমান বেতন = ৯০ + (৯০ এর ১০%)
= ৯০ + (৯০ এর ১০/১০০)
= ৯০ + ৯
= ৯৯ টাকা

∴ মোট ক্ষতি = (১০০ - ৯৯) টাকা = ১ টাকা
∴ শতকরা ক্ষতি = (১/১০০) × ১০০% = ১%

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৫ X ৪) টাকা =২০ টাকা
তাহলে সুদাসল = (১০০ +২০ টাকা) = ১২০ টাকা
সুদাসল ১২০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮৪০ টাকা হলে আসল (১০০/১২০) X ৮৪০ টাকা
= ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ৫ সেকেন্ড, ১০ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড এবং ২০ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৫, ১০, ১৫, এবং ২০ এর ল.সা.গু যত, ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
৫, ১০, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে ৬০ সেকেন্ড পর।
= ৬০/৬০ মিনিট
= ১ মিনিট

প্রশ্ন: সপ্তম শ্রেণির বার্ষিক পরীক্ষায় রাকিবের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৬৫, ৮০ ও ৭০ । চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৭৫ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক 

প্রশ্নমতে, 
(৬৫ + ৮০ + ৭০ + ক)/৪ = ৭৫ 
বা, ২১৫ + ক = ৩০০ 
বা, ক = ৩০০ - ২১৫
∴ ক = ৮৫ 

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫ ।

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৩৫ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। কী পরিমাণ সোনা মিশালে অনুপাত ৫ : ১ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৩ + ২) = ৫ 
∴ অনুপাতে সোনার পরিমাণ = ৩৫ × (৩/৫) গ্রাম = ২১ গ্রাম 
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ৩৫ × (২/৫) গ্রাম = ১৪ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মিশাতে হবে = x গ্রাম 

শর্তমতে, 
(২১ + x)/১৪ = ৫/১ 
বা, ২১ + x = ৭০ 
বা, x = ৭০ - ২১ 
∴ x = ৪৯

∴ সোনা মিশাতে হবে = ৪৯ গ্রাম। 

ধরি, ক্রয়মূল্য = ক
প্রশ্নমতে,
ক + ক এর ২০% = ২১০
বা, ক + ০.২ক = ২১০
বা, ১.২ক = ২১০
বা, ক = ২১০/১.২ = ১৭৫ টাকা।

প্রশ্ন: ১০% বার্ষিক সুদের হারে ৬ মাসে ১৫০০০ টাকার সুদ কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ১৫০০০
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ৬ মাস = ৬/১২ বছর
= ১/২ বছর

আমরা জানি,
সুদ(SI) = Prn/১০০
= {১৫০০০ × ১০ × (১/২)}/১০০
= ১৫০০/২
= ৭৫০ টাকা