পাটিগণিত

প্রশ্নটি দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর হবে।
মনেকরি 
সংখ্যা দুটি ক, (ক + ১)
প্রশ্নমতে,
(ক+১)^২ - ক^২ = ৪১ 
বা, ক^২ + ২ক ১ + ১^২ - ক^২ = ৪১ 
বা, ২ক + ১ = ৪১ 
বা, ২ক = ৪১ - ১
বা, ২ক = ৪০ 
∴, ক = ২০ 

বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১ 

প্রশ্ন: ১২০ গ্রাম জুসের মিশ্রণে আম ও কমলার রসের অনুপাত ৩ : ২। এতে কী পরিমাণ কমলার রস মিশালে অনুপাত ৪ : ৫ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আম ও কমলার রসের অনুপাত = ৩ : ২
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (৩ + ২) = ৫

১২০ গ্রাম জুসে আমের রস আছে = ১২০ × (৩/৫) গ্রাম 
= ৭২ গ্রাম 
আবার, 
১২০ গ্রাম জুসে কমলার রস আছে = ১২০ × (২/৫) গ্রাম 
= ৪৮ গ্রাম

ধরি, 
 ক গ্রাম কমলার রস মিশাতে হবে 

প্রশ্নমতে, 
৭২ : (৪৮ + ক) = ৪ : ৫ 
বা, ৭২/(৪৮ + ক) = ৪/৫
বা, ৭২ × ৫ = ৪(৪৮ + ক) 
বা, ৩৬০ = ১৯২ + ৪ক 
বা, ৪ক = ১৬৮ 
বা, ক = ১৬৮/৪ 
∴ ক = ৪২

∴ ৪২ গ্রাম কমলার রস মিশালে অনুপাত ৪ : ৫ হবে।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ২টি খাতা ক্রয় করে। প্রথমটি ৪০০ টাকায়, দ্বিতীয়টি ৫০০ টাকায়। প্রথমটি ১৫% লাভে এবং দ্বিতীয়টি ১০% ক্ষতি দিয়ে বিক্রি করা হলো। মোট লাভ/ক্ষতির হার কত?

সমাধান:
প্রথম খাতার বিক্রয়মূল্য = ৪০০ + [(১৫/১০০) × ৪০০]  
= ৪০০ + ৬০  
= ৪৬০ টাকা  

দ্বিতীয় খাতার বিক্রয়মূল্য = ৫০০ - [(১০/১০০) × ৫০০]  
= ৫০০ - ৫০  
= ৪৫০ টাকা  

দুইটি খাতার ক্রয়মূল্য = (৪০০ + ৫০০) = ৯০০ টাকা  

দুইটি খাতার বিক্রয়মূল্য = (৪৬০ + ৪৫০) = ৯১০ টাকা  

তাহলে,  
বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = [(৯১০ - ৯০০) × ১০০]/৯০০  
= ১০০০/৯০০  
= ১.১১%

∴ তাহলে লাভ হয় = ১.১১%

প্রশ্ন: দুইটি কলমের মূল্যের অনুপাত ৩:৪। দ্বিতীয় কলমটির মূল্য ১২৮ টাকা হলে, প্রথম কলমটির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্বিতীয় কলমের মূল্য = ১২৮ টাকা।

এখন,
প্রথম কলমের মূল্য = দ্বিতীয় কলমের মূল্যের ৩/৪ গুণ।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = (১২৮ এর ৩/৪) টাকা
= ৯৬ টাকা।

∴ প্রথম কলমের মূল্য = ৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ১৫ ও ৬০ হলে, এর মধ্য সমানুপাতি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ১৫
৩য় রাশি = ৬০

আমরা জানি,
(মধ্য রাশি)^২ =  ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ১৫ × ৬০
⇒ মধ্য রাশি = √৯০০
∴ মধ্য রাশি = ৩০

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ গ.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/ল.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ২১৬/৩৬
∴ গ.সা.গু = ৬

প্রশ্ন: স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার তিনগুণ সময় লাগে। যাতায়াতে মোট সময় যদি ১৬ ঘণ্টা হয়, তবে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ক ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৩ক ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক = ১৬
বা, ৪ক = ১৬
বা, ক = ৪

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৮, ৭৪ ও ৯৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ২ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
৫৮ - ৪ = ৫৪
৭৪ - ২ = ৭২
৯৬ - ৬ = ৯০

এখন, ৫৪, ৭২ ও ৯০ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

উৎপাদকের বিশ্লেষণ করে পাই,
৫৪ = ২ × ৩ × ৩ × ৩
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৩ = ১৮

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৮৮ থেকে যত ছোট, ৬৬৬ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
৮৮৮ - ক = ক - ৬৬৬
⇒ ৮৮৮ + ৬৬৬ = ক + ক
⇒ ১৫৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৫৫৪/২
∴ ক = ৭৭৭

অতএব, সংখ্যাটি = ৭৭৭

প্রশ্ন: ৫ জন লোক ৬ দিনে ১০ টি খেলনা তৈরি করতে পারে। ৩০ টি খেলনা ৩ দিনে তৈরি করতে কতজন লোক লাগবে?

সমাধান:
৬ দিনে ১০ টি খেলনা তৈরি করতে পারে = ৫ জন
∴ ১ দিনে ১০ টি খেলনা তৈরি করতে পারে = ৫ × ৬ জন
∴ ১ দিনে ১ টি খেলনা তৈরি করতে পারে = (৫ × ৬)/১০ = ৩ জন
∴ ৩ দিনে ৩০ টি খেলনা তৈরি করতে পারে = (৩ × ৩০)/৩ জন
= ৩০ জন

০.৫ – ০.৫% = ০.৫ – ৫/(১০ × ১০০)
= ০.৫ – ০.০০৫ = ০.৪৯৫

প্রশ্ন: একজন দুধ বিক্রেতা দুধের সাথে কিছু পরিমাণ পানি মিশিয়ে বিক্রয় করায় ২০% লাভ করে। মিশ্রণে পানি ও দুধের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ লিটার দুধের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

২০% লাভে,
দুধ ও পানির মিশ্রণের বিক্রয়মূল্য (১০০+ ২০) = ১২০ টাকা

১০০ টাকায় যদি ১ লিটার দুধ ক্রয় করা যায়
তাহলে, ১২০ টাকায় বিক্রয় করা যাবে = ১২০/১০০ = ৬/৫ লিটার
অর্থাৎ, দুধ বিক্রেতা ১০০ টাকা দিয়ে ১ লিটার দুধ কিনে দুধের সাথে পানি মিশিয়ে ১২০ টাকা দিয়ে অর্থাৎ ২০% লাভে ৬/৫ লিটার বিক্রয় করে।

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {(৬/৫) - ১} লিটার
= (৬ - ৫)/৫ লিটার
= ১/৫ লিটার

∴ পানি ও দুধের অনুপাত = (১/৫) : ১
= ১ : ৫ [ ৫ দ্বারা গুণ করে]

প্রশ্ন: ৩৬ জন লোক কোনো কাজ ২২ দিনে করতে পারে। কাজ আরম্ভের ১০ দিন পর ১৮ জন লোক চলে গেলে বাকী লোক কত দিনে অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে? 

সমাধান: 
১২ দিন পর - 
অবশিষ্ট সময় থাকে = (২২ - ১০) = ১২ দিন 
এবং অবশিষ্ট লোক থাকে = (৩৬ - ১৮) = ১৮ জন 

৩৬ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১২ দিনে 
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১২ × ৩৬ দিনে 
∴ ১৮ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = (১২ × ৩৬)/১৮ দিনে 
= ২৪ দিনে 

∴  অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে = ২৪ দিনে।

প্রশ্ন: ১/২ এর শতকরা কত ৩/৫ হবে?

সমাধান:
১/২ এর ক% = ৩/৫
বা, ১/২ এর ক/১০০ = ৩/৫
বা, ক/২০০ = ৩/৫
বা, ক = (২০০ × ৩)/৫
∴ ক = ১২০

প্রশ্ন: ১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মূল্যের সমান। ২০টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যাবে?

সমাধান: 
১৫টি ছাগলের মূল্য = ৩টি গরুর মূল্যে
∴ ১টি ছাগলের মূল্য = ৩/১৫ টি গরুর মূল্যে
∴ ২০টি ছাগলের মূল্য = (৩ × ২০)/১৫ টি গরুর মূল্যে
= ৪টি গরুর মূল্যে

অতএব, ২০টি ছাগলের পরিবর্তে ৪টি গরু পাওয়া যাবে। 

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৩/১০। একটি ভগ্নাংশ ৩/৫ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৩/১০
একটি ভগ্নাংশ = ৩/৫

অপর ভগ্নাংশ = (৩/১০) ÷ (৩/৫)
= (৩/১০) × (৫/৩)
= ১৫/৩০
= ১/২

ধরি, পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে ৭ক ও ৩ক বছর। 

প্রশ্নমতে, (৭ক - ৪) : (৩ক - ৪) = ১৩ : ৫
(৭ক - ৪)/(৩ক - ৪) = ১৩/৫

এর সমাধান করে পাই, ক = ৮
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২৪ বছর

ক : খ = ২ : ৩
বা, ক/খ = ২/৩
বা, ২খ = ৩ক
বা, খ = ৩ক/২
আবার, খ : গ = ৪ : ৫
বা, খ/গ = ৪/৫
বা, ৪গ = ৫খ
বা, গ = ৫খ/৪
= ৫/৪ × ৩ক/২
= ৫/৪ × ৩/২ × ৮০০
= ১৫০০ 

ধরি বইটির ক্রয়মূল্য x টাকা। তাহলে ২৪ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় (x-২৪) টাকা এবং ৭৬ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় (৬৩-x) টাকা।
প্রশ্নমতে,
৩(x-২৪) = ৭৬-x
বা, ৩x - ৭২ = ৭৬-x
বা, ৪x = ১৪৮
∴ x = ৩৭

প্রশ্ন: একটি ট্যাঙ্কের দুইটি নলের মধ্যে প্রথম নল ২০ মিনিটে এবং দ্বিতীয় নল ৩০ মিনিটে ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করে। দুটি নল একসাথে খুলে দিলে ১০ মিনিটে ট্যাঙ্কের কত অংশ পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/৩০ অংশ

এখন,
দুইটি নল একত্রে খোলা থাকলে,
১ মিনিটে পূর্ণ করে = (১/২০) + (১/৩০) = (৩ + ২)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ 
∴ ১০ মিনিটে পূর্ণ করে = (১/১২) × ১০ = ৫/৬ অংশ

সংখ্যা দুইটি ৩ক ও ১১ক হলে,
(৩ক + ৫)/(১১ক + ৫) = ১/৩ বা, ক = ৫
সুতরাং, সংখ্যা দুইটি  (৩ × ৫) ও (১১ × ৫)
বা, ১৫ ও ৫৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৩০% হলো ১২০ এর ১৫% থেকে ২১ বেশি। তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
একটি সংখ্যার ৩০% হলো ১২০-এর ১৫% থেকে ২১ বেশি।

ধরি, সংখ্যাটি = ক
তাহলে:
ক এর ৩০%  = (১২০ এর ১৫%) + ২১
⇒ ক × (৩০/১০০) = {(১৫/১০০) × ১২০} + ২১
⇒ ৩ক/১০ = ১৮ + ২১
⇒ ৩ক/১০ = ৩৯
⇒ ক = (৩৯ × ১০)/৩
⇒ ক = ১৩ × ১০
∴ ক = ১৩০

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ১৩০। 

ধরি, অফিসারের বেতন ক টাকা
প্রশ্নমতে, ক × ৯০/১০০ × ৮৫/১০০ × ৯০/১০০ = ১৩৭৭
ক = (১৩৭৭ × ১০০× ১০০ × ১০০)/( ৯০ × ৮৫ × ৯০) = ২০০০ টাকা

প্রশ্ন: ১৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করে ৩ ঘণ্টায়। ৫ জন লোক ঐ কাজ কত সময়ে শেষ করবে? 

সমাধান: 
১৫ জন লোক কাজটি শেষ করে = ৩ ঘণ্টায়
∴ ১ জন লোক কাজটি শেষ করে = ৩ × ১৫ ঘণ্টায় 
∴ ৫ জন লোক কাজটি শেষ করে = (৩ × ১৫)/৫ ঘণ্টায়
= ৯ ঘণ্টায় । 

প্রশ্ন: রহিম তার ভবিষ্যৎ সঞ্চয়ের কথা ভেবে একটি ব্যাংকে ৫,০০০ টাকা জমা রাখল এবং তার জমাকৃত টাকার উপর বার্ষিক ১০% হারে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা পাবে। ২ বছর শেষে তার জমাকৃত টাকার ওপর মুনাফা বাবদ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
বার্ষিক সুদের হার, r = ১০% 
সময়, n = ২ বছর

চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(1 + r/১০০)ⁿ
= ৫০০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ৫০০০ × (১১০/১০০)^২
= ৫০০০ × (১১০/১০০) × (১১০/১০০) 
= ৬০৫০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি মূলধন - মূলধন
= ৬০৫০ - ৫০০০
= ১০৫০ টাকা

৭ টি সংখ্যার সমষ্টি ২৮০ এবং ৩ টি সংখ্যার সমষ্টি ৬৩।
∴ ১০ টি সংখ্যার গড় হবে (২৮০ + ৬৩) / ১০ = ৩৪.৩

প্রশ্ন: ৬০ জন শ্রমিক একটি পুকুর ৪৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন শ্রমিক ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ × ৪৫ জন
∴ ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = (৬০ × ৪৫)/৬০ জন
= ৪৫ জন

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ৪৫ জন।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি  ৮৫ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ হলে পিতার বয়স কত? 

সমাধান:
ধরি, পুত্রের বয়স ক বছর
পিতার বয়স ৪ক বছর

শর্তমতে, ক + ৪ক = ৮৫
⇒ ৫ক = ৮৫
⇒ ক = ৮৫/৫
⇒ ক = ১৭
∴ পুত্রের বয়স ১৭ বছর
এবং পিতার বয়স = ৮৫ - ১৭ = ৬৮ বছর

ধরি, বনভোজনে পুরুষ ছিল x জন এবং মহিলা ছিল x‌-10 জন।
∴ বনভোজনে শিশু ছিল x+(x-10)-10 জন = 2x-20 জন।
শর্তমতে,
x+(x-10)+(2x-20) = 210
বা, x+x-10+2x-20 = 210
বা, 4x-30 = 210
বা, 4x = 210+30
বা, 4x = 240
বা, x = 240/4
বা, x = 60
অতএব, বনভোজনে পুরুষ ছিল 60 জন।

প্রদত্ত ভগ্নাংশ ২/৩, ৩/৫, ৬/১৫
ল.সা.গু. = লবগুলোর ল.সা.গু./হরগুলোর গ.সা.গু.
= ২, ৩, ৬ এর ল.সা.গু./৩, ৫, ১৫ এর গ.সা.গু.
= ৬/১
= ৬

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, ১৪০ = ৪০০ × ৫ × r
বা, r = ১৪০/(৪০০ × ৫) = ০.০৭ = ৭%

প্রশ্ন: যদি আগামী পরশুদিন শুক্রবার হয়, তবে গতকাল কী বার ছিলো?

সমাধান:
আগামী পরশুদিন শুক্রবার হলে আজ হলো বুধবার ।
সুতরাং গতকাল ছিলো মঙ্গলবার। 

মঙ্গলবার (গতকাল) - বুধবার (আজ) - বৃহস্পতিবার (আগামীকাল) - শুক্রবার (আগামী পরশুদিন)

জামানের ভোট = ৩৫%,
নোমানের ভোট = ৫৫%,
অনুপস্থিত ভোট = {১০০ - (৩৫ + ৫৫)}% = ১০%
জামানের ভোট এবং অনুপস্থিত ভোটের ব্যবধান = (৩৫ - ১০)% = ২৫%
এখন, ২৫% = ১২০০ জন
∴ ১০০% = (১২০০ × ১০০)/২৫
= ৪৮০০ জন