পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে প্রথমে ১০% হ্রাস করা হয় এবং পরে ১০% বৃদ্ধি করা হয় এর ফলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রকৃত সংখ্যা হতে ৫০ কম। প্রকৃত সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
 প্রকৃত সংখ্যাটি = ক

প্রথমে ১০% হ্রাসে 
ক - ক এর ১০% 
= ক - ক এর ১০/১০০
= ৯০ক/১০০ 
=  ৯ক/১০

পরে ১০% বৃদ্ধিতে 
৯ক/১০ +  ৯ক/১০ এর ১০% 
= ৯ক/১০ +  ৯ক/১০ এর ১০/১০০
= ৯ক/১০ + ৯ক/১০০
= ৯৯ক/১০০ 

প্রশ্নমতে 
ক - ৯৯ক/১০০ = ৫০ 
বা, ১০০ক - ৯৯ক/১০০ = ৫০ 
বা, ক/১০০ = ৫০ 
∴ ক = ৫০০০ 

ধরি, সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য ক মিটার
আমরা জানি,
বেগ (v) = সরণ(s)/সময়(t)
এখানে বেগ = (৭২ × ১০০০)/৩৬০০ = ২০ মি./সে.
সরণ = ৭০০ + ক
সময় = ৬০ সে.
প্রশ্নমতে, (৭০০ + ক)/৬০ = ২০
বা ৭০০ + ক = ১২০০
বা ক = ৫০০
অতএব, ক = ৫০০

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবীর আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩ হলে, তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত অংশ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একজন চাকরিজীবীর আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩
মনে করি,
চাকরিজীবীর আয় ৫ক টাকা
চাকরিজীবীর  ব্যয় ৩ক টাকা
∴ মাসিক সঞ্চয় = (৫ক - ৩ক) = ২ক টাকা

তাহলে, শতকরা মাসিক সঞ্চয় = {(২ক/৫ক) × ১০০%} = ৪০%

∴  মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা ৪০% 

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬ কি.মি./ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটির যেতে যত সময় লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার দ্বিগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান: 

ধরি,
নৌকার বেগ = x = ৬ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = y কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে বেগ = x + y 
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = x − y

প্রশ্নমতে, x + y = ২(x − y)
⇒ ৬ + y = ২(৬ − y)
⇒ ৬ + y = ১২ − ২y
⇒ ৩y = ১২ - ৬
⇒ ৩y = ৬
∴ y = ২

স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% মুনাফায় ৫০০০ টাকা এবং ১২% মুনাফায় ৩০০০ টাকা বিনিয়োগ করা হলো। মোট মূলধনের উপর গড় মুনাফার হার কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
মুনাফা = (আসল × মুনাফার হার × সময়)/১০০ 

এখন, 
প্রথম বিনিয়োগের মুনাফা = ৫০০০ × ৮% = ৫০০০ × (৮/১০০) = ৪০০ টাকা
দ্বিতীয় বিনিয়োগের মুনাফা = ৩০০০ × ১২% = ৩০০০ × (১২/১০০) = ৩৬০ টাকা

∴ মোট মূলধন = ৫০০০ + ৩০০০ = ৮০০০ টাকা
∴ মোট মুনাফা = ৪০০ + ৩৬০ = ৭৬০ টাকা

∴ গড় মুনাফার হার = (মোট মুনাফা × ১০০)/মোট মূলধন
= (৭৬০ × ১০০)/৮০০০
= ৭৬/৮ 
= ৯.৫%

সুতরাং, মোট মূলধনের উপর গড় মুনাফার হার ৯.৫%।

করিম ৪৫ মিনিটে করে ১ অংশ কাজ
∴ করিম ১ মিনিটে করে ১/৪৫ অংশ কাজ
রহিম ৩০ মিনিটে করে ১ অংশ কাজ
∴ রহিম ১ মিনিটে করে ১/৩০ অংশ কাজ
করিম ও রহিম ১ মিনিটে করে = (১/৪৫ + ১/৩০) অংশ
= (২+৩)/৯০ অংশ।
= ৫/৯০ অংশ।
= ১/১৮ অংশ।
১/১৮ অংশ করে ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ করে (১ X ১৮) / ১ মিনিটে
= ১৮ মিনিটে।

দেওয়া আছে,
এসিড : পানি = ৭ : ৩
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ : ক = ৩ : ৭
⇒ ক = (২১ × ৭)/৩ = ৪৯
∴ পানি মিশ্রিত করতে হবে (৪৯ - ৯) = ৪০ লিটার।

প্রশ্ন: a ও b বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a ও b হলো দুইটি বিজোড় সংখ্যা।

আমরা জানি, দুইটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়।

যেহেতু, a ও b উভয়ই বিজোড়,
তাহলে, ab = একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
ab = বিজোড় সংখ্যা।
ab + 1 = বিজোড় সংখ্যা + 1 = জোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 1 = 4]
ab + 2 = বিজোড় সংখ্যা + 2 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 2 = 5]
ab + 4 = বিজোড় সংখ্যা + 4 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: 3 + 4 = 7]

যেহেতু ab একটি বিজোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি পাওয়া যায়,

∴ ab + 1 একটি জোড় সংখ্যা।

চক্রবৃদ্ধি এবং সরল মুনাফার পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা
= {P(1 + r)ⁿ- P} - Pnr
= {1000(1 + 10%)² - P} - 1000 × 2 × 10%
= {1000 × 1.21 - P} - 200
= {1210 - 1000} - 200
= 210 - 200
= 10

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার গড় ৩৫। প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করে পরে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মূল গড় = ৩৫  
মোট সংখ্যা = ১২  
∴ সমষ্টি = ১২ × ৩৫ = ৪২০

এখন, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে নতুন সমষ্টি  
= ৪২০ - (১২ × ৫)  
= ৪২০ - ৬০  
= ৩৬০

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন সমষ্টি,  
= ৩৬০ × ২ = ৭২০

∴ নতুন গড় = ৭২০/১২ = ৬০ 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির  তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১২ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ হয়  ১/১২ অংশ

২য় নল দ্বারা একইভাবে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ

নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১২) + (১/১৫) অংশ
= (৫ + ৪)/৬০ অংশ
= ৯/৬০ অংশ
= ৩/২০ অংশ

এখন,
৩/২০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (২০/৩) মিনিটে
∴ তিন-চতুর্থাংশ বা ৩/৪ অংশ পূর্ণ হয় = (২০/৩) × (৩/৪) মিনিটে
= ৫ মিনিটে ।

∴ চৌবাচ্চাটির  তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে ৫ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা যুগল সহমৌলিক?

সমাধান:
• দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

১৪ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৭, ১৪।
২৫ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৫, ২৫।

এখানে ১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। তাই, ১৪ এবং ২৫ হলো সহ-মৌলিক।

প্রশ্ন: একটি পাম্প ২ ঘণ্টায় একটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে। কিন্তু ট্যাঙ্ক এ একটি ছিদ্র থাকায় ট্যাংকটি পূর্ণ হতে ১ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। পানিপূর্ণ করার পর সেই ছিদ্র দিয়ে পানি বের হয়ে  সম্পূর্ণ  ট্যাংকটি খালি হতে কত সময় লাগবে?  

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্যাংকটি পূর্ণ হতে পারে ২ ঘণ্টায়
সুতরাং ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/২ অংশ

কিন্তু ছিদ্র থাকায় বাস্তবে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে সময় লাগে= ২ + ১ = ৩ ঘণ্টা
অর্থাৎ ছিদ্র থাকায় ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৩ অংশ

মনে করি, ছিদ্রপথে ট্যাংকটি সম্পূর্ণ খালি হতে সময় লাগে = x  ঘণ্টা
সুতরাং, ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/x  অংশ

প্রশ্নমতে, 
(১/২) - (১/x) = ১/৩ 
বা, ১/x  =  ১/২ -  ১/৩)
বা, ১/x = (৩ - ২)/৬
বা, ১/x = ১/৬ 
বা, x = ৬

অর্থাৎ ছিদ্রপথে ট্যাংকটি সম্পূর্ণ খালি হতে সময় লাগবে ৬ ঘণ্টা।

ট্রেনটির বেগ = ৫৪ × ৫/১৮ = ১৫ মি./সে
খুঁটিটিকে অতিক্রম করতে প্রয়জনীয় সময় = ২১০ / ১৫ = ১৪ সেকেন্ড

৮০% এর সমান বইয়ের মূল্য ২৮ টাকা
∴ ১০০% এর সমান বইয়ের মূল্য (২৮ × ১০০%)/৮০% = ৩৫ টাকা
∴সরকারের ভর্তুকি এর পরিমাণ (৩৫ - ২৮) = ৭ টাকা।

৫ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪/৫ টাকা
আবার,
৪ টি কলার বিক্রয় মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য ৫/৪ টাকা
∴ লাভ = (৫/৪ - ৪/৫) = {(২৫-১৬) / ২০} = ৯/২০ টাকা।
৪/৫ টাকায় লাভ হয় ৯/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (৯×৫) / (২০×৪) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৯×৫×১০০) / (২০×৪) টাকা
= ২২৫/৪ টাকা
= ৫৬.২৫ টাকা

২৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা।
ক্রয়মূল্য ২৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২৫ X ২৫০০) / ১০০ টাকা।
= ৩১২৫ টাকা।

২/৩ = ০.৬৭
৩৩/৫০ = ০.৬৬
৮/১১ = ০.৭৩
৩/৫ = ০.৬০
১১/১৭ = ০.৬৫

২/৩ থেকে বড় সংখ্যাটি হচ্ছে ৮/১১

প্রশ্ন: ৩/১০ এবং ৯/২০ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (৩, ৯)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
৩ = ৩ × ১
৯ = ৩ × ৩
∴ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩ × ৩ = ৯

হর (১০, ২০)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
১০ = ২ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
∴ হরগুলোর গ.সা.গু = ২ × ৫ = ১০

∴ ৩/১০ এবং ৯/২০ এর ল.সা.গু = ৯/১০

ধরি, কোণ দুটি যথাক্রমে 4x এবং 5x
প্রশ্নমতে, 4x + 5x + 90° = 180°
বা, 9x = 90°
∴ x = 10°
অর্থাৎ, দুইটি কোণের পরিমাপ 40° ও 50° এবং অপর কোণের মান 90°।
সুতরাং সবচেয়ে ছোটো কোণের পরিমাপ 40° ।

প্রশ্নমতে, (১৭+৩+৪)ভাগ = ২৪ ভাগ = ৭২ কেজি
অর্থাৎ প্রতিভাগের ওজন ৩ কেজি
তাহলে B আছে ৩ ভাগ = ৩×৩=৯কেজি

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৬০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৬০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০ = ১/১০

আমরা জানি
সরল মুনাফা,I = Pnr
= ৬০০০ × ৩ × ১/১০
= ১৮০০ টাকা 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1 + r)ⁿ
   = ৬০০০(১ + ১/১০)^৩
   = ৬০০০ × (১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০)
   = ৭৯৮৬ টাকা 

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৭৯৮৬ - ৬০০০ 
= ১৯৮৬ টাকা।

সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (১৯৮৬ - ১৮০০)  = ১৮৬ টাকা

গণিতে পাস করে = ৮৬%
∴ ফেল করে = ১৪%
১৪% = ১৫৪ জন
১০০% = (১৫৪ × ১০০)/১৪
= ১১০০

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা, ২৮% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য ৭২ টাকা 
বিক্রয় মূল্য ও ক্রয় মূল্যের অনুপাত = ৭২ঃ১০০ = ১৮ঃ২৫

Let Nila's age be 5x years and
Shila's age be 6x years

((1/3)×5x):((1/2)×6x) = 5:9
⇒ 5x/(3×3x) = 5/9

Thus, Shila's age cannot be determined

প্রশ্ন: টাকায় এক ডজন বড়ই বিক্রি করায় ২৫% ক্ষতি হয় । ৫০% লাভ করতে হলে টাকায় কতটি বড়ই বিক্রি করতে হবে?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
২৫% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২৫ = ৭৫ টাকা।
৫০% লাভে, বিক্রয়মূল্য  = ১০০ + ৫০ = ১৫০ টাকা।

∴ পূর্বের বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে, বিক্রয় করতে হবে ১৫০ টাকায়।
∴ পূর্বের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে, বিক্রয় করতে হবে (১৫০/৭৫) = ২ টাকায়।

∴ ২ টাকায় বিক্রি করতে হবে = ১২টি বড়ই
∴ ১ টাকায় বিক্রি করতে হবে (১২/২) = ৬টি বড়ই।

প্রশ্ন: খ এর বয়স ক এর বয়সের দ্বিগুণ। গ এর বয়স খ এর বয়সের দ্বিগুণ। ক ও গ এর বয়সের পার্থক্য ১২ বছর হলে, খ এর বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বর্তমান বয়স = x বছর
তাহলে,
খ এর বয়স = ২x বছর
এবং গ এর বয়স = খ এর দ্বিগুণ = ২ × ২x = ৪x বছর

প্রশ্নমতে, ক ও গ এর বয়সের পার্থক্য ১২ বছর
∴ গ - ক = ১২
⇒ ৪x - x = ১২
⇒ ৩x = ১২
⇒ x = ৪

∴ খ এর বয়স = ২x = ২ × ৪ = ৮ বছর

সুতরাং, খ এর বয়স ৮ বছর।

প্রশ্ন:

সমাধান:

২ বছরের সুদ = (৫৪০-৪৮৪) = ৫৬ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = (৫৬×৩)/২ = ৮৪ টাকা
∴ আসল = ৪৮৪ - ৮৪ = ৪০০ টাকা
∴ ৪০০ টাকায় ৩ বছরের সুদ = ৮৪ টাকা
১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ = (৮৪×১০০)/(৪০০×৩)
= ৭%

২০% বৃদ্ধি পেয়ে চিনির মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা
চিনির ব্যবহার ২০% কমায়
১০০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় ৮০ টাকার
১২০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয়(৮০ × ১২০)/১০০ = ৯৬ টাকার
চিনি বাবদ ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা
∴ ৪% ব্যয় কমলো