পাটিগণিত

মনে করি,
ক্রয়মূল্য x টাকা
∴ ২(x - ৪০০) = ৭০০ - x
বা, ২x - ৮০০ = ৭০০ - x
বা, ৩x = ১৫০০
∴ x = ৫০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৫টি করে এবং ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে গাছ আছে।  সর্বমোট কতটি গাছ আছে নার্সারিতে?

সমাধান:
মোট জাত = ১৬ টি 

১/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (১/৪) = ৪ টি 
∴ মোট গাছ = ৪ × ৫ = ২০টি  ; [প্রতি জাতে ৫টি করে গাছ]

আবার, 
৩/৪ অংশ জাত = ১৬ এর (৩/৪) = ১২ টি 
∴ মোট গাছ = ৪ × ১২ = ৪৮ টি  ; [প্রতি জাতে ৪টি করে গাছ]

∴ সর্বমোট গাছ = ২০ + ৪৮ = ৬৮টি

প্রশ্ন: করিম সাহেব ৪,০০,০০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ৫ বছর পর তিনি আসল টাকার ৩/৮ অংশ সুদ পেলেন। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল,P = ৪,০০,০০০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর
সুদ, I = আসল টাকার ৩/৮ অংশ = (৩/৮) × ৪,০০,০০০ টাকা
= ১৫০,০০০ টাকা
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ ১৫০,০০০ = (৪০০,০০০ × r × ৫)/১০০
⇒ ১৫০,০০০ = (২০,০০,০০০ × r)/১০০
⇒ ১৫০,০০০ × ১০০ = ২০,০০,০০০ × r
⇒ ১,৫০,০০,০০০ = ২০,০০,০০০ × r
⇒ r = ১,৫০,০০,০০০ ÷ ২০,০০,০০০
⇒ r = ৭.৫

∴ বার্ষিক সরল সুদের হার ৭.৫%।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান: 

১ থেকে ৩১ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলো = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ ,১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪, ২৬, ২৮, ৩০ 

এখানে, ১ম সংখ্যা = ২, শেষ সংখ্যা = ৩০ 
 
∴ গড় = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা)/২
= (২ + ৩০)/২
= ৩২/২
= ১৬

প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার 
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার 

আমরা জানি,  প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) 
= (২৫০ + ১৫০) মিটার
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে- 

সমাধান:
একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে a, b, c হলে সংখ্যাটি হবে,
100 × শতক স্থানীয় অঙ্ক + 10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক + 1 × একক স্থানীয় অঙ্ক
= (100 × a) + (10 × b) + (1 × c)
= 100a + 10b + c

ধরি, সংখ্যাদ্বয় x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 199
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 199
⇒ 2x = 199 - 1
⇒ x = 198/2 = 99
∴ বড় সংখ্যাটি = 199 - 99 = 100

ধরি, ক্রয়মূল্য = ক টাকা
প্রশ্নমতে,
৮৫ = ক + ক এর ২৫%
বা, ৮৫= ক + ০.২৫ক
বা, ৮৫ = ১.২৫ক
বা, ক = ৮৫/১.২৫ = ৬৮ টাকা

প্রশ্ন: একটি ব্যাংকে ২ বছর মেয়াদে বার্ষিক ৬% চক্রবৃদ্ধি হারে ৫,০০০ টাকা মূলধন রাখা হলে ২ বছরের শেষে মোট কত টাকা পাওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৫,০০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৬% = ৬/১০০
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৫০০০ × {১ + (৬/১০০)}^২
= ৫০০০ × {(১ + ০.০৬)}^২
= ৫০০০ × (১.০৬)^২
= ৫০০০ × ১.০৬ × ১.০৬
= ৫,৬১৮ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো একটি বছরের ২৬ আগস্ট মঙ্গলবার হলে ঐ বছরের ২৯ সেপ্টেম্বর কী বার ছিলো?

সমাধান:
২৯ সেপ্টেম্বর ছিলো সোমবার। 

২৯ সেপ্টেম্বর - ২৬ আগস্ট
= ৫ + ২৯ দিন = ৩৪ দিন 
= (৩৫ - ১) দিন 
= (৫ × ৭) - ১ 
= মঙ্গলবার - ১ দিন 
= সোমবার  

পূর্ণ সংখ্যাঃ শূন্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।

স্বাভাবিক সংখ্যাঃ ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।

মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায়, যেখানে q ≠ 0), যেমন: ১/২, ৩, -৫, ০.৭৫ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers): যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ (p/q আকারে লিখা যায় না, যেখানে q ≠ 0)যেমন: √২, π, √৫ ইত্যাদি।

ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক/২ = ক/৩ + ১৭
⇒ ক/২ - ক/৩ = ১৭
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ১৭
⇒ ক = ১৭X৬
∴ক = ১০২

প্রশ্ন: করিম ৮০০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৬ মাস পর রহিম কিছু টাকা নিয়ে ঐ ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ৪ : ৩ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। রহিমের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, লভ্যাংশের অনুপাত = ৪ : ৩
ধরি, রহিমের বিনিয়োগ = ক টাকা
করিমের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং রহিমের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৬) মাস = ৬ মাস

প্রশ্নমতে,
(৮০০০ × ১২)/(ক × ৬) = ৪/৩
⇒ ৯৬০০০/৬ক = ৪/৩
⇒ ১৬০০০/ক = ৪/৩
⇒ ৪ক = ১৬০০০ × ৩
⇒ ৪ক = ৪৮০০০
⇒ ক = ৪৮০০০/৪
⇒ ক = ১২০০০

∴ রহিমের বিনিয়োগ = ১২০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৮ কি.মি. বেগে চললে কোনো স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ১০ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ২৪ মিনিট কম সময় লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
৮ কি.মি. বেগে সময়,
৬০/৮ × ক = ৭.৫ক মিনিট

এবং 
১০ কি.মি. বেগে সময়,
৬০/১০ × ক = ৬ক মিনিট

প্রশ্নমতে,
৭.৫ক - ৬ক = ২৪
⇒ ১.৫ ক = ২৪
⇒ ক = ২৪/১.৫ = ১৬

∴ স্থানটির দূরত্ব ১৬ কি.মি.।

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে? 

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ 
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১ 
এখানে, 
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা। 
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০।

Other number
= (12×336)/84
= 48

একটি মাছ ২৫% লাভে বিক্রয় করা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা।
সুতরাং বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত = ১২৫ঃ১০০
= ৫ঃ৪

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লব গুলোর ল.সা.গু)/( হর গুলোর গ.সা.গু)
প্রদত্ত ভাগ্নাংশগুলোর লব ২১, ৯ এর  ল.সা.গু = ৬৩
প্রদত্ত ভাগ্নাংশগুলোর হর ৪, ৮ এর গ.সা.গু = ৪
∴ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৬৩/৪

x² - 8x - 8y + 16 + y²
সূত্র: (a - b - c)²
= a² + b² + c² - 2ab + 2bc - 2ca

x² - 2.x.4 - 2.4.y + (4)² + y²
= {4² + x² + y² - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4} - 2xy
=(4 - x - y)² - 2xy

অতএব, x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে।

x² - 8x - 8y + 16 + y² + 2xy
= (4 - x - y)² - 2xy + 2xy
= (4 - x - y)²

৩৬ এর ৫% = ৩৬ × ৫/১০০ = ১.৮

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৭০ জন গণিতে পাস করেছে। গণিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৯০ জন হলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট পরীক্ষার্থী ১০০ জন হলে, ফেল করেছে = (১০০ - ৭০) জন
= ৩০ জন

৩০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০ জন
∴ ১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থী = ১০০ / ৩০ জন
∴ ৯০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৯০)/৩০ জন
= ৩০০ জন

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৩০০ জন।

প্রশ্ন: ১০ বছর আগে মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত ছিল ৩ : ১। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত হবে ২ : ১। মায়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান: 
ধরি,
বর্তমানে মায়ের বয়স = ক বছর
বর্তমানে মেয়ের বয়স = খ  বছর

দেওয়া আছে, 
১০ বছর আগে বয়সের অনুপাত ৩ : ১
⇒ (ক - ১০) : (খ - ১০) = ৩ : ১
⇒ ক - ১০ = ৩(খ - ১০)
⇒ ক - ১০ = ৩খ - ৩০
⇒ ক = ৩খ - ৩০ + ১০ 
∴ ক = ৩খ - ২০ ......(১) 

এবং ১০ বছর পরে বয়সের অনুপাত ২ : ১
⇒ (ক + ১০) : (খ + ১০) = ২ : ১
⇒ ক + ১০ = ২(খ + ১০)
⇒ ক + ১০ = ২খ + ২০
⇒ ক = ২খ + ২০ - ১০ 
⇒ ক = ২খ + ১০ 
⇒ ৩খ - ২০ = ২খ + ১০ ; [১নং হতে] 
⇒ ৩খ - ২খ = ১০ + ২০ 
∴ খ = ৩০ 

১নং হতে পাই, 
∴ ক = ৩ × ৩০ - ২০ = ৯০ - ২০ = ৭০ 

সুতরাং, মায়ের বর্তমান বয়স ৭০ বছর। 

প্রশ্নমতে, ( ৮০ এর ৩০%)/x = ২৪
⇒ ৮০ এর ৩০/১০০ = ২৪x
⇒ x = (৩০ × ৮০ )/ ( ২৪ × ১০০ ) = ১

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
২০% লাভে,
বিক্রয় মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয় মূল্য ৪৮০০ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৪৮০০ )/১২০ = ৪,০০০ টাকা
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয় মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয় মূল্য ৪৮০০ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৪৮০০ )/৮০ = ৬০০০ টাকা
মোট ক্রয় মূল্য = ( ৪,০০০ + ৬,০০০ ) = ১০,০০০ টাকা
মোট বিক্রয় মূল্য = ( ৪৮০০ + ৪৮০০ ) = ৯৬০০ টাকা
ক্ষতি = ৪০০ টাকা
শতকরা ক্ষতি হয় = ( ১০০ × ৪০০ )/১০,০০০ = ৪%

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু ১৮?

সমাধান:
৩৬ এর গুণনীয়ক:
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬

আবার,
৫৪ এর গুণনীয়ক:
১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮, ২৭, ৫৪

উভয় সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক:
১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮

এর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক = ১৮

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১৮

∴ ৩৬ এবং ৫৪ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু ১৮

প্রশ্ন: টাকায় ১২টি কলা ক্রয় করে টাকায় কয়টি বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০/১০০ টাকা = ১.২ টাকা

১.২ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১২টি
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১২/১.২ = ১০টি

প্রশ্ন: একজন দোকানদার (১৫/২)% ক্ষতিতে একটি দ্রব্য বিক্রয় করল। যদি দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০% কম হত এবং বিক্রয়মূল্য ৩১ টাকা বেশী হত, তাহলে তার ২০% লাভ হতো । দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ক টাকা
৭.৫% ক্ষতিতে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য = ৯২.৫ক/১০০ টাকা
১০% কমে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৯০ক/১০০ টাকা

ক্রয়মূল্য ৯০ক/১০০ হলে,
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (৯০ক/১০০) × (১২০/১০০) = ১০৮ক/১০০

প্রশ্নমতে,
(১০৮ক/১০০) - (৯২.৫ক/১০০) = ৩১
⇒ (১০৮ক - ৯২.৫ক)/১০০ = ৩১
⇒ ১৫.৫ক/১০০ = ৩১
⇒ ক = (৩১ × ১০০)/১৫.৫
∴ ক = ২০০ টাকা

 ∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা।

মনে করি, ব্যবসা x টাকা থেকে y টাকাতে পরিবর্তন হয়েছে
প্রশ্নমতে, x এর ৪% = y এর ৫%
⇒ y = ( ৪/৫)x
∴ ব্যবসাতে পরিবর্তন হয়েছে ( x - y ) = ( x - ( ৪/৫)x ) = x/৫
x টাকার জন্য ব্যবসাতে পরিবর্তন হয়েছে x/৫ টাকা
১০০ টাকার জন্য ব্যবসাতে পরিবর্তন হয়েছে( x/৫ × ১০০ × ১/x ) = ২০ টাকা

প্রশ্ন: শতকরা ৭ টাকা হার সুদে ৭৪০ টাকার ৫ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৭ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৭/১০০ টাকা
∴ ৭৪০ টাকার ৫বছরের সুদ = (৭ × ৫ × ৭৪০)/১০০ টাকা
 = ২৫৯ টাকা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর ল.সা.গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।