পাটিগণিত

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৯১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৯১
⇒ ২ক + ১ = ৯১
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৪৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ৪৫ + ১ = ৪৬

প্রশ্ন: চার অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ এর লসাগু = ৭২

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

১০০০ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৬৪

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে = ১০০০ + (৭২ - ৬৪)
= ১০০০ + ৮ = ১০০৮

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০ জন ছাত্র আছে। যদি ৬০ জন ফেল করে, তবে পাশের হার কত? 

সমধান:
মোট ছাত্র = ৮০ জন।
পাশ করা ছাত্র = ৮০ − ৬০ = ২০ জন
পাশের হার = (২০ ÷ ৮০) × ১০০ = ২৫%

প্রশ্নমতে,
১ম সংখ্যাঃ ২য় সংখ্যা = ২.৫ঃ৩.৫
বা, ১ম সংখ্যা/২য় সংখ্যা = ২.৫/৩.৫
বা, ১৫/২য় সংখ্যা = ২৫/৩৫
বা, ২য় সংখ্যা = (১৫ × ৩৫)/২৫ = ২১

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৮,০০০ টাকায় ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৮,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০
সময়, n = ৩ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৮,০০০ × (১ + ১/২০)^৩
= ৮,০০০ × (২১/২০)^৩
= ৮,০০০ × (২১/২০) × (২১/২০) × (২১/২০)
= ৮,০০০ × (৯,২৬১/৮,০০০)
= ৯,২৬১ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা 10 টাকা মুনাফায় 5000 টাকার 3 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = 5000 টাকা 
সময়, n = 3 বছর 
মুনাফার হার, r = 10% 

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা
= p(1 + r)ⁿ - p
= 5000 × {1 + (10/100)}³ - 5000
= 5000 × {1 + (1/10)}³ - 5000
= 5000 × {(10 + 1)/10}³ - 5000
= 5000 × (11/10)³ - 5000
= 5000 × {(1331/1000) - 1}
= 5000 × {(1331 - 1000)/1000}
= 5000 × (331/1000)
= 1655

এবং , সরল মুনাফা
= pnr/১০০
= (5000 × 3 × 10)/100
= 500 × 3
=1500

∴ পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা
= 1655 - 1500
= 155

যেহেতু, গ.সা.গু. = ৮
সুতরাং, ল.সা.গু. ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে। তাই, ৬০ ল.সা.গু. হতে পারে না।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার শতকরা ৮০ ভাগ ঐ সংখ্যার তিন পঞ্চমাংশ অপেক্ষা ১২ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৮০% - (৩ক/৫) = ১২
⇒ (৮০ক/১০০) - (৩ক/৫) = ১২
⇒ (৪ক/৫) - (৩ক/৫) = ১২ 
⇒ (৪ক - ৩ক)/৫ = ১২
⇒ ক/৫ = ১২
⇒ ক = ১২ × ৫
∴ ক = ৬০

∴ সংখ্যাটি হলো ৬০

বড় সংখ্যাটি, (১৯৭ + ১)/২ = ৯৯

√2 = 1.414
√3 = 1.732
∴ √2 এবং √3 এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যাটি 1.5

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলে। ট্রেনটি ৪৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৫৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে,
৩৬ কিলোমিটার = ৩৬০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড 

৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০/৩৬০০ মিটার 
∴ ৫৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৩৬০০০ × ৫৫)/৩৬০০ মিটার 
= ৫৫০ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ৫৫০ মিটার 
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫৫০ - ৪৫০) মিটার 
​ ∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার। 

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একসঙ্গে বেজে উঠল এবং তারপর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে থাকে। কতক্ষণ পর আবার সবগুলো একসঙ্গে বাজবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে সময়গুলো,
১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ সেকেন্ড

এখন, ১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ ল.সা.গু = ৩০০ সেকেন্ড
= ৩০০/৬০ মিনিট  ; [১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড] 
= ৫ মিনিট 

অতএব, ৫ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

0.001/(0.01 × 0.001)

= 0.001/0.00001

= 100

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। 

এখানে,
১৫ = ১ × ৩ × ৫
২২ = ১ × ২ × ১১

১৫, ২২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৫, ২২ পরস্পর সহমৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক 5 টাকা মুনাফায় 4000 টাকা কত বছরে মুনাফা আসলে 4400 টাকা হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুদ, I = 4400 - 4000 = 400
আসল, P = 4000
সুদের হার, r = 5%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, n = I/Pr
= 400/(4000 × 5%)
= 400/{4000 × (5/100)}
= 400/200
= 2 

∴ সময় লাগবে = 2 বছর।

ছাত্র সংখ্যা ক হলে,
১ম শর্তে,
ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা হবে = ক/৪ + ৩ এবং, ২য় শর্তে, ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা হবে (ক - ৬)/৩
সুতরাং ক/৪ + ৩ = (ক - ৬)/৩
বা, (ক + ১২)/৪ = (ক - ৬)/৩
বা, ৪ক - ২৪ = ৩ক + ৩৬
বা, ক = ৬০

প্রশ্নঃ কোন ভগ্নাংশটি ৭/৯ হতে বড়?

সমাধানঃ 
৭/৯ ≈ 0.৭৭৭

৭/১০  =0.৭ 
২/৩ = 0.৬৬৬৭ 
১২/১৫ = 0.৮ 
১০/১৩ = 0.৭৬৯২

সঠিক উত্তর: গ) ১২/১৫

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চারগুণ হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্যের চারগুণ = ৪ × ১০০ = ৪০০ টাকা

∴ ক্ষতির পরিমাণ = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য = ৪০০ - ১০০ = ৩০০ টাকা

∴ ক্ষতির হার = (ক্ষতি/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (৩০০/৪০০) × ১০০%
= (৩/৪) × ১০০%
= ৭৫%

সুতরাং, শতকরা ৭৫% ক্ষতি হবে।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৮ কিমি যায় এবং ২ ঘণ্টায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসে। পুরো যাত্রার জন্য তার গড় গতিবেগ কত কিমি/ঘণ্টা?

সমাধান:
একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৮ কিমি যায়
২ ঘণ্টায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসে
 
∴ মোট সময় = (৩ + ২) ঘণ্টা
= ৫ ঘণ্টা

∴ মোট দূরত্ব = (১৮ + ১৮) কি.মি.
= ৩৬ কি.মি.

∴  ঘণ্টায় গড় গতিবেগ = (৩৬/৫) কিমি/ঘণ্টা
= ৭.২ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: রেল লাইনের পাশে একটি খুঁটি আছে। ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. বেগে ধাবমান ৩৬০ মিটার লম্বা ট্রেন কত সময়ে ঐ খুঁটিটি অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
৭২ কি.মি. = (৭২ × ১০০০) = ৭২০০০ মিটার 

আমরা জানি, 
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট 
= (৬০ × ৬০) সেকেন্ড 
= ৩৬০০ সেকেন্ড 

∴ ট্রেনটি ৭২০০০ মিটার অতিক্রম করে ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে ৩৬০০/৭২০০০ সেকেন্ডে
∴ ট্রেনটি ৩৬০ মিটার অতিক্রম করে (৩৬০০ × ৩৬০)/৭২০০০ সেকেন্ডে  
= ১৮ সেকেন্ডে

সুতরাং, ১৮ সেকেন্ডে ঐ খুঁটিটি অতিক্রম করবে। 

৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৫ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৫৭ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০×৫৭)/৯৫ টাকা।
= ৬০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ২ : ৭ এবং খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৪ : ৭
= (২ × ৫) : (৭ × ৫)
= ১০ : ৩৫

আবার,
খ : গ = ৫ : ৭
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭)
= ৩৫ : ৪৯

∴ ক : খ : গ = ১০ : ৩৫ : ৪৯ । 

প্রশ্ন: ১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি বের করুন। 

সমাধান:
১৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ১৭, ১৯, ২৩ এবং ২৯।
 সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯
= ৮৮

সংখ্যা দু'টি ৩a, ৪a
∴ ৩a, ৪a = ৪৩২
বা, ১২a^২ = ৪৩২
বা, a^২ = ৩৬
∴ a = ৬
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ × ৬
= ১৮

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩৬ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৪ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩৬ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩৬ × ৩) বছর
= ১০৮ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২৪ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২৪ × ২) বছর 
= ৪৮ বছর 

∴ পিতার বয়স = (১০৮ - ৪৮) বছর 
= ৬০ বছর।

ধরি, অথৈ, মুন্নি এবং মরিয়ম পাবে ৩ক, ৭ক এবং ১৪ক।
প্রশ্নমতে,
৩ক + ৭ক + ১৪ক = ২১৬০
বা, ২৪ক = ২১৬০
বা, ক = ৯০
সুতরাং অথৈ পাবে = ৩ × ক = ৩ × ৯০ = ২৭০ টাকা