পাটিগণিত

দুইটি সংখ্যার গ সা গু ২, ল সা গু ৩৬০এবং একটি সংখ্যা ১০।
আমরা জানি,
গ সা গু X ল সা গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২×৩৬০)/১০
= ৭২

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের ১/৫ অংশ মাটির নিচে, ৩/৭ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ২৬ মিটার পানির উপরে আছে। গাছটির মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার
দেওয়া আছে,
মাটির নিচে = ১/৫ অংশ = ক/৫
পানিতে = ৩/৭ অংশ = ৩ক/৭
পানির উপরে (অবশিষ্ট) = ২৬ মিটার

∴ সম্পূর্ণ গাছ = মাটির নিচে + পানিতে + পানির উপরে
⇒ ক = (ক/৫) + (৩ক/৭) + ২৬
⇒ ক - (ক/৫) - (৩ক/৭) = ২৬
⇒ (৩৫ক - ৭ক - ১৫ক)/৩৫ = ২৬
⇒ ১৩ক/৩৫ = ২৬ 
⇒ ক = (৩৫ × ২৬)/১৩ 
⇒ ক =  ৩৫ × ২
∴ ক = ৭০ 

সুতরাং, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার। 

মনেকরি,
সংখ্যাটি = a
∴ a এর ২০% = ২০a/১০০
আবার, ২০a/১০০ এর ৮০% = (২০a/১০০) × (৮০/১০০)
∴ (২০a × ৮০)/(১০০ × ১০০) = ১২৮০
বা, a = (১২৮০ × ১০০ × ১০০)/(২০ × ৮০)
= ৮০০০

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ৫ বার বেশি ঘুরবে? 

সমাধান: 
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে ২ ও ৩ এর ল.সা.গু এর সমান 
∴ ২ ও ৩ এর ল.সা.গু  = ৬ 

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৬ মিটার 
∴ ৫ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (৬ × ৫) মিটার 
= ৩০ মিটার

খুঁটি অতিক্রম করার জন্য ট্রেনকে তার নিজের দৈর্ঘ্যের সমান পথ অতিক্রম করতে হবে।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = বেগ ✕ সময়
বেগ = ৫০ কিলোমিটার/ঘণ্টা = ৫০০/৩৬ মিটার/সেকেন্ড
সময় = ৯ সেকেন্ড
∴ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫০০/৩৬) ✕ ৯ = ১২৫ মিটার

প্রশ্ন: কোন বইয়ের দোকানে প্রতিটি নোট বই ৬০ টাকায় বিক্রয় হয়। বিশেষ হ্রাসকৃত মূল্যে প্রতি শুক্রবারে ২ টি বই ১০০ টাকায় ক্রয় করা যায়। ১২টি নোটবই শুক্রবারে ক্রয় করলে একজন ক্রেতার শতকরা কত টাকা সাশ্রয় হবে?

সমাধান:
১২টি নোটবই কিনতে সাধারণ মূল্যে মোট খরচ = ১২ × ৬০ = ৭২০ টাকা।

আবার, 
শুক্রবার অফার অনুযায়ী, যেহেতু ২টি নোটবই ১০০ টাকায়, তাই ১২টি নোটবইয়ের জন্য ​৬ জোড়া লাগবে।
সুতরাং, শুক্রবার মোট খরচ = ৬ × ১০০ = ৬০০ টাকা।

∴ খরচ বেঁচেছে = সাধারণ মূল্য - শুক্রবারের মূল্য = ৭২০ - ৬০০ = ১২০ টাকা।

∴ শতকরা খরচ বেঁচেছে = (১২০/৭২০) × ১০০%
= (১০০/৬)%
= ১৬.৬৭%

সুতরাং, শুক্রবার ১২টি নোটবই কিনলে ক্রেতার শতকরা ১৬.৬৭% টাকা বেঁচে যাবে।

আমরা জানি দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু×গসাগু
∴ ১১৭৬ = ৮৪×গসাগু
⇒ গসাগু = ১১৭৬/৮৪ = ১৪

প্রশ্ন: ২০২২ সালের ১৯ আগষ্ট শুক্রবার ছিল। ঐ বছরের ১লা অক্টোবর কী বার ছিল?
​
সমাধান:
আগষ্ট মাস = ৩১ দিন 
​সেপ্টেম্বর মাস = ৩০ দিন
১৯ আগষ্ট থেকে ১ লা অক্টোবর পর্যন্ত মোট দিন, (৩১ - ১৯) + ৩০ + ১ দিন 
​= (১২ + ৩১) দিন 
​= ৪৩ দিন
​
এখন, ৪৩ + ৭ = ভাগফল ৬, ভাগশেষ ১
​
যেহেতু ভাগশেষ ১ তাহলে ১লা অক্টোবর হবে শুক্রবার + ১ দিন অর্থাৎ, শনিবার।

নির্ণয়ে বৃহত্তম সংখ্যা হবে (১০২-৬)=৯৬ এবং (১৮৬-৬)=১৮০ এর গ.সা.গু.=১২

মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৬x, ১১x
∴ ৬x + ১১x = ১৮৭
বা, ১৭x = ১৮৭
∴ x = ১১

∴ পূর্বরাশি = ৬×১১ = ৬৬
∴ উত্তর রাশি = ১১×১১ = ১২১

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৩০০ টাকায় ক্রয় করে ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে, লাভ কত হবে?

সমাধান:
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৩০০ + ৩০০ এর ১০% = ৩৩০ টাকা
১০% কমে ক্রয়মূল্য = ৩০০ - ৩০০ এর ১০% = ২৭০ টাকা

∴ লাভ = ৩৩০ – ২৭০ = ৬০ টাকা

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে ৩৬ কি.মি. পথ ৯ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন। স্থির পানিতে একই সময়ে ২ গুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারেন। স্রোতের অনুকূলে একই পথ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার গতি = ৩৬/৯ কি.মি./ঘন্টা 
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

স্থির পানিতে নৌকার গতি = ২ × স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার গতি
= ২ × ৪
= ৮ কি.মি./ঘন্টা

নদীর স্রোতের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি - স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার গতি
= ৮ - ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

অনুকূলের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি + স্থির পানিতে নৌকার গতি
= ৮ + ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ১২ কি.মি./ঘন্টা

একই পথ অতিক্রাম করতে সময় লাগবে = ৩৬/১২ ঘন্টা = ৩ ঘন্টা

∴ একই পথ অতিক্রাম করতে সময় লাগবে ৩ ঘন্টা 

প্রশ্ন: একটি বছরের সেপ্টেম্বর মাসের ২০ তারিখ শনিবার হলে, ঐ মাসে মোট কতটি শুক্রবার আছে?

সমাধান: 
সেপ্টেম্বর মাসের ২০ তম দিন শনিবার হলে ১৯ তম দিন হবে শুক্রবার।
১৯ তম দিন সহ মাসের বাকি শুক্রবার গুলো হবে ,
১৯ + ৭ = ২৬ তম দিন 
১৯ - ৭ = ১২ তম দিন,
১২ - ৭ = ৫ ম দিন 
৫ - ৭ = - ২  দিন [যা শর্ত বিরোধী]

∴ ঐ মাসে শুক্রবার হবে মাসের ৫ম দিন, ১২ম দিন, ১৯ তম দিন, ২৬ তম দিন অর্থাৎ মোট ৪ টি শুক্রবার হবে। 

১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু. হলো ৫।
তাই সর্বোচ্চ ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী একটি শার্টের মূল্য ৩০% হ্রাস করার পর পুনরায় ৪০% বৃদ্ধি করেন। শার্টটির মূল্য মোটের উপর কত শতাংশ বৃদ্ধি বা হ্রাস পেয়েছে?

সমাধান:
মনে করি,
শার্টটির মূল মূল্য = ১০০ টাকা

এখন,
৩০% হ্রাস করায়,
হ্রাসকৃত মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ৩০%
= (১০০ - ৩০) টাকা
= ৭০ টাকা

আবার ,
হ্রাসকৃত মূল্যের উপর ৪০% বৃদ্ধি করা হলে,
 বর্তমান মূল্য = ৭০ + ৭০ এর ৪০%
= ৭০ + ৭০ × (৪০/১০০)
= ৭০ + ২৮
= ৯৮ টাকা

মূল্য হ্রাস পেয়েছে = (১০০ - ৯৮) টাকা = ২ টাকা 

∴ মোটের উপর শতকরা হ্রাস = (২/১০০) × ১০০%
= ২%

৫টাকায় কিনে ৪ টাকায় বিক্রি হলে ৫ টাকায় ১ টাকা ক্ষতি বা ২০% ক্ষতি।

প্রশ্ন: যদি ৭ টি গরু ৫ দিনে ৩৫ সের ছোলা খায়, তবে ১০টি গরু ঐ সময়ে কত সের ছোলা খাবে?

সমাধান:
৭ টি গরু ৫ দিনে ছোলা খায় ৩৫ সের
১ টি গরু ৫ দিনে ছোলা খায় ৩৫/৭ সের
১০ টি গরু ৫ দিনে ছোলা খায় (৩৫ × ১০)/৭ সের
= ৫০ সের

৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য (৩৮০+২০) = ৪০০ টাকা।
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
∴ ১০০ 〃     〃  〃 (১০০×২০)/৪০০ টাকা
                      = ৫ টাকা

প্রশ্ন: ৩/৫, ৫/৭ এবং ৭/৯ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব ৩, ৫ ও ৭ এর ল.সা.গু = ১০৫
হর ৫, ৭ ও ৯ এর গ.সা.গু = ১

অতএব,
৩/৫, ৫/৭ ও ৭/৯ এর ল.সা.গু
= ১০৫/১
= ১০৫

প্রদত্ত অপশনগুলোতে √২২/√২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ব্যাংকে ৬০০ টাকা বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে জমা রাখলেন। দুই বছরের শেষে তিনি সুদসহ মোট কত টাকা পাবেন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ?

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৬০০ × (১ + ১০%)^২
= ৬০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ৬০০ × (১ + ১/১০)^২
= ৬০০ × {(১০ + ১)/১০}^২
= ৬০০ × (১১/১০)^২
= ৬০০ × ১১/১০ × ১১/১০
= ৭২৬ টাকা

∴ সুদসহ পাবেন = ৭২৬ টাকা।

প্রশ্ন: তিন ভাইয়ের বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫। সবচেয়ে বড় ভাইয়ের বয়স ৩০ বছর হলে, দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
তিন ভাইয়ের বয়সের অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
সবচেয়ে বড় ভাইয়ের বয়স = ৩০ বছর
এবং অনুপাতে সবচেয়ে বড় অংশ = ৫ অংশ

সুতরাং, ৫ অংশ = ৩০ বছর
∴ ১ অংশ = ৩০/৫ = ৬ বছর

∴ দ্বিতীয় ভাইয়ের অংশ = ৪ অংশ
∴ দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স = ৪ × ৬ = ২৪ বছর

সুতরাং, দ্বিতীয় ভাইয়ের বয়স ২৪ বছর। 

প্রশ্ন: ক ও খ এর বেতনের অনুপাত ৭ : ৫। ক, খ অপেক্ষায় ৪০০ টাকা বেশি বেতন পেলে খ এর বেতন কত? 

সমাধান:
ধরি, ক-এর বেতন = ৭x
এবং খ-এর বেতন = ৫x

প্রশ্নানুসারে, ক খ-এর চেয়ে ৪০০ টাকা বেশি পায়।
∴ ৭x - ৫x = ৪০০
⇒ ২x = ৪০০ 
⇒ x = ২০০

সুতরাং খ-এর বেতন = ৫x = ৫ × ২০০ = ১০০০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত বছরে ৭,৫০০ টাকার সুদ ১৮০০ টাকা হবে?

সমাধান:
মূলধন, P = ৭,৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%
সুদ, I = ১৮০০ টাকা
সময়, n = ?

আমরা জানি,
I = (P × r × n)/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (১৮০০ × ১০০)/(৭৫০০ × ৮)
⇒ n = ১৮০০০০/৬০০০০
⇒ n = ৩

∴ প্রয়োজনীয় সময় = ৩ বছর

প্রশ্ন: যদি মোবাইল ফোনের পূর্বমূল্য : বর্তমান মূল্য 5 : 3 হয়, তবে মূল্য হ্রাসের শতকরা হার কত? 

সমাধান: 
পূর্বমূল্য : বর্তমান মূল্য = 5 : 3

ধরি,
পূর্বমূল্য = 5x টাকা,
বর্তমান মূল্য = 3x টাকা
তাহলে মূল্য হ্রাস = 5x - 3x = 2x টাকা

হ্রাসের শতকরা হার = (হ্রাসের পরিমাণ/পূর্বমূল্য) × 100% 
= (2x / 5x) × 100% 
= 40% 

সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = দুইটি সংখ্যার গুণফল
বা, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = দুইটি সংখ্যার গুণফল ÷ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.
বা, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩০০৭ ÷ ৯৭
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩১

১ম বছর শেষে ঋণের পরিমাণ,
C = ৫০০০(১ + ৮/১০০)^১
= ৫৪০০
১ম কিস্তি দেবার পরে তার ঋণের পরিমাণ = ৫৪০০ - ২০০০ = ৩৪০০ টাকা
১ম বছর পর ২য় বছরে তার ঋণের পরিমাণ, 
C = ৩৪০০(১ + ৮/১০০)^১
= ৩৬৭২
∴ ২য় কিস্তি পরিশোধের পর তার ঋণের পরিমাণ = ৩৬৭২ - ২০০০ = ১৬৭২ টাকা

ধরি, আসল = ১০০ টাকা
সুদাসল = ১০০ × ৩ = ৩০০ টাকা
⸫ সুদ = ৩০০ - ১০০ = ২০০ টাকা
⸫ সুদের হার = ১০০{(১০০ × সুদ)/(আসল × সময়)}
= (১০০ × ২০০)/(১০০ × ৪)
= ৫০%

প্রশ্ন: ৩০ গ্রাম ওজনের একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ । গহনাটিতে কী পরিমাণ তামা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত সমান হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ 
মোট অংশ = (৩ + ২) = ৫ 

∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৩০ × (৩/৫) গ্রাম = ১৮ গ্রাম 
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৩০ × (২/৫) গ্রাম = ১২ গ্রাম 

ধরি, 
তামা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে, 
১৮ : (১২ + ক) = ১ : ১ 
⇒ ১৮/(১২ + ক) = ১/১ 
⇒ ১২ + ক = ১৮
⇒ ক = ১৮ - ১২ 
⇒ ক = ৬

∴ তামা মেশাতে হবে = ৬ গ্রাম।

প্রশ্ন:

সমাধান: 

এখন 
(১/২) + (১/২)  = (১ + ১)/২ = ২/২ = ১

অতএব 
১/২ যোগ করলে যোগফল ১ হবে। 

প্রশ্নমতে,
৬০% শিক্ষার্থী = ১২০০ জন।
∴ ১০০% শিক্ষার্থী = ১২০০ X ১০০ / ৬০
= ২০০০ জন।
সুতরাং ছাত্রাবাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ২০০০ জন।
আবার প্রশ্নমতে,
৮০% শিক্ষার্থী = ২০০০ জন।
∴ ১০০% শিক্ষার্থী = ২০০০ X ১০০ / ৮০ জন।
= ২৫০০ জন।
সুতরাং বিশ্ববিদ্যালয়ের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ২৫০০ জন।

প্রশ্ন: ৪৮ লিটার মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ৩। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ দুধ মেশালে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ হবে?

সমাধান:
দুধ : পানি = ৫ : ৩
∴ অনুপাত রাশির যোগফল = ৫ + ৩ = ৮

দুধের পরিমাণ = ৪৮ × (৫/৮) = ৩০ লিটার
পানির পরিমাণ = ৪৮ × (৩/৮) = ১৮ লিটার

মনে করি,
ক লিটার দুধ মিশাতে হবে।

প্রশ্নমতে,
(৩০ + ক)/১৮ = ৭/৩
⇒ ৩ × (৩০ + ক) = ৭ × ১৮
⇒ ৯০ + ৩ক = ১২৬
⇒ ৩ক = ১২৬ - ৯০
⇒ ৩ক = ৩৬
⇒ ক = ১২

∴ ১২ লিটার দুধ মিশাতে হবে।