পাটিগণিত

প্রশ্ন: ৪টি কলম ও ২টি ডায়েরির দাম সমান। ২টি কলম ও ১টি ডায়েরির দাম ৭২ টাকা হলে, ৩টি কলম ও ৩টি ডায়েরির মোট দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
১টি কলমের দাম = x টাকা
এবং ১টি ডায়েরির দাম = y টাকা।

তাহলে, ৪টি কলমের দাম = ৪x টাকা
 এবং ২ টি ডায়েরির দাম = ২y টাকা

∴ ২টি কলম ও ১টি ডায়েরির দাম = ৭২ টাকা
অর্থাৎ, ২x + y = ৭২ ................(১)

প্রশ্নমতে,
৪x = 2y
বা, x = ২y/৪
∴ x = y/২

x এর মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই,
২ × (y/২) + y = ৭২
∴ y + y = ৭২
∴ ২y = ৭২
∴ y = ৩৬ টাকা

∴ x = y/২
= ৩৬/২
= ১৮ টাকা

∴ ৩টি কলম ও ৩টি ডায়েরির দাম = (৩x + ৩y) টাকা
= (৩×১৮) + (৩×৩৬) টাকা
= ৫৪ + ১০৮ = ১৬২ টাকা

প্রশ্ন: P : Q = 3 : 4, Q : R = 6 : 7 এবং R : S = 5 : 8 হলে, Q : S = কত?

সমাধান:
Q : R = 6 : 7 = (6 × 5) : ( 7 × 5) = 30 : 35
R : S = 5 : 8 = (5 × 7) : (8 × 7) = 35 : 56

Q : S = 30 : 56 = 15 : 28

প্রশ্ন: একজন শ্রমিক প্রতিদিন প্রথম ৬ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ১৫ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের জন্য ঘণ্টায় ২৫ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘণ্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত?

সমাধান:
প্রথম ৬ ঘণ্টার জন্য,
১ ঘণ্টায় মজুরি পায় ১৫ টাকা
∴ ৬ ঘণ্টায় মজুরি পায় (৬ × ১৫) = ৯০ টাকা

পরবর্তী ৪ ঘণ্টার জন্য,
১ ঘণ্টায় মজুরি পায় ২৫ টাকা
∴ ৪ ঘণ্টায় মজুরি পায় (৪ × ২৫) = ১০০ টাকা

∴ ১০ ঘণ্টায় মোট মজুরি পায় (৯০ + ১০০) = ১৯০ টাকা

∴ ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি = ১৯০ ÷ ১০ = ১৯ টাকা

প্রশ্ন: ৪ টি দ্রব্য ৫ টাকায় ক্রয় করে, ১৬ টি দ্রব্য কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে?

সমাধান:
৪ টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = ৫ টাকা
∴ ১ টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = ৫/৪ টাকা
∴ ১৬ টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = (৫ × ১৬)/৪ টাকা
= ২০ টাকা

লাভ = ১০%
∴ বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
= ২০ + (২০ এর ১০%) টাকা
= ২০ + ২ = ২২ টাকা

∴ ১৬ টি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ২২ টাকা

প্রশ্ন: ১০/২১, ১৫/২৮ ও ২০/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)

এখানে,
লব ১০, ১৫ ও ২০ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২^২ × ৫
∴ গ.সা.গু. = ৫

হর ২১, ২৮ ও ৩৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
২১ = ৩ × ৭
২৮ = ২^২ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু. = ২^২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৪ × ৩ × ৫ × ৭ = ৪২০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৫/৪২০ = ১/৮৪

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৫ : ২ । পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = ৬০ বছর
৫ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি হবে = ৬০ + (৫ + ৫) = ৭০ বছর

ধরি, ৫ বছর পর পিতার বয়স হবে ৫x এবং পুত্রের বয়স হবে ২x

প্রশ্নমতে,
৫x + ২x = ৭০
⇒ ৭x = ৭০
∴ x = ১০

∴ ৫ বছর পর পুত্রের বয়স হবে = ২x = ২ × ১০ = ২০ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২০ - ৫ = ১৫ বছর

আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে ১ম রাশি ✕ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২,
যেখানে, ১ম রাশি = ৭, ৩য় রাশি = ৩৪৩

(২য় রাশি)^২ = ৭ × ৩৪৩
২য় রাশি = ৪৯

প্রশ্ন: ৬০ এর চেয়ে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায় না।

২ থেকে ৫৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = মোট ১৭টি
(৬০ নিজে মৌলিক নয়, তাই এটি গণনায় আসে নাই)

সুতরাং, ৬০ এর চেয়ে ছোট ১৭টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 

৯টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪×৬২+৫×৩২) = ৪০৮
∴ পঞ্চম সংখ্যাটি = (৪৫৬-৪০৮) = ৪৮

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৭৫। সংখ্যা দুটির ল. সা. গু ৭৫ হলে, সংখ্যা দুটির গ. সা. গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৭৫
সংখ্যা দুটির ল. সা. গু ৭৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গ. সা. গু = দুটি সংখ্যার গুণফল/সংখ্যা দুটির ল. সা. গু
= ৩৩৭৫/৭৫
= ৪৫

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ 2πr : 2r
= π
= অমূলদ সংখ্যা (সকল ধ্রুবক একটি অমূলদ সংখ্যা)

প্রশ্ন: ১২% সরল মুনাফায় কত বছরে ১০,০০০ টাকার মুনাফা ৪৮০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ১০,০০০ টাকা
মুনাফা, I= ৪৮০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১২% = ১২/১০০
মনে করি,
সময় = n

আমরা জানি,
I = prn
বা, n = I/pr
= ৪৮০০/(১০,০০০ × ১২/১০০)
= ৪৮০০/(১০০ × ১২)
= ৪৮০০/১২০০
= ৪ বছর

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৭ অংশ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৭ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৭ক/৩) = ৪২০ × ২০
⇒ (৭/৩)ক^২ = ৮৪০০
⇒ ক^২ = ৮৪০০ × (৩/৭)
⇒ ক^২ = ৩৬০০
⇒ ক = √৩৬০০
∴ ক = ৬০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = (৬০ × ৭)/৩ = ৪২০/৩ = ১৪০

সুতরাং বড় সংখ্যাটি = ১৪০

আমরা জানি C = P(1+r)ⁿ
এখানে, P = ৬২৫০০
r = ৮%
n = ৩
C = ৬২৫০০ × (১ + ৮/১০০)^৩
= ৭৮৭৩২ টাকা

৭, ৫, ৯, ৩ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৩১৫
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৭ × ৩১৫ = ৩ × ৪৫ = ১৩৫
আবার, ২/৫ × ৩১৫ = ২ × ৬৩ = ১২৬
আবার, ৪/৯ × ৩১৫ = ৪ × ৩৫ = ১৪০
এবং ২/৩ × ৩১৫ = ২ × ১০৫ =২১০
সুতরাং সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

প্রশ্ন: ১২ জনের একটি অভিযাত্রী দলের ২৪ এবং ২৬ বছর বয়সী দুজন মহিলার পরিবর্তে দুজন পুরুষ এলে সকলের গড় বয়স ২ বছর বৃদ্ধি পায়। নতুন করে যুক্ত হওয়া দুজন পুরুষের গড় বয়স কত?

সমাধান:
দুজন পুরুষ লোকের মোট বয়স = [(২৪ + ২৬) + (১২ × ২)] বছর 
= (৫০ + ২৪) বছর
= ৭৪ বছর

∴ দুজন লোকের গড় বয়স = (৭৪/২) বছর
= ৩৭ বছর

৬০ টাকা বিক্রয়মূল্য এবং লাভ ১০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা

৫০ টাকায় লাভ হয় ১০ টাকা

১০০ টাকায় লাভ হয় (১০X১০০)/৫০= ২০ টাকা

অর্থাৎ, শতকরা ২০ টাকা লাভ হয়

প্রশ্ন: সরলসুদে কোনো আসল ৮ বছরে সুদ-আসলে তিনগুণ হলে, সুদের হার কত?

সমাধান:
মনে করি,
আসল, P = ১০০ টাকা
সুদ-আসলে তিনগুণ, অর্থাৎ A = ১০০ × ৩ = ৩০০
সুদ, I = ৩০০ - ১০০ = ২০০ টাকা
সময়, n = ৮ বছর

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ ২০০ = (১০০ × ৮ × r)/১০০
⇒ ৮r = ২০০
⇒ r = ২০০/৮
∴ r = ২৫

∴ সুদের হার ২৫%

শেয়ারের লাভ বা ক্ষতি সবসময় শেয়ারের ফেসভ্যালু বা অভিহিত মূল্যের উপর হয়। বাজারমূল্যের উপর নয়।
অর্থাৎ, কোন শেয়ারের ফেসভ্যালু বা অভিহিত মূল্য ১০০ টাকা হয়, কেউ যদি তা বাজার মূল্য ১২০ টাকায় ক্রয় করে এবং যদি বলা হয় সে শতকরা ৫ টাকা লাভ করে, তাহলে লাভের পরিমাণ হবে ৫ টাকা হবে ৬ টাকা নয়। আমরা এভাবে বলব, বাজারমূল্য ১২০ টাকায় লাভ হয় ৫ টাকা।

প্রদত্ত প্রশ্নে যে শেয়ার প্রতি লভ্যাংশ ৯ টাকা লাভ হয় তা অভিহিত মূল্যের ১০০ টাকার শেয়ারের হয়। যে শেয়ারের বাজারমূল্য ১৫০ টাকা

১৫০ টাকায় লাভ হয় = ৯ টাকা
৯০০০০০ টাকায় লাভ হয় = (৯০০০০০ × ৯)/১৫০ টাকা
= ৫৪০০০ টাকা

প্রশ্ন: কোন একজন মহিলার ২৪০৭৫ টাকা ছিল। তিনি নিজের জন্য ৬৭৫ টাকা রেখে অবশিষ্ট টাকা স্বামী, মা এবং কন্যাদ্বয়ের মধ্যে ১/৪ : ১/৬ : ২/৩ অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক কন্যা কত পেল?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট টাকা = ২৪০৭৫
নিজের জন্য রেখেছেন = ৬৭৫
∴ বাকি রইল = ২৪০৭৫ - ৬৭৫ = ২৩৪০০ টাকা
আবার,
দেওয়া অনুপাত,
স্বামী : মা : কন্যাদ্বয়
= ১/৪ : ১/৬ : ২/৩
= (১/৪ × ১২) : (১/৬ × ১২) : (২/৩ × ১২)
= ৩ : ২ : ৮

∴অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ + ৮ = ১৩

∴ দুই কন্যা = ২৩৪০০ × (৮/১৩) = ১৪৪০০ 

∴ প্রত্যেক কন্যা পায় = ১৪৪০০/২ = ৭২০০ টাকা। 

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ৩০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক
= ১০০০০ বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ৩০%) একক 
= [১০০ + {১০০ এর (৩০/১০০)}] একক 
= (১০০ + ৩০) একক 
= ১৩০ একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১৩০)^২ = ১৬৯০০ বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৬৯০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৬৯০০ বর্গ একক 

এখন,
১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৬৯০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৬৯০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(৬৯০০ × ১০০)/১০০০০} বর্গ একক
= ৬৯ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ৬৯%

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি সপ্তাহে ১৫০০ টাকা আয় করেন এবং ১২০০ টাকা ব্যয় করেন। তার সঞ্চয় ও আয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকটির আয় = ১৫০০ টাকা 
এবং ব্যয় = ১২০০ টাকা 

∴ সঞ্চয় = (১৫০০ - ১২০০) = ৩০০ টাকা 

সুতরাং,
সঞ্চয় ও আয়ের অনুপাত = ৩০০ : ১৫০০ = ১ : ৫

তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। 
a/b = b/c 
⇒ b² = ac 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত হলো ৩ : ৮ এবং তাদের অন্তর ১১৫। দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৮
তাদের অন্তর = ১১৫

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৩ক এবং ৮ক
∴ অন্তর = বৃহত্তর সংখ্যা - ক্ষুদ্রতর সংখ্যা
⇒ ৮ক - ৩ক = ১১৫
⇒ ৫ক = ১১৫
⇒ ক = ১১৫/৫
∴ ক = ২৩

এখন সংখ্যা দুটি হলো, 
প্রথম সংখ্যা = ৩ × ২৩ = ৬৯
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৮ × ২৩ = ১৮৪

সুতরাং, দুটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৮৪। 

প্রশ্ন: একটি ১২৬ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের তিন-চতুর্থাংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য ১২৬ ফুট
এবং ছোট অংশ বড় অংশের তিন-চতুর্থাংশ হয়

মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট 
∴ ছোট অংশ = (ক এর ৩/৪) 
= ৩ক/৪ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (৩ক/৪) = ১২৬
বা, (৪ক + ৩ক)/৪ = ১২৬ 
বা, ৭ক = ১২৬ × ৪
বা, ৭ক = ৫০৪
বা, ক = ৫০৪/৭ 
∴ ক = ৭২

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (৩ × ৭২)/৪ ফুট
= ৫৪ ফুট।

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ৫৪ ফুট।

প্রশ্ন: চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

সমাধান:
ধরি,
২৫% বৃদ্ধিতে চালের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

এখন,
বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ চালের ব্যবহার কমাতে হবে = (১০০ - ৮০)% = ২০%

অর্থাৎ, তিনি পূর্বের ব্যবহারের তুলনায় ২০% কম চাল ব্যবহার করবেন।

প্রশ্ন: কোনো একটি দ্রব্য ৪০০ টাকায় ক্রয় করে ২০% লাভে বিক্রয় করে। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ২০% কম হলে কত টাকা লাভ হতো? 

সমাধান: 
২০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৪০০)/১০০ টাকা 
= ৪৮০ টাকা 

ক্রয়মূল্য ২০% কম হলে = {৪০০ - (৪০০ × ২০)/১০০} টাকা 
= ৩২০ টাকা 

∴ মোট লাভ = (৪৮০ - ৩২০) টাকা 
= ১৬০ টাকা।

- Water absorption capacity of first class brick is about 15 to 17% (Almost 1/6 portion) of its dry weight when immersed in water for 24 hour is allowed.
- Water absorption capacity of second class brick is little higher than first class bricks; it has about 18 to 20% (Almost 1/5 portion) of dry weight of bricks when immersed in water for 24 hour.
Link - (UNDP_Procurement_Notice]

প্রশ্ন: একটি গামলার ৭/৮ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে তার ওজন ২১ কেজি হয় এবং ৩/৪ অংশ পানি পূর্ণ থাকলে তার ওজন ১৯ কেজি হয়। ঐ গামলার ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
গামলার ওজন = x কেজি
এবং পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
গামলার ৭/৮  অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন = x + (৭/৮)y = ২১  কেজি। ........(1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
গামলার ৩/৪​ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন = x + (৩/৪)y = ১৯ কেজি। ........(2)

এখন (1) - (2) করে পাই, 
⇒ x + (৭/৮)y - {x + (৩/৪)y} = ২১ - ১৯ 
⇒ y{(৭/৮) - (৩/৪)} = ২ 
⇒ y(৭ - ৬)/৮ = ২ 
∴ y = ১৬ 

এখন y এর মান 1 নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ x + (৭/৮) × ১৬ = ২১
⇒ x + ১৪ = ২১ 
⇒ x = ২১ - ১৪ 
∴ x = ৭ কেজি 

সুতরাং, ঐ গামলার ওজন ৭ কেজি ।