পাটিগণিত

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৩ বছরে সবৃদ্ধিমূল ৯৮৫ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০
সময়, n = ১৩ বছর
সবৃদ্ধিমূল, A = ৯৮৫ টাকা
মনে করি,
আসল = p টাকা

আমরা জানি,
সবৃদ্ধিমূল, A = p + I
= p + pnr
= p(১ + nr)
= p(১ + ১৩ × ১/২০)
= p(১ + ১৩/২০)
= p × ৩৩/২০
= ৩৩p/২০

শর্তমতে,
৩৩p/২০ = ৯৮৫
বা, p = (৯৮৫ × ২০)/৩৩
∴ p = ৫৯৬.৯৭

∴ আসল ৫৯৬.৯৭ টাকা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার।

প্রশ্নমতে,
∴ ক - (ক/৩) - (৩ক/৫) = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ = ৬
⇒ ক/১৫ = ৬

∴ ক = ৯০ হাত

৭/৯ = ০.৭৮
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৭ = ০.৫৭
৯/১৩ = ০.৬৯
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ৪/৭

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৯৬ এবং ৬৪। এই দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. -এর গুণফল কত?

সমাধান: 
৯৬ এবং ৬৪ ল.সা.গু. = ১৯২ 
এবং 
৯৬ এবং ৬৪ গ.সা.গু. = ৩২  

∴ ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = ১৯২ × ৩২ = ৬১৪৪

প্রশ্ন: দুধ বিক্রেতা দুধের সাথে কিছু পরিমাণ পানি মিশিয়ে বিক্রয় করায় ১৫% লাভ করে। মিশ্রণে পানি ও দুধের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ লিটার দুধের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

১৫% লাভে,
দুধ ও পানির মিশ্রণের বিক্রয়মূল্য (১০০+ ১৫) = ১১৫ টাকা

১০০ টাকায় যদি ১ লিটার দুধ ক্রয় করা যায়
তাহলে, ১১৫ টাকায় বিক্রয় করা যাবে = ১১৫/১০০ = ২৩/২০ লিটার
অর্থাৎ, দুধওয়ালা ১০০ টাকা দিয়ে ১ লিটার দুধ কিনে দুধের সাথে পানি মিশিয়ে ১১৫ টাকা দিয়ে অর্থাৎ ১৫% লাভে ২৩/২০ লিটার বিক্রয় করে।

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {(২৩/২০) - ১} লিটার
= (২৩ - ২০)/২০ লিটার
= ৩/২০ লিটার

∴ পানি ও দুধের অনুপাত = (৩/২০) : ১
= ৩ : ২০ [ ২০ দ্বারা গুণ করে]

স্রোতের অনুকূলে বেগ = ১৫+৫ = ২০ কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ৪০/২০ = ২ ঘন্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ১৫-৫ = ১০ কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ৪০/১০ = ৪ ঘন্টা।
∴ মোট সময় লাগে = ২+৪ = ৬ ঘন্টা।

ধরি, মূল বেতন ১০০ টাকা
১০% বৃদ্ধি পেয়ে বেতন হয় ১১০ টাকা
১০% বেতন কমালে
১০০ টাকায় কমে ১০ টাকা
∴১১০ টাকায় কমে (১০ ×১১০)/১০০ = ১১ টাকা
∴ বেতন কমেছে (১১ - ১০) = ১%।

প্রশ্ন: একটি ১০,০০০ টাকার বিলের ক্ষেত্রে, একবারে ২০% ছাড় দেওয়া হলে এবং অন্যদিকে পরপর ৩৬% ও ৪% ছাড় দেওয়া হলে, এই দুই পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ছাড়ের মধ্যে টাকার হিসেবে কত পার্থক্য হয়, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
১০,০০০ টাকার বিল
প্রথম ক্ষেত্রে,
১০,০০০ টাকার বিলের উপর এককালীন ২০% ছাড় = ১০০০০ × (২০/১০০)
= ২০০০ টাকা 

২য় ক্ষেত্রে,
∴ ৩৬% ছাড় = ১০০০০ × (৩৬/১০০) 
=  ৩৬০০ টাকা 

বাকি থাকে = ১০০০০ - ৩৬০০ টাকা 
= ৬৪০০ টাকা 
আবার, এর ৪% ছাড় =  ৬৪০০ × (৪/১০০)
=  ২৫৬ টাকা 

∴ মোট ছাড় = ৩৬০০ + ২৫৬ টাকা 
= ৩৮৫৬ টাকা 

∴ দুই পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ছাড়ের মধ্যে পার্থক্য = ৩৮৫৬ - ২০০০ টাকা 
= ১৮৫৬ টাকা

প্রশ্ন: ১২ জন লোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। একই কাজ ১৮ জন কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান: 
১২ জন লোক একটি কাজ = ৯ দিনে করতে পারে।
∴ ১ জন লোক একটি কাজ = (৯ × ১২) দিনে করতে পারে।
∴ ১৮ জন লোক একটি কাজ = (৯ × ১২)/১৮ দিনে করতে পারে
= ৬ দিনে

অতএব, একই কাজ ১৮ জন ৬ দিনে করতে পারবে। 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু ৮ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬) × ৮ 
= ৩০ × ৮ 
= ২৪০ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৪০ ।

প্রশ্ন: ২৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
২৫২ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^২ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ২ (জোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ২৫২ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: √3 এবং 5 এর মাঝে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
√3 ≈ 1.732

অতএব √3 ও 5 এর মাঝখানে যে পূর্ণসংখ্যাগুলো আছে, সেগুলো হলো- 2, 3, 4

∴ মোট পূর্ণসংখ্যা = 3টি

প্রশ্ন:  মারুফের বেতন ১০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন আবার ১০% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হলো?

সমাধান: 
ধরি,
মারুফ সাহেবের বেতন ছিল ১০০ টাকা
১০% হ্রাসে তার বর্তমান বেতন = ১০০ - ১০০ এর ১০% = ১০০ - (১০০ × ১০/১০০) = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা

আবার,
১০% বৃদ্ধিতে বর্তমান বেতন হবে = ৯০ + ৯০ এর ১০% = ৯০ + ৯০ × (১০/১০০) = ৯০ + ৯ = ৯৯ টাকা

∴ তার ক্ষতি হলো = (১০০ - ৯৯)% = ১%

প্রশ্ন: ৮% সরল সুদে কোনো মূলধন কত বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, মূলধন = P টাকা
সুদের হার = ৮%
সময় = n বছর

সুদে-আসলে ৩ গুণ হলে, সুদ-আসল = ৩P
অর্থাৎ, মূলধন + সুদ = ৩P
∴ সুদ = ৩P - P = ২P

আমরা জানি,
সরল সুদ, I = Pnr/১০০
∴ ২P = (P × ৮ × n)/১০০
বা, ২P = (৮Pn)/১০০
বা, ২ = ৮n/১০০
বা, ২০০ = ৮n
বা, n = ২০০/৮
∴ n = ২৫ বছর

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ২/৫ অংশ তার স্ত্রীকে দেন। অবশিষ্ট সম্পত্তি তিনি ৩ পুত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেন। যদি তার স্ত্রী ও দুই পুত্রের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট পরিমাণ ৪,৮০,০০০ টাকা হয় তাহলে ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা
∴ তার স্ত্রী পান = ২ক/৫ টাকা

অবশিষ্ট সম্পত্তি = ক - (২ক/৫) টাকা
= (৫ক - ২ক)/৫ = ৩ক/৫ টাকা

∴ প্রত্যেক পুত্র পায় = (৩ক/৫) ÷ ৩ = ক/৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
স্ত্রী + ২ পুত্রের প্রাপ্ত অর্থ = ৪,৮০,০০০ টাকা
⇒ (২ক/৫) + ২ × (ক/৫) = ৪,৮০,০০০
⇒ (২ক/৫) + (২ক/৫) = ৪,৮০,০০০
⇒ ৪ক/৫ = ৪,৮০,০০০
⇒ ৪ক = ৪,৮০,০০০ × ৫
⇒ ক = (৪,৮০,০০০ × ৫) ÷ ৪
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৬,০০,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৭০ মিটার দীর্ঘ একটি চলন্ত ট্রেন একই অভিমুখে চলমান ৯০ মিটার দীর্ঘ অন্য একটি ট্রেনকে ১.২ মিনিটে অতিক্রম করে। যদি দ্বিতীয় ট্রেনটি ঘণ্টায় ৩০ কি.মি. বেগে চলে, তবে প্রথম ট্রেনের গতিবেগ কত?

সমাধান: 
দুটি ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে = ৭০ মি + ৯০ মি = ১৬০ মিটার
সময় = ১.২ মিনিট = ১.২ × ৬০ = ৭২ সেকেন্ড

∴ আপেক্ষিক গতি = দূরত্ব/সময়
= (১৬০/৭২) মি./সে.
= ২০/৯ মি./সে.

আবার, 
দ্বিতীয় ট্রেনের গতি = ৩০ কিমি/ঘণ্টা
= ৩০ × (৫/১৮) মি./সে.
= ২৫/৩ মি./সে.

∴ প্রথম ট্রেনের গতি = আপেক্ষিক গতি + দ্বিতীয় ট্রেনের গতি
= (২০/৯) + (২৫/৩) = (২০ + ৭৫)/৯ মি./সে.
= ৯৫/৯ মি./সে.
= (৯৫/৯) × (১৮/৫) কিমি/ঘণ্টা
= (৯৫ × ১৮)/(৯ × ৫)
= (৯৫ × ২)/৫
= ১৯ × ২
= ৩৮ কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং, প্রথম ট্রেনের গতিবেগ ৩৮ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% হার সরল সুদে ৬০০ টাকা এবং বার্ষিক ৭% হার সরল সুদে ৯০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা বার্ষিক কত সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
৬০০ টাকার জন্য ৫% হারে সুদ = (৬০০ × ৫)/১০০ = ৩০ টাকা

৯০০ টাকার জন্য ৭% হারে সুদ = (৯০০ × ৭)/১০০ = ৬৩ টাকা

মোট সুদ = ৩০ + ৬৩ = ৯৩ টাকা

মোট মূলধন = ৬০০ + ৯০০ = ১৫০০ টাকা

∴ গড় সুদের হার = (মোট সুদ × ১০০)/মোট মূলধন
= (৯৩ × ১০০)/১৫০০
= ৯৩/১৫
= ৬.২%

সুতরাং, মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা বার্ষিক ৬.২% সুদ পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল,সা, গু 4x² + 12x² - 16x - 48, গ,সা,গু 2x+4। একটি সংখ্যা 4x² + 20x + 24 হলে অপরটি-

সমাধান:

[মূল প্রশ্নে 4x² + 12x² - 16x - 48 অংশটি ভুল দেওয়া আছে, এটি: 4x³ + 12x² - 16x - 48 হবে, তাই ল,সা, গু 4x³ + 12x² - 16x - 48 ধরে সমাধান করা হয়েছে] 

ল,সা, গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48
গ,সা,গু = 2x + 4

একটি সংখ্যা = 4x² + 20x + 24
অপর সংখ্যা = ?

আমরা জানি, 
প্রথম সংখ্যা ​× দ্বিতীয় সংখ্যা​ = ল.সা.গু × গ.সা.গু

গ,সা,গু = 2x + 4 = 2(x + 2)

একটি সংখ্যা =  4x² + 20x + 24 
= 4(x² + 5x + 6)
= 4(x + 2)(x + 3)

ল,সা, গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48 
= 4(x³ + 3x² - 4x - 12)
= 4[x²(x + 3) - 4(x + 3)]
= 4(x + 3)(x² - 4)
= 4(x + 3)(x - 2)(x + 2)

প্রথম সংখ্যা ​× দ্বিতীয় সংখ্যা​ = ল.সা.গু × গ.সা.গু
দ্বিতীয় সংখ্যা = [4(x + 3)(x - 2)(x + 2) × 2(x + 2)] / [4(x + 2)(x + 3)]
= [8(x + 3)(x - 2)(x + 2)2] / [4(x + 2)(x + 3)]
= 2(x - 2)(x + 2)
= 2(x² - 4)

প্রশ্ন: ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৪৫ হলে, শেষ সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = ক 
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে, 
⇒ ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) = ১৪৫
⇒ ৫ক + ১০ = ১৪৫
⇒ ৫ক = ১৩৫
⇒ ক = ১৩৫/৫
∴ ক = ২৭

সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো ২৭, ২৮, ২৯, ৩০, ৩১
∴ শেষ দুইটি সংখ্যা = ৩০ এবং ৩১

∴ তাদের গুণফল = ৩০ × ৩১ = ৯৩০

ধরি,
ক্রয়মূল্য = ৪x টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = ৫x টাকা
∴ লাভ = ৫x - ৪x = x টাকা
∴ লাভের হার = (x × ১০০)/৪x
= ২৫%

প্রশ্ন: নিম্নে উল্লিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
৩/১০ = ০.৩
৭/১০ = ০.৭
২/৫ = ০.৪
৪/২৫ = ০.১৬

উপরিউক্ত দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায় যে, ০.৭ এর মান সবচেয়ে বেশি।
সুতরাং, ৭/১০ ভগ্নাংশটির মান সবচেয়ে বেশি।

প্রশ্ন: ৩/৭ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২/৩ হয়?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(৩ + x)/(৭ + x) = ২/৩
⇒ ৩x + ৯ = ২x + ১৪
⇒ ৩x - ২x = ১৪ - ৯
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি ৫

প্রশ্ন: ক : খ = ৯ : ৪ এবং খ : গ = ১২ : ১৩ হলে, ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৯ : ৪
খ : গ = ১২ : ১৩

এখানে খ এর মান দুইটি ভিন্ন (৪ এবং ১২)
৪ এবং ১২ এর ল.সা.গু = ১২

প্রথম অনুপাতকে ৩ দিয়ে এবং দ্বিতীয় অনুপাতকে ১ দিয়ে গুণ করি,
ক : খ = (৯ × ৩) : (৪ × ৩) = ২৭: ১২
খ : গ = (১২ × ১) : (১৩ × ১) = ১২: ১৩

∴ ক : খ : গ = ২৭ : ১২ : ১৩

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ২০% এর মান ৪০ হলে, সংখ্যাটির ১৫% কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২০% = ৪০
⇒ ক × (২০/১০০) = ৪০
⇒ ক × ১/৫ = ৪০
⇒ ক = ৪০ × ৫
∴ ক = ২০০

অর্থাৎ, সংখ্যাটি ২০০

এখন,
২০০ এর ১৫% = ২০০ × (১৫/১০০)
= ২০০ × (৩/২০)
= ৩০

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (P × r × n)/১০০ 
= (৫০০০ × ১০ × ৩)/১০০
= ১৫০০ টাকা

আবার, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P (১ + r)ⁿ - P
= ৫০০০(১ + ১/১০)^৩ - ৫০০০
= ৫০০০(১১/১০)^৩ - ৫০০০
= ৫ × (১১ × ১১ × ১১) - ৫০০০ 
= ৬৬৫৫ - ৫০০০ 
= ১৬৫৫ টাকা 

∴ পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা = ১৬৫৫ - ১৫০০ = ১৫৫ টাকা

সুতরাং, সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার মধ্যে পার্থক্য ১৫৫ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো আসল সরল সুদে ৪ বছরে সুদে-আসলে ৬০০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হয়। শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল + ৬ বছরের সুদ ৭০০ টাকা
আসল + ৪ বছরের সুদ ৬০০ টাকা
————————————————
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬০০) = ১০০ টাকা
∴  ১ বছরের সুদ = ১০০/২ = ৫০ টাকা
∴ ৪ বছরের সুদ = (৫০ × ৪) = ২০০ টাকা

∴ আসল = (আসল + ৪ বছরের সুদ) - ৪ বছরের সুদ = (৬০০ - ২০০) = ৪০০ টাকা

এখানে,
আসল, P = ৪০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
মুনাফা, I = ২০০ টাকা
মুনাফার হার = r

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, ২০০ = (৪০০ × ৪ × r)/১০০
বা, ২০০ = ১৬r
বা, r = ২০০/১৬
∴ r = ১২.৫

∴ সুদের হার ১২.৫% 

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

ধরি,
রহিমের বেতন = ১০০ টাকা
তাহলে,
সুমনের বেতন = ১০০ এর ২১০% = ২১০ টাকা
লিজার বেতন = ১০০×২ = ২০০ টাকা
লিটনের বেতন = ২০০ এর ৭০% = ১৪০ টাকা
∴ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০ : ১৪০ = ৩ : ২

১৮, ২৫ এর গ.সা.গু. = ১

প্রশ্ন: ৫/১১ ভগ্নাংশটির হর এবং লবের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৩/৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৫ + ক)/(১১ + ক) = ৩/৫
⇒ ৫ × (৫ + ক) = ৩ × (১১ + ক)
⇒ ২৫ + ৫ক = ৩৩ + ৩ক
⇒ ৫ক - ৩ক = ৩৩ - ২৫
⇒ ২ক = ৮
⇒ ক = ৮/২
∴ ক = ৪

প্রশ্ন: ৫৫, ৮০ ও ১০০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৫৫ = ৫ × ১১
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
১০০ =  ২ × ২ × ৫ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫

প্রশ্ন: (১৮)^৭ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(১৮)^৭ 
= (২ × ৯)^৭
= (২ × ৩^২)^৭
= ২^৭ × ৩^১৪
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩^১৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

কিন্তু ২^৭ এর ঘাত বিজোড় হওয়ায় সেটি পূর্ণবর্গ নয়।
তবে ২^৭ কে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফল হবে,
(২^৭ × ২)
= ২^৮ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ (১৮)^৭ এর সাথে সর্বনিম্ন ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে। 

দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ১০৪০
সুদের হার, r = ৪/১০০
আসল, p = ?
বয়স, n = ১৫
আমরা জানি, C = P(1+rn)
বা, ১০৪০ = P {১ + (৪/১০০) × ১৫}
বা, ১০৪০ = P (১ + ৬০/১০০)
বা, ১০৪০ = P (১৬০/১০০)
বা, P = ১০৪০×১০০/১৬০
বা, P = ৬৫০ টাকা।