পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ২ এবং ৩২ হলে, মধ্যসমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে,
(২য় রাশি)² = ১ম রাশি × ২য় রাশি
⇒ (২য় রাশি)² = ২ × ৩২
⇒ (২য় রাশি)² = ৬৪
⇒ (২য় রাশি) = √৬৪
∴ ২য় রাশি = ৮

∴ মধ্যসমানুপাতিক হলো ৮

a, a², a³(a+b) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) = a³(a + b)

প্রশ্ন: চালের মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় ৪০ টাকায় ১ কেজি চাল বেশি পাওয়া যায়। পূর্বে ১ কেজি চালের মূল্য কত ছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
চালের পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
২০% হ্রাস পেলে,
চালের বর্তমান মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ২০%
= (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা 

এখন,
বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/৮০ টাকা 
∴ বর্তমান মূল্য ৪০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ৪০)/৮০ টাকা = ৫০ টাকা 

∴ ১ কেজি চালের পূর্বমূল্য = (৫০ - ৪০) টাকা = ১০ টাকা 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হয়?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯
= ১

প্রশ্ন: ৭, ১০, ১২, ১৪ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রত্যেক সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৭ = ১ × ৭
১০ = ২ × ৫
১২ = ২ × ২ × ৩
১৪ = ২ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৬০ × ৭
= ৪২০

প্রশ্ন: ৮% সরল মুনাফায় ৬,০০০ টাকা বিনিয়োগে ৫ বছরে যে মুনাফা হয়, সেই মুনাফা ১০,০০০ টাকায় ৩ বছরে পেতে হলে সরল মুনাফার হার কত হবে?
সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ৬০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮%
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (মূলধন × মুনাফার হার × সময়)/১০০
= (৬০০০ × ৮ × ৫)/১০০
= (২৪০০০০)/১০০
= ২৪০০ টাকা

আবার, 
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
মুনাফা, I = ২৪০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ?

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (মূলধন × মুনাফার হার × সময়)/১০০
২৪০০ = (১০০০০ × r × ৩)/১০০
⇒ ২৪০০ = ৩০০ × r
⇒ r = ২৪০০/৩০০
∴ r = ৮%

সুতরাং সরল মুনাফার হার ৮%

প্রশ্ন: একটি সেতুর দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার। ৩২০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ট্রেন এই সেতু অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
ট্রেনকে সেতু অতিক্রম করতে হলে সে নিজের এবং সেতুর সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে।

∴ ট্রেনটি অতিক্রম করবে = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য
= ৩২০ + ১৮০
= ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: P সংখ্যক আপেলের দাম Q টাকা। M টাকায় কতটি আপেল কেনা যাবে?

সমাধান:
Q টাকায় পাওয়া যায় P সংখ্যক আপেল
1 টাকায় পাওয়া যায় (P/Q) সংখ্যক আপেল
∴ M টাকায় পাওয়া যায় (P/Q) × M সংখ্যক আপেল
= PM/Q সংখ্যক আপেল

প্রশ্ন: ৮০ এর ৭৫% এর ২৫% = কত? 

সমাধান:
৮০ এর ৭৫% এর ২৫%
= ৮০ × (৭৫/১০০) × (২৫/১০০)
= ৮০ × (৩/৪) × (১/৪)
= ১৫ 

প্রশ্ন: আকাশ প্রতি কেজি ৪৫ টাকা দরে ৫০ কেজি চাল কিনে ৪৮ টাকা কেজি দরে বিক্রয় করলে মোট কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১ কেজি চালের ক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা
৫০ কেজি চালের ক্রয়মূল্য (৪৫ × ৫০) = ২২৫০ টাকা

আবার,
১ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা
৫০ কেজি চালের বিক্রয়মূল্য (৪৮ × ৫০) = ২৪০০ টাকা

∴ লাভ = (২৪০০ - ২২৫০) = ১৫০ টাকা

প্রশ্ন: ০.০০০১ এর বর্গমূল কত? 

সমাধান: 
০.০০০১ এর বর্গমূল = √(০.০০০১) 
= ০.০১ । 

মনে করি, সেচের পরে ক কুইন্টাল ধান ফলে।
প্রশ্নমতে, ৩০৪ঃক = ৪ঃ৭
বা, ক = (৭×৩০৪)/৪ = ৫৩২ কুইন্টাল।

প্রশ্ন: ৬০০ টাকা বার্ষিক ৮% সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৭৯২ টাকা হবে?

সমাধান:
সুদ = সুদাসল - আসল
= (৭৯২ - ৬০০)
= ১৯২ টাকা

এখানে,
আসল, P = ৬০০ টাকা
সুদ, I = ১৯২ টাকা
সুদের হার, r = ৮%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ n = ( I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (১৯২ × ১০০)/(৬০০ × ৮) 
⇒ n = ১৯২০০/৪৮০০ 
∴ n = ৪ বছর

∴ ৪ বছরে সুদে-আসলে ৭৯২ টাকা হবে।

প্রশ্নানুসারে,
a, b এর মধ্য 1 ব্যাতিত আর কোন সাধারণ উৎপাদক নাই।
∴ গ.সা.গু = 1

২|৪, ৫, ৬, ৮, ১২
 ২|২, ৫, ৩, ৪, ৬
  ৩|১, ৫, ১, ২, ১
       ১, ৫, ১, ২, ১
∴ ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ১২০
∴ সংখ্যাটি = ১২০ + ৩ = ১২৩

প্রশ্ন: 300 গ্রাম চিনির একটি মিশ্রণে 40% চিনি রয়েছে। ঐ দ্রবণে চিনির পরিমাণ 50% করতে অতিরিক্ত কতটুকু চিনি যোগ করতে হবে?

সমাধান: 
দ্রবণে চিনি আছে = 300 এর 40% 
= 300 × (40/100)
= 120 গ্রাম 
এবং, ঐ দ্রবণে অন্য পদার্থ আছে = 300 - 120 = 180 গ্রাম (অপরিবর্তিত থাকবে)

আবার,
ধরি, 
অতিরিক্ত x গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।
∴ নতুন মিশ্রণের মোট পরিমাণ = 300 + x গ্রাম
∴ নতুন চিনির পরিমাণ = 120 + x গ্রাম
প্রশ্নানুযায়ী, নতুন মিশ্রণে চিনির পরিমাণ 50% হবে।

প্রশ্নমতে,
(120 + x)/(300 + x ) = 50%
⇒ (120 + x)/(300 + x ) = 50/100
⇒ (120 + x)/(300 + x ) = 1/2
⇒ 240 + 2x = 300 + x 
⇒ 2x - x = 300 - 240
∴ x = 60

 অর্থাৎ আরো 60 গ্রাম চিনি যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ২/৫ = ০.৪
খ) ৩/৮ = ০.৩৭৫
গ) ৪/১১ = ০.৩৬৩৬
ঘ) ৫/১৩ = ০.৩৮৪৬

∴ ২/৫ ভগ্নাংশটি হলো বৃহত্তম।

প্রশ্ন: কোন স্থানে যত লোক আছে তত ছয় পয়সা জমা করায় মোট ৩৭.৫০ টাকা জমা হল। ঐ স্থানে কত লোক ছিল?
​
​সমাধান:
​ধরি,
​ঐ স্থানে ক জন লোক ছিল।
​
​শর্তমতে,
৬ক × ক = ৩৭.৫০ × ১০০
​⇒ ৬ক^২ = ৩৭৫০
​∴ ক^২ = ৬২৫
​ক = ২৫
​সুতরাং, ঐ স্থানে ২৫ জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: একটি লাঠি ৪৮ ইঞ্চি লম্বা, এটি দুটি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাতে ছোট অংশটি বড় অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ৪৮ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ৪৮ ইঞ্চি
⇒ ক  = ৪৮/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ১২ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ১২ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ১২ ইঞ্চি = ১২ × ২.৫৪ = ৩০.৪৮ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ৩০.৪৮ সে.মি. লম্বা।

প্রশ্ন: ৫০,০০০ টাকার যৌগিক মুনাফায় ১০% হারে ৩ বছর পর মুনাফা কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৫০,০০০ টাকা
সুদের হার (r) = ১০%
সময় (n) = ৩ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূল, A = P{1 + (r/100)}ⁿ
= ৫০,০০০ × {1 + (১০/১০০)}^৩ টাকা
= ৫০,০০০ × (১১০/১০০)^৩ টাকা
= ৫০,০০০ × ১.১ × ১.১ × ১.১ টাকা
= ৬৬,৫৫০ টাকা

∴ মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি মূলধন - আসল
= ৬৬,৫৫০ - ৫০,০০০
= ১৬,৫৫০ টাকা

অতএব, ৩ বছর পর মুনাফা ১৬,৫৫০ টাকা হবে।

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ৫ বছর আগে মাতার বয়স কন্যার বয়সের ৪ গুণ ছিল। ৭ বছর পর মাতার বয়স কত হবে?

সমাধান:
মনে করি, ৫ বছর আগে কন্যার বয়স ছিল ক বছর।
৫ বছর আগে মাতার বয়স ছিল ৪ক বছর।

বর্তমানে কন্যার বয়স = (ক + ৫) বছর
বর্তমানে মাতার বয়স = (৪ক + ৫) বছর

প্রশ্নমতে,
(ক + ৫) + (৪ক + ৫) = ৬০
⇒ ৫ক + ১০ = ৬০
⇒ ৫ক = ৬০ - ১০
⇒ ৫ক = ৫০
⇒ ক = ১০

বর্তমানে মাতার বয়স = (৪ × ১০) + ৫ = ৪৫ বছর
∴ ৭ বছর পর মাতার বয়স হবে = ৪৫ + ৭ = ৫২ বছর

সরল করুন: ১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২) × ২}]

সমাধান:
১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২) × ২}]
= ১ - [১ - {২ + (- ১) × ২}]
= ১ - [১ - {২ - ২}]
= ১ - [১ - ০]
= ১ - ১
= ০

প্রশ্ন: ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
এখানে ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ৬০।
এখন,
৬০ দ্বারা ৯৯৯৯৯ কে ভাগ করতে হবে।
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে।
এবার ৬০ - ৩৯ = ২১ ।
সুতরাং ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে ২১ যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সঙ্গে ৫ যোগ করলে ফলাফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের চেয়ে ১১ বেশি হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ৩ক + ৫ = ২ক + ১১
বা, ৩ক - ২ক = ১১ - ৫
∴  ক = ৬

∴ সংখ্যাটি = ৬ ।

১ম রাশি,
x² - 2x -3
= x² - 3x + x - 3
= ( x - 3 ) ( x + 1 )
২য় রাশি,
x² + 2x - 3
= x² + 3x - x -3
= ( x + 3 ) ( x - 1 )
এখানে রাশিদ্বের উৎপাদক গুলো এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: ৬০০ টাকা বার্ষিক ৫% সুদে কত বছরে সুদে-আসলে ৭২০ টাকা হবে?

সমাধান:
আসল = ৬০০ টাকা
সুদে-আসল = ৭২০ টাকা
সুদ = ৭২০ - ৬০০ = ১২০ টাকা

বার্ষিক সুদের হার,r  = ৫%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
= (১২০ × ১০০)/(৬০০ × ৫)
= ১২০০০/৩০০০
= ৪

∴ সময় = ৪ বছর

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৪,০০০ টাকায় ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান: 
এখানে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০০ × (১ + ১/২০)^২
= ৪০০০ × (২১/২০)^২
= ৪০০০ × ২১/২০ × ২১/২০ 
= ৪,৪১০ টাকা। 

মনে করি,
বৃত্তের ব্যসার্ধ = ১০০ একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (১০০)²
= ১০০০০π বর্গ একক
২১% বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল 
= ১০০০০π × ১২১/১০০
= ১২১০০π
= π(১১০)²
∴ পরবর্তিত ব্যাসার্ধ = ১১০ একক
∴ ব্যাসার্ধের শতকরা বৃদ্ধি
= ১১০ - ১০০
= ১০%

প্রশ্ন: ১০% হারে ৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (৫০০০ × ১০ × ২)/১০০
= ১০০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P(১ + r/১০০)ⁿ - P
= ৫০০০(১ + ১০/১০০)^২ - ৫০০০
= ৫০০০(১১০/১০০)^২ - ৫০০০
= ৫০০০ × (১১/১০) × (১১/১০) - ৫০০০
= ৫০০০ × (১২১/১০০) - ৫০০০
= ৬০৫০ - ৫০০০
= ১০৫০ টাকা

পার্থক্য = ১০৫০ - ১০০০ = ৫০ টাকা

∴ সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ৫০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৪ এবং তাদের বিয়োগফল ১২। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y।

শর্তমতে,
x + y = ৫৪ .......... (১)
x - y = ১২ .......... (২)

এখন, সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করি,
(x + y) + (x - y) = ৫৪ + ১২
⇒ ২x = ৬৬
⇒ x = ৬৬/২
∴ x = ৩৩

∴ বড় সংখ্যাটি ৩৩

৯১=১ × ৭ × ১৩
১৪৩=১ × ১১ × ১৩
৪৭=১ × ৪৭
৮৭=১ × ৩ × ২৯
এখানে ৪৭ সংখ্যাটি ১ এবং ৪৭ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য নয়।
 সুতরাং, ৪৭ মৌলিক সংখ্যা।

দেওয়া আছে, মাসিক বিল ৪২০ টাকা
১ বছর পর ১০% বৃদ্ধিতে বিল = ৪২০ + ৪২০ এর ১০/১০০ = ৪৬২ টাকা
আরো ৬ মাস পর, ২০% বৃদ্ধিতে বিল = ৪৬২ + ৪৬২ এর ২০/১০০ = ৫৫৪.৪ টাকা 

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ৫% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা 
= ৯৫ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৮০)/৯৫ টাকা 
= ৪০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।