পাটিগণিত

(দ্বিতীয় রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৪ × ৬৪
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ২৫৬
বা, দ্বিতীয় রাশি = ১৬
দ্বিতীয় রাশি হচ্ছে মধ্য সমানুপাতি
সুতরাং, মধ্য সমানুপাতি = ১৬

মোট পরীক্ষার্থীর (৮৫ - ৭৫)% বা ১০% = ৩০ জন
মোট পরীক্ষার্থীর ১% = ৩ জন
সুতরাং মোট পরীক্ষার্থীর ১০০% = ৩০০ জন।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + (২৪০ - ক)/৪০ = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ সে ৮০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১৬০ কি.মি গিয়েছিল।

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ৭ কি.মি। এরূপ নৌকায় স্রোতের অনুকূলে ৩৩ কি.মি পথ যেতে ৩ ঘণ্টা সময় লেগেছে। ফিরে আসতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ = ৩৩/৩ কি.মি./ঘণ্টা 
= ১১ কি.মি./ঘণ্টা 
∴ স্রোতের বেগ = (১১ - ৭) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৪ কি.মি./ঘণ্টা 

আবার,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ = (৭ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৩ কি.মি./ঘণ্টা 

∴ নির্ণেয় সময় = ৩৩/৩ ঘণ্টা 
= ১১ ঘণ্টা ।

ধরি, জয়নুল এবং রনির গতিবেগ যথাক্রমে x এবং y কিলোমিটার/ঘণ্টা 

১ম শর্তানুসারে, 30/y = 30/x - 2
২য় শর্তানুসারে, 30/y = 30/2x + 1

∴ 30/x - 2 = 30/2x + 1
⇒ 30/x - 30/2x = 1 + 2 = 3
⇒ (60 - 30)/2x = 3
⇒ x = 30/(2×3) = 5

∴ জয়নুলের গতিবেগ যথাক্রমে 5 কিলোমিটার/ঘণ্টা 

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?

সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু.।
এখন,
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
এবং ১৮৩ = ৩ × ৬১

∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু. ৩

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যা নয়? 

সমাধান: 
৮ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
কোনো সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষের তিনটি অঙ্ক মিলে গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

এখন, 
৭৪৪ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩১ = ৮ × ৩ × ৩১  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৬৪৮ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ = ৮ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৪৭২ = (২ × ২ × ২) × ৫৯ = ৮ × ৫৯  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
১৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ১৩   ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

ধরি, ছাতাটির ক্রয়মূল্য ক টাকা
∴ ১ম ক্ষেত্রে, ক্ষতি = (ক - ৩৭৮) টাকা
২য় ক্ষেত্রে, লাভ = (৪৫০ - ক) টাকা
প্রশ্নমতে, ৩(ক - ৩৭৮) = ৪৫০ - ক
বা, ৩ক - ১১৩৪ = ৪৫০ - ক
বা, ৩ক + ক = ১১৩৪ + ৪৫০
বা, ক = ১৫৮৪/৪ = ৩৯৬

শর্টকাট = ৩৭৮ + (৪৫০ - ৩৭৮)/৪ = ৩৯৬

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ১৫ কি.মি./ঘণ্টা ও স্রোতের বেগ ৫ কি.মি./ঘণ্টা। নৌকাটি স্রোতের অনুকূলে ৪০ কি.মি. পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
নৌকার বেগ = ১৫ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ৫ কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ)
= (১৫ + ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ)
= (১৫ - ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ১০ কি.মি./ঘণ্টা

এখন, সময় = দূরত্ব/বেগ

∴ স্রোতের অনুকূলে ৪০ কি.মি. পথ যেতে সময় লাগবে = ৪০/২০ ঘণ্টা
= ২ ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে ৪০ কি.মি. পথ ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৪০/১০ ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

অতএব, মোট সময় লাগবে = (২ + ৪) ঘণ্টা = ৬ ঘণ্টা

প্রশ্ন: ২৮৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকে সবগুলোর সূচক জোড় সংখ্যা হতে হবে।

২৮৮-এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
২৮৮ = ২ × ১৪৪
= ২ × ১২ × ১২
= ২ × (২ × ২ × ৩) × (২ × ২ × ৩)
= ২^৫ × ৩^২

এখানে, ৩ এর সূচক ২, যা জোড় সংখ্যা। কিন্তু ২ এর সূচক ৫, যা বিজোড়।
সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে ২ এর সূচককেও জোড় সংখ্যা হতে হবে। এর জন্য সংখ্যাটিকে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, ২৮৮ সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
(যেমন: ২৮৮ × ২ = ৫৭৬, যা ২৪-এর বর্গ।)

১৮, ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ৬ × ৩ × ২ × ২ = ৭২
∴ নির্নেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৭২ - ৭ = ৬৫

ধরি, ৫% লাভে বিনিয়োগ করেছিলেন  ক টাকা
⇒ ক×৫%×১ + ( ২৫০০ - ক)×৬%×১ = ৮০। 
⇒ ৫ক/১০০ + ( ২৫০০ -  ক)৬/১০০ = ৮০
⇒ ৫ক + ১৫০০০ - ৬ক = ৮০০০ 
⇒ ১৫০০০ - ক = ৮০০০
⇒ ক = ১৫০০০ - ৮০০০
⇒ ক = ৭০০০

৪% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৬ টাকা

আবার, ৪৪% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৪৪ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৪৪/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১০০/৯৬ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (১০০×১৪৪)/(১০০×৯৬) টাকা
= ৩/২ টাকা
= ১.৫ টাকা

অর্থাৎ,
১.৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১২ টি লেবু
 ∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ১২/১.৫ = ৮ টি লেবু

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, I = 5200 × 2 × 6% = 5200 × 2 × 6/100 = 624 Tk

১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৬ টাকা এবং ১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা।
লাভ = (১/৫ - ১/৬) টাকা = (৬-৫)/৩০ টাকা = ১/৩০ টাকা।
তাহলে ১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা
সুতরাং ১০০ টাকায় লাভ হয় (৬ × ১০০)/৩০ টাকা
= ২০%

কোন অঙ্কের সাথে যদি অন্য কোন জিনিস সংযুক্ত থাকে তাহলে তাকে আর অংক বলা যায় না। তা সংখ্যায় পরিণত হয়ে যায়।

যেহেতু ৫ এর সাথে টি যুক্ত আছে তাই তা অংক নয়।

প্রশ্ন: পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩১ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২১ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩১ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩১ × ৩) বছর
= ৯৩ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২১ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২১ × ২) বছর 
= ৪২ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯৩ - ৪২) বছর 
= ৫১ বছর। 

প্রশ্ন: ৬, ১৫ এবং ৩৬ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ৬ × ৪র্থ সংখ্যা = ১৫ × ৩৬
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (১৫ × ৩৬)/৬
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ৯০ 

১০% লাভে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১১০)/১০০ = ৫৫০ টাকা
১৫% কমে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = (৫০০× ৮৫)/১০০ = ৪২৫ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ = (৫৫০ - ৪২৫) টাকা।
= ১২৫ টাকা।

প্রশ্ন: জাহিদ সাগরের চেয়ে যত বছরের ছোট, পুলকের চেয়ে ঠিক তত বছরের বড়। যদি পুলক ও সাগরের বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর জাহিদের বয়স কত বছর?

সমাধান:
জাহিদের বয়স = ক বছর 
সাগরের বয়স = খ বছর 
পুলকের বয়স = গ বছর 

১ম শর্তমতে 
সাগরের বয়স - জাহিদের বয়স = জাহিদের বয়স - পুলকের বয়স
খ - ক = ক - গ 
খ + গ = ক + ক 
২ক = খ + গ

আবার 
খ + গ = ৬৬
২ক = ৬৬ 
ক = ৩৩ 

জাহিদের বয়স = ৩৩ বছর 

প্রশ্ন: তামা, দস্তা ও রুপার একটি মিশ্রণে তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রুপার অনুপাত ৩ : ৫। ৯৫ গ্রাম ওজনের ওই মিশ্রণে কত গ্রাম তামা আছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
তামা : দস্তা = ১ : ২
দস্তা : রুপা = ৩ : ৫

তামা : দস্তা : রুপা = (১ × ৩) : (২ × ৩) : (৫ × ২)
সুতরাং, তামা : দস্তা : রুপা = ৩ : ৬ : ১০

∴ মিশ্রণের পরিমাণ মোট = ৩ + ৬ + ১০ = ১৯ অংশ
এবং মিশ্রণের মোট ওজন = ৯৫ গ্রাম

∴ তামার পরিমাণ = (৩/১৯) × ৯৫
= ৩ × ৫
= ১৫ গ্রাম

সুতরাং, মিশ্রণে ১৫ গ্রাম তামা আছে।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১২ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ৩৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ২৫ এবং ৩২:
২৫ = ৫×৫
৩২ = ২×২×২×২×২
২৫ এবং ৩২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ২৫, ৩২ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ১২ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো ২৫, ৩২।

১.৫ টাকায় লাভ হয় ২-১.৫= ০.৫০ টাকা
সুতরাং, ১০০ টাকায় লাভ হয় (০.৫/১.৫)×১০০ = ৩৩.৩৩%

প্রশ্ন: y একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। y কে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং y কে 9 দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r² + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?

সমাধান:
y একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
আমরা জানি,
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়।

y কে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে 
∴ r এর মান 1, 2, 3 হতে পারবে।

y কে 9 দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে
∴ R এর মান 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 হতে পারবে

r² + R এর সর্বোচ্চ হবে যদি r ও R সর্বোচ্চ হয়
∴ r² + R = 3² + 8 = 9 + 8 = 17

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি সকালে ৫ কি.মি. /ঘণ্টা বেগে হেঁটে বাসা থেকে অফিসে যান এবং বিকেলে ৩ কি.মি. /ঘণ্টা বেগে হেঁটে অফিস থেকে বাসায় ফেরেন এতে তার ১ ঘণ্টা বেশি লাগে । বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব কত?

সমাধান:

মনে করি,
বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব x কিলোমিটার।

সকালে ৫ কি.মি. অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
সকালে ১ কি.মি. অতিক্রম করে ১/৫ ঘণ্টায়
সকালে x কি.মি. অতিক্রম করে x/৫ ঘণ্টায়

আবার,
বিকেলে ৩ কি.মি. অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
বিকেলে ১ কি.মি. অতিক্রম করে ১/৩ ঘণ্টায়
বিকেলে x কি.মি. অতিক্রম করে x/৩ ঘণ্টায়

প্রশ্নানুযায়ী,
 (x/৩) - (x/৫) = ১
⇒ (৫x - ৩x)/১৫ = ১
⇒ ২x/১৫ = ১
⇒ ২x = ১৫
⇒ x = ১৫/২
 ∴ x = ৭.৫
সুতরাং, বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব ৭.৫ কিলোমিটার।

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১৪ ও ৭ কি.মি.। নদী পথে ৪২ কিমি দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলের বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ= ১৪ + ৭ = ২১ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলের বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = ১৪ - ৭ = ৭ কি.মি./ঘণ্টা

এখন,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ৪২/২১ = ২ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আস্তে সময় লাগে = ৪২/৭ = ৬ ঘণ্টা

∴ মোট সময় = (২ + ৬) = ৮ ঘণ্টা

সুতরাং, নদী পথে ৪২ কি.মি. দীর্ঘ পথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

যদি ƒ (x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে ƒ (x) কে ( ax + b ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ ( - b/a )। [ গণিত বই নবম-দশম শ্রেণি পৃঃ ৬০; প্রতিজ্ঞা ১২ ]

ত্রিভূজের কোনের পরিমাণ বিষম।
সুতরাং বাহুগুলো বিষম হবে।
সুতরাং ত্রিভূজটি বিষমবাহু।

প্রশ্ন: ১৫% ছাড়ে ১২০ টাকা মূল্যের বই কত টাকায় বিক্রয় হবে?

সমাধান:
১৫% ছাড়ে
বইটির বিক্রয়মূল্য = ১২০ - ১২০ এর ১৫%
= ১২০ - ১২০ এর ১৫/১০০
= ১২০ - ১৮
= ১০২ টাকা

a এর ২% = ০.০২a = ০.০৩
বা, ২a = ৩
∴ a = ৩/২

প্রশ্ন: প্রতি বছর কোনো গ্রামের জনসংখ্যার ৫% জন্মগ্রহণ করে এবং ২% অন্যত্র চলে যায়। এক বছরে গ্রামে ২৪০ জন লোক বৃদ্ধি পেলে ঐ গ্রামের মোট জনসংখ্যা কত?

সমাধান:
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার = ৫% − ২% = ৩%

৩ জন লোক বৃদ্ধি পেলে গ্রামের মোট জনসংখ্যা = ১০০ জন
∴ ১ জন লোক বৃদ্ধি পেলে গ্রামের মোট জনসংখ্যা = ১০০/৩ জন
∴ ২৪০ জন লোক বৃদ্ধি পেলে গ্রামের মোট জনসংখ্যা = (১০০/৩) × ২৪০ জন
= (১০০ × ২৪০)/৩ জন
= ২৪০০০/৩ জন= ৮,০০০ জন

∴ গ্রামের মোট জনসংখ্যা = ৮,০০০ জন

প্রশ্ন: একটি টেবিল ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি টেবিলটি আরও ১০৮০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তবে ১০% লাভ হতো। টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
টেবিলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা = ৯৫ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১০ - ৯৫) টাকা = ১৫ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১০৮০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ১০৮০)/১৫ টাকা
= ৭২০০ টাকা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি ট্রানজিস্টর ৮৪০ টাকায় ২০% লাভে এবং অন্যটি ৯৬০ টাকায় ৪% ক্ষতিতে বিক্রয় করেন। তার মোট লাভ বা ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
প্রথম ট্রানজিস্টরের ক্ষেত্রে,
২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৮৪০)/১২০ টাকা
= ৭০০ টাকা

দ্বিতীয় ট্রানজিস্টরের ক্ষেত্রে,
৪% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯৬ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৯৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৯৬০)/৯৬  টাকা
= ১০০০ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য = ৭০০ + ১০০০ = ১৭০০ টাকা
মোট বিক্রয়মূল্য = ৮৪০ + ৯৬০ = ১৮০০ টাকা

∴ মোট লাভ = ১৮০০ - ১৭০০ = ১০০ টাকা

∴ লাভের শতকরা হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (১০০/১৭০০) × ১০০
= ১০০/১৭
=
অতএব, তার মোট লাভের শতকরা হার =

২০% লাভে,
১২০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৩৬০০ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (৩৬০০ × ১০০)/১২০ = ৩০০০টাকা

২০% ক্ষতিতে,
৮০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৩৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (৩৬০০ × ১০০)/৮০ = ৪৫০০ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য ৩০০০ + ৪৫০০ = ৭৫০০টাকা
বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ + ৩৬০০ = ৭২০০টাকা
∴ লোকসান = ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৯' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৯ আছে: ৯, ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯, ৬৯, ৭৯, ৮৯, ৯৯ (১০টি)
দশকের স্থানে ৯ আছে: ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৭, ৯৮, ৯৯ (১০টি)

৯৯ সংখ্যাটিতে ৯ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) ব্যবহৃত হয়েছে। উপরের দুটি তালিকায় ৯৯ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৯-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৯ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার।

শর্তমতে,
ক × ২/১০০ = ০.৬
বা, ২ক = ৬০
বা, ক = ৬০/২
বা, ক = ৩০

প্রশ্ন: একটি ব্যাংকে নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলে জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৩ বছরে ৪/৩ অংশ হয়। ব্যাংকের মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = P  
মুনাফা = I

আমরা জানি,
মুনাফা-আসল = I + P 
⇒ মূলধনের ৪/৩ অংশ = I + P 
⇒ P × (৪/৩) = I + P
⇒ I = (৪P/৩)  - P
⇒ I = (৪P - ৩P)/৩
⇒ I = P/৩ 

∴ মুনাফা, I = Pnr/১০০
⇒ P/৩ = (P × ৩ × r)/১০০
⇒ r = (১০০ × P)/(P × ৩ × ৩)
⇒ r = ১০০/৯ = ১১.১১

অর্থাৎ মুনাফার হার = ১১.১১ %

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত ?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ছয় অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১