পাটিগণিত

- পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
- যেহেতু √১৬ = ৪, √৩৬ = ৬, √৬৪ = ৮ সুতরাং সংখ্যা গুলো মূলদ সংখ্যা।
- অপরদিকে, √২৭ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় বলে এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

সংখ্যাটি = (১০২ X ১) + ২৩ = ১২৫
এখন, ১২৫ কে ১৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ৭ এবং ভাগশেষ ৬ হবে।

প্রশ্ন: ২৫ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩০ কি.মি./ঘন্টা বেগে চলে। একটি ল্যাম্পপোস্টকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
ট্রেনের বেগ = ৩০ কি.মি./ঘণ্টা

এখানে, 
৩০ কি.মি. = (৩০ × ১০০০) = ৩০০০০ মিটার  ; [১ কি.মি. = ১০০০ মিটার] 
১ ঘণ্টা = (৬০ × ৬০) = ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন, 
৩০০০০ মিটার পথ অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার পথ অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩০০০০  সেকেন্ডে
∴ ২৫ মিটার পথ অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ২৫)/৩০০০০ = ৩ সেকেন্ডে

সুতরাং, ল্যাম্পপোস্ট অতিক্রম করতে ট্রেনটির লাগবে ৩ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: প্রতিটি কলম ৫ টাকা দরে ক্রয় করে ৭ টাকা দরে বিক্রয় করে ৫০ টাকা লাভ হলো। মোট কতটি কলম ক্রয় করা হয়েছিলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রতি কলমের ক্রয়মূল্য = ৫ টাকা
প্রতি কলমের বিক্রয়মূল্য = ৭ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে।
∴প্রতি কলমে লাভ (৭  - ৫) = ২ টাকা

এখন,
২ টাকা লাভ হয়  ১ টি কলমে
১ টাকা লাভ হয় (১/২) টি কলমে
∴ ৫০ টাকা লাভ হয় (১ × ৫০)/২ টি কলমে
= ২৫ টি কলমে

∴ ২৫টি কলম ক্রয় করা হয়েছিলো। 

প্রশ্ন: কোনো টাকার ১ম ও ২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন যথাক্রমে ৪৪০০ টাকা এবং ৪৮৪০ টাকা হলে, মুনাফার হার কত?

সমাধান: 
ধরি,
মূলধন P এবং বার্ষিক সুদের হার r

এখন, 
প্রথম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল, P(১ + r/১০০) = ৪৪০০........... (১)
দ্বিতীয় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল, P(১ + r/১০০)^২ = ৪৮৪০ ........... (২) 

(২) ÷ (১) করে পাই, 
⇒ P(১ + r/১০০)^২/P(১ + r/১০০) = ৪৮৪০/৪৪০০
⇒ ১ + (r/১০০) = ১.১ 
⇒ r/১০০ = ১.১ - ১ 
⇒ r/১০০ = ০.১ 
⇒ r = ১০০ × ০.১ 
∴ r = ১০ 

সুতরাং, মুনাফার হার ১০% প্রতি বছর।

ধরি, ক্রয়মূল্য = ক টাকা
প্রশ্নমতে,
ক + ক এর ৩০% = ৬৫
বা, ক + ০.৩ক = ৬৫
বা, ১.৩ক = ৬৫
বা, ক = ৬৫/১.৩ = ৫০ টাকা
সুতরাং ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৫০ + ৫০ এর ১০% = ৫০ + ৫ = ৫৫ টাকা।

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি বেগে চলে। রাস্তার পাশের একটি খুঁটিকে ট্রেনটি কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার 
ট্রেনের গতি = ৩৬ কি.মি/ঘন্টা = ৩৬ × {১০০০/(৬০ × ৬০)} = ১০ মিটার/সেকেন্ড 

রাস্তার পাশের খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে। 
এখন,
ট্রেনটি ১০ মিটার অতিক্রম করে = ১ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার অতিক্রম করে = ১/১০ সেকেন্ডে
∴ ৫০ মিটার অতিক্রম করে = (৫০/১০) সেকেন্ডে = ৫ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: করিম এবং রহিম ২ : ৩ অনুপাতে একটি ব্যবসায় বিনিয়োগ করেন। তাদের মোট লাভের ১০% একটি বিদ্যালয়ে দান করার পর, করিম লাভ হিসাবে ৯০০ টাকা পান। তাহলে রহিম এর লাভ কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট লাভ = ১০০ 

প্রশ্নমতে,
লাভের ১০% একটি বিদ্যালয়ে দান করার পর অবশিষ্ট লাভ
= ১০০% - ১০% = ৯০% 

এখন, 
করিম পেয়েছেন = ৯০% × (২/৫) = ৩৬%

∴ রহিম পেয়েছেন = ৯০% - ৩৬% = ৫৪%

আবার, 
করিম লাভ হিসাবে পেয়েছেন ৯০০ টাকা 
অর্থাৎ,
৩৬% = ৯০০
⇒ ১%= ৯০০/৩৬ = ২৫ 
⇒ ৫৪% = ২৫ × ৫৪ = ১৩৫০ 

∴ রহিম পেয়েছেন ১৩৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: (৩ + √৫) কোন ধরনের সংখ্যা? 

সমাধান: 
(৩ + √৫) একটি অমূলদ সংখ্যা।

কারণ, এখানে ৩ একটি মূলদ সংখ্যা।
এবং √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, কারণ ৫ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী,
একটি মূলদ সংখ্যার সাথে একটি অমূলদ সংখ্যা যোগ করলে যোগফল সবসময় একটি অমূলদ সংখ্যা হয়। 
যেহেতু √৫-এর মান একটি অসীম অনাবৃত দশমিক (২.২৩৬০৬৭৯...), তাই (৩ + √৫)-এর মানও হবে একটি অসীম দশমিক, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। তাই এটি অমূলদ সংখ্যা। 

মনে করি,
x = 10
সুতরাং 10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (100-10) = 90 টাকা
এবং 3 x 10 = 30% লাভে বিক্রয় মুল্য = (100+30)= 130 টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (130 - 90) = 40
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য 40 টাকা হলে ক্রয় মূল্য = 100 টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য 1 টাকা হলে ক্রয় মূল্য 100/40 টাকা
.বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য 18 x 10 টাকা হলে ক্রয় মূল্য = (100 x 180)/40
= 450 টাকা

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৩টির গড় ২১। সমষ্টিগত ভাবে ১০টি সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৭টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০

এবং 
৩ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩

∴ ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৮০ + ৬৩ = ৩৪৩

∴ ১০ টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০ = ৩৪.৩

ধরি,
সুদাসল ১০০ টাকা
সুতরাং ৫ বছরের সুদ = (১০০ এর ১/৫)
= ২০ টাকা
তাহলে আসল = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা
৮০ টাকায় ৫ বছরের সুদ ২০ টাকা
১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ = (২০ × ১০০)/(৮০ × ৫)
= ৫ টাকা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত মুনাফায় ১২০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা ৩৬০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ১২০০০ টাকা
মুনাফা, I = ৩৬০০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর
​মুনাফার হার, r = ?

আমরা জানি, 
​সরল মুনাফা, I = Prn/১০০
বা, ​r = (I × ১০০)/Pn
বা, r = (৩৬০০ × ১০০)/(১২০০০ × ৫)
বা, r = ৩৬০০০০/৬০০০০
বা, r = ৬

অতএব, বার্ষিক মুনাফার হার হলো ৬%।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর বয়সের ২৫% বড়। স্ত্রী তার চেয়ে x% ছোট। x এর মান কত? 

সমাধান:
ধরি,
স্ত্রীর বয়স = ১০০ বছর
∴ স্বামীর বয়স = (১০০+২৫) বছর = ১২৫ বছর

স্বামীর বয়স ১২৫ বছর হলে স্ত্রী বয়স  ১০০ বছর
∴ স্বামীর বয়স ১ বছর হলে স্ত্রী বয়স  ১০০/১২৫ বছর
∴ স্বামীর বয়স ১০০ বছর হলে স্ত্রী বয়স  (১০০ × ১০০)/১২৫ বছর
= ৮০ বছর

∴ স্ত্রী স্বামীর চেয়ে শতকরা ছোট = (১০০ - ৮০) বছর
= ২০ বছর

৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ x ১৫) বছর।
= ৫২৫ বছর।
৬ জন পুরুষ এবং ৮ জন স্ত্রীলোকের বয়সের সমষ্টি = {(৬ x ৪০) + (৮ x ৩৪)} বছর।
= ৫১২ বছর।
বালকের বয়স = (৫২৫ - ৫১২) বছর।
= ১৩ বছর।

প্রশ্ন: চাল ভর্তি একটি পাত্রের ওজন খালি পাত্রটির ওজনের ৭ গুণ । ঐরুপ ৭টি খালি পাত্রের ওজন ১৪ কেজি হলে প্রতিটি পাত্রে কত কেজি চাল ধরে?
 
 সমাধান: 
৭ টি খালি পাত্রের ওজন = ১৪ কেজি
১ টি খালি পাত্রের ওজন = ১৪/৭ = ২ কেজি

আবার, 
চাল ভর্তি পাত্রের ওজন = খালি পাত্রের ৭ গুণ = ২ × ৭ = ১৪ কেজি

∴ পাত্রে চালের ওজন = চাল ভর্তি পাত্র - খালি পাত্র = ১৪ - ২ = ১২ কেজি

অতএব, প্রতিটি পাত্রে ১২ কেজি চাল ধরে

প্রশ্ন: একজন শ্রমিক ২০২১, ২০২২ এবং ২০২৩ সালের প্রত্যেক বছর পূর্বতন বছর অপেক্ষা ১০% বেশি পারিশ্রমিক পান। ২০২৩ সালে তিনি ২০২১ সাল অপেক্ষা কত বেশি পারিশ্রমিক পান? 

সমাধান:
ধরি, ২০২১ সালে ঐ শ্রমিক পারিশ্রমিক পেতেন ১০০ টাকা 

১০% বৃদ্ধিতে ২০২২ সালে পারিশ্রমিক পান (১০০ + ১০) টাকা
= ১১০ টাকা

১০% বৃদ্ধিতে ২০২৩ সালে পারিশ্রমিক পান {১১০ + (১১০ × ১০%} টাকা 
= (১১০ + ১১) টাকা
= ১২১ টাকা

∴ শ্রমিকের পারিশ্রমিক বৃদ্ধি পায় (১২১ – ১০০)%
= ২১% 

প্রশ্ন: করিম তার স্ত্রীকে সম্পত্তির ১/৩ অংশ এবং ৩ পুত্রের প্রত্যেককে ১/৩ অংশ করে দান করেন। যদি তার স্ত্রী ও দুই পুত্রের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট পরিমাণ ৩৫০০০০ টাকা হয় তাহলে করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা 
তার স্ত্রী পান = ক/৩ টাকা 
অবশিষ্ট সম্পত্তি = ক - (ক/৩) = (৩ক - ক)/৩ = ২ক/৩ টাকা 

প্রত্যেক পুত্র পায় = (২ক/৩) এর (১/৩) অংশ
= ২ক/৯ টাকা 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ২(২ক/৯) = ৩৫০০০০
⇒ (ক/৩) + (৪ক/৯) = ৩৫০০০০
⇒ (৩ক + ৪ক)/৯ = ৩৫০০০০
⇒ ৭ক/৯ = ৩৫০০০০
⇒ ৭ক = (৩৫০০০০ × ৯)
⇒ ক = (৩৫০০০০ × ৯)/৭
⇒ ক = ৪৫০০০০ 

∴ করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৪৫০০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: 20 জন শ্রমিক একটি কাজ 12 দিনে করতে পারে। 8 দিনে শেষ করতে হলে নতুন কতজন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
12 দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে 20 জন শ্রমিক
1 দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে = (20 × 12) জন
8 দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে = (20 × 12)/8 = 30 জন

তাহলে, নতুন শ্রমিক লাগবে = (30 - 20) = 10 জন 

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি মিশ্রণে আরও ৪ লিটার পানি মেশানো হয়, তবে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত হয় ৫ : ৪। ওই মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত লিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২

মনে করি,
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ ৫ক লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ ২ক লিটার

যদি মিশ্রণে আরও ৪ লিটার পানি মেশানো হয়,
তাহলে, মিশ্রণে পানির পরিমাণ (২ক + ৪) লিটার

মিশ্রণে দুধ ও পানির নতুন অনুপাত = ৫ : ৪

প্রশ্নমতে,
৫ক : (২ক + ৪) = ৫ : ৪
⇒ ৫ক/(২ক + ৪) = ৫/৪
⇒ ২০ক = ১০ক + ২০
⇒ ২০ক - ১০ক = ২০
⇒ ১০ক = ২০
⇒ ক = ২০/১০
∴ ক = ২

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = (৫ × ২) = ১০ লিটার।

শুধু গণিতে পাশ করে = ৭৫% - ৩০% = ৪৫%
শুধু ইংরেজিতে পাশ করে = ৪৫% - ৩০% = ১৫%
মোট পাশ করে = ৪৫% + ১৫% + ৩০% = ৯০%
∴উভয় বিষয়ে ফেল করবে শতকরা ( ১০০% - ৯০%) = ১০% পরীক্ষার্থী।

১ম রাশি,
x² - 2x - 3
= x² - 3x + x - 3
= ( x - 3 ) ( x + 1 )
২য় রাশি,
x² + 2x - 3
= x² + 3x - x -3
= ( x + 3 ) ( x - 1 )
এখানে রাশিদ্বয়ের উৎপাদকগুলোর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: ৬% বার্ষিক মুনাফায় কত টাকার বার্ষিক মুনাফা ১৮০ টাকা ?

সমাধান: 
মুনাফা I = ১৮০ টাকা
আসলP = ? টাকা
মুনাফার হার r = ৬% = ৬/১০০
সময়  n = ১ বছর

আমরা জানি 
I = Pnr 
P = I/nr
= ১৮০/{১(৬/১০০)}
= ১৮০/(৬/১০০)
= (১৮০ × ১০০)/৬
= ৩০০০ 

প্রশ্ন: একটি লোকাল বাস কোনো পথের অর্ধেক দূরত্ব ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. বেগে এবং বাকি অর্ধেক পথ ঘণ্টায় ২০ কি.মি. বেগে চললে ঐ পথ অতিক্রম করতে বাসটির মোট ৭ ঘণ্টা সময় লাগে। পথের মোট দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
পথের মোট দূরত্ব = ২ক কি.মি.

বাসটি প্রথম অর্ধেক পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে = ক/১৫ ঘণ্টা 
দ্বিতীয় অর্ধেক পথ অতিক্রম করতে সময় লাগে = ক/২০ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
(ক/১৫) + (ক/২০) = ৭
⇒ (৪ক + ৩ক)/৬০ = ৭
 ⇒ ৭ক = ৪২০
 ⇒ ক = ৪২০/৭
 ⇒ ক = ৬০

∴ পথের মোট দূরত্ব = (২ × ৬০) কি.মি. = ১২০ কি.মি. 

প্রশ্ন: ১৫ গ্রাম ওজনের একটি পিতলের চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১ । এতে আরো কত গ্রাম তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ হবে?

সমাধান:
পিতলের চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৪ : ১
অনুপাতের যোগফল = ৪ + ১ = ৫

চামচে তামার পরিমাণ = ১৫ × (৪/৫) = ১২ গ্রাম
এবং
দস্তার পরিমাণ = ১৫ × (১/৫) = ৩ গ্রাম

ধরি,
চামচে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ করতে তামা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

প্রশ্নমতে,
(১২ + ক)/৩ = ৫/১
বা, ১২ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১২
বা, ক = ৩

∴ পিতলের চামচে আরো ৩ গ্রাম তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত ৫ : ১ হবে। 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি মোটরসাইকেলে ঘণ্টায় ৩০ মাইল বেগে ২ ঘণ্টা ভ্রমন করার পর পরবর্তী ৩ ঘণ্টায় ৬০ মাইল পথ অতিক্রম করে। সম্পূর্ণ পথের জন্য ঐ মোটরসাইকেলের গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
লোকটি প্রথম ২ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন = (৩০ × ২) মাইল = ৬০ মাইল

পরবর্তী ৩ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন = ৬০ মাইল

(২ + ৩) বা ৫ ঘণ্টায় অতিক্রম করে = (৬০ + ৬০) মাইল = ১২০ মাইল
​
∴ মোটরসাইকেলের গড় গতিবেগ = (মোট দূরত্ব/মোট সময়) মাইল/ঘণ্টা 
​= (১২০/৫) মাইল/ঘণ্টা 
​= ২৪ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: হাফিজের বোনের বয়স হাফিজের বয়সের ও তাঁর বাবার বয়সের মধ্য-সমানুপাতী। হাফিজের বয়স ১২ বছর, বাবার বয়স ৪৮ বছর হলে বোনের বয়স কত?

সমাধান:
হাফিজের বয়স=ক = ১২ বছর
হাফিজের বোনের বয়স= খ বছর
হাফিজের বাবার বয়স = গ =৪৮বছর

সমানুপাতীর সূত্রানুসারে
ক : খ = খ : গ
ক/খ = খ /গ
খ২ = ক × গ
খ = √(১২ × ৪৮)
খ = √৫৭৬
খ = ২৪

হাফিজের বোনের বয়স = ২৪ বছর

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক পঞ্চমাংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৪০ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১৪০

ভাজক ভাগফলের এক পঞ্চমাংশ
∴ ভাজক = ভাগফল × (১/৫) = ১৪০ × (১/৫) = ২৮

ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক
∴ ভাগশেষ = ভাজক × (১/২) = ২৮ × (১/২) = ১৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
= (২৮ × ১৪০) + ১৪
= ৩৯২০ + ১৪
= ৩৯৩৪
∴ ভাজ্য = ৩৯৩৪